Archivo de diciembre, 2012

Dinámica del Control Parcial de Sistemas Caóticos

En nuestras vidas, usualmente caóticas, normalmente evitamos planificar con excesivo detalle, ya que en caso de que lo hagamos nos veremos obligados a realizar frecuentes modificaciones y adaptaciones. Cada vez que hacemos planes para conseguir lo que queremos lograr, tenemos que tener en cuenta aquellas situaciones indeseables  y molestas que queremos evitar. Existen numerosas situaciones fuera de nuestro control que intervienen en el curso de nuestros planes, de modo que nos vemos obligados a adaptarnos a nuevas situaciones y nuevos escenarios. Podríamos simplemente  decir que únicamente tenemos un control parcial sobre nuestro futuro. El objetivo fundamental del Método del Control Parcial consiste en suministrar un método completamente nuevo de control mediante el uso de ejemplos y alegorias de situaciones caóticas donde intentamos evitar desastres, de modo que nos vemos forzados a revisar continuamente nuestras trayectorias. Desde un punto de vista matemático, el método del control parcial de sistemas caóticos, es un nuevo tipo de control de sistemas dinámicos caóticos en presencia de perturbaciones de cualquier naturaleza.  Por tanto, el objetivo fundamental del método de control parcial es evitar ciertos comportamientos indeseables sin poder determinar una trayectoria específica. La sorprendente ventaja de este método de control es que en ocasiones resulta posible evitar dichos comportamientos indeseables incluso cuando el control aplicado es menor que las perturbaciones externas que actúan sobre un sistema dinámico dado. Esta novedosa línea de investigación se viene desarrollando desde hace años por varios investigadores del Grupo de Dinámica No Lineal, Teoría del Caos y Sistemas Complejos del Departamento de Física de la Universidad Rey Juan Carlos en colaboración con el Prof. James Yorke de la Universidad de Maryland; pionero en los estudios de la teoría del caos y de los métodos de control del caos, quien mereció el Japan Prize en 2003 por sus contribuciones a las ciencias de la complejidad.


Un ingrediente básico de esta técnica son los llamados conjuntos seguros. Recientemente se publicó un algoritmo general para encontrar este tipo de conjuntos en sistemas dinámicos arbitrarios , cuando existen, que recibe el nombre de Algoritmo del Escultor (Sculpting Algorithm)  (Juan Sabuco, Samuel Zambrano, Miguel A. F. Sanjuán and James A. Yorke. “Finding safety in partially controllable chaotic systems“, Commun Nonlinear Sci Numer Simulat, 17:4274-4280, 2012). Este tipo de conjuntos seguros pueden ser de naturaleza bastante compleja, sin embargo no parece que muestren contornos fractales. A fin de poder entender mejor la dinámica de estos conjuntos seguros se han introducido muy recientemente los llamados conjuntos seguros asintóticos, que es el lugar donde finalmente van las trajectorias que comienzan en algun punto del conjunto seguro. (Juan Sabuco, Miguel A. F. Sanjuán and James A. Yorke. “Dynamics of Partial Control“, Chaos, 22(4):047507, 2012). Estas ideas se muestran en un modelo de un oscilador no lineal de Duffing que en una determinada región del espacio de las fases presenta tres alternativas o atractores hacia donde puede acabar la trayectoria. Cuando se piensa en un método de control, en primer lugar debemos de tener claro qué es lo que queremos controlar. En este caso queremos evitar lo que, en caso de no actuar sería inevitable, que una trayectoría acabe en una de los tres atractores que posee el sistema en dicha región. La idea pues es aplicar un control, menor que una perturbación aleatoria que actúa sobre el sistema dinámico de modo que la aplicación  del control nos permite evitar que el sistema vaya a uno de estos atractores consiguiendo un comportamiento caótico que se mantiene en el tiempo.

Miguel A. F. Sanjuán

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