Érase una vez la partícula
Por Paolo Benincasa (Investigador Postdoctoral en el IFT UAM-CSIC)
Para poder llegar a una formulación de la teoría que no tenga localidad y unitariedad como pilares fundamentales y posiblemente manifieste la mayor cantidad de información posible, es preciso buscar un nuevo conjunto de primeros principios que permitan construirla.
En primer lugar, si pensamos cuidadosamente en los procesos de colisión, la primera observación de carácter general que podemos hacer es que éstos ocurren en un lugar, el espacio-tiempo. En ausencia de gravedad dicho espacio-tiempo es plano y está caracterizado por una simetría, llamada simetría de Poincaré, cuyas implicaciones pueden resumirse diciendo que las leyes físicas son independientes tanto de la velocidad de translación como de la orientación del sistema de referencia en el que se formulan. Esta afirmación tiene una implicación muy importante para los procesos de colisión: determina exactamente el amplitud del proceso de colisión más sencillo, aquel que involucra tres partículas, y aún más, establece cuáles son las interacciones que pueden ocurrir. ¿Qué significa esto? El mensaje es que el simple conocimiento del lugar donde ocurren los fenómenos de colisión nos proporciona tanto información acerca de qué interacciones con tres partículas pueden ocurrir como sus amplitudes.
La segunda observación es que si la forma de cada diagrama de Feynman está implicada por localidad y unitariedad, y cada diagrama de Feynman está caracterizado por la presencia de partículas no virtuales, podemos investigar la posibilidad de que una amplitud de difusión esté representada sólo a través de procesos que no involucren partículas virtuales. Puesto que ya conocemos las amplitudes más sencillas, podemos construir nuevos diagramas cuyas líneas representen sólo partículas físicas y cuyos vértices sean las amplitudes con tres partículas. Estos diagramas son llamados diagramas on-shell y su relación con las amplitudes ha sido establecida por teorías de Yang-Mills tanto supersimétricas como no supersimétricas. Considerando como ejemplo la amplitud con cuatro partículas a nivel de árbol en N = 4 SYM, su representación en términos de diagramas on-shell resulta ser constituida por un solo diagrama, como se muestra en Fig. 3.
Es importante remarcar que, a diferencia de los diagramas de Feynman, todas las partículas representadas son físicas, incluyendo las interiores. Las bolitas blancas y negras son las amplitudes de tres partículas, ellas también físicas y fijadas por primeros principios. Junto al hecho de que esta nueva representación proporciona un número menor de diagramas, se suma que estos resultan no ser, en general, locales. Esto no se puede apreciar en la amplitud de cuatro partículas porque es uno de los pocos casos donde es expresada por un sólo diagrama.
Además algo sorprendente ocurre: los diagramas on-shell son en realidad cantidades que recientemente han sido estudiadas en matemáticas, aunque sin ningúna interpretación física, y que son llamadas plabic networks. Más aún, los plabic networks – nuestros digramas on-shell – están conectados a un espacio geométrico llamado Grassmanniano.
Este es un buen momento para rebobinar: con la idea de encontrar una nueva representación que tenga explícita el mayor número de propiedades posibles, se ha encontrado una formulación en términos de procesos cuyas partículas son todas físicas pero que individualmente no son locales. Estos procesos tienen una representación geométrica en un espacio que no es nuestro espacio-tiempo. Como consecuencia empieza a desaparecer explícitamente la referencia al espacio-tiempo, y la localidad como también la unitariedad, dejan de estar manifiestas. Hasta ahora, todo puede ser visto como una simple reorganización, por cuanto notable, de las amplitudes perturbativas.
Podemos ahora preguntarnos si es posible definir desde cero un objeto geométrico utilizando primeros principios, que nos proporcione las amplitudes y cuyas propiedades estén relacionadas con localidad y unitariedad. La respuesta parece ser afirmativa y dicho objeto ha sido bautizado amplituedro. Un amplituedro puede ser pensado como la generalización de un polígono convexo a un espacio con más áltas dimensiones (el Grassmanniano): los vértices del polígono tienen que ser pensados como extensión de la idea de plano a más altas dimensiones (llamados k-planos). Como ejemplo, podemos visualizar la cara tridimensional del amplituedro en 4 dimensiones y con 8 vértices:
Intentando ahora crear un enlace con la física, el número de vértices del amplituedro coincide con el número de partículas exteriores, mientras que la dimensión de los planos en cada vértice depende de los estados de las partículas. Esto significa que a cada número de partículas corresponde un amplituedro. Sin embargo, el amplituedro puede ser pensado como algo con infinitas dimensiones que es proyectado en un espacio finito una vez que se elige el número de partículas, los estados y el nivel perturbativo. ¿Dónde están las amplitudes? Las amplitudes corresponden al volumen del amplituedro, mientras que localidad y unitariedad están relacionadas con su geometría.
Hemos pues llegado a una formulación completamente geométrica de la teoría, que no hace referencia a ningún concepto sobre el que se fundaba la formulación en términos de diagramas de Feynman: el amplituedro es un objeto matemático bien definido por sí mismo, las propiedades físicas resultan relacionadas a su geometría y las amplitudes a los volúmenes.
¿Feynman vivo o muerto?
Yo diría que está como el gato de Schödinger: en una superposición del estado de vivo y muerto. Lo que lo decida será la pregunta que nos hagamos. Para el cálculo de muchos procesos relevantes para el LHC, está semi-vivo: aunque generalmente no resulte conveniente intentar calcular directamente los diagramas de Feynman, esta representación, coadyuvada por otras ideas (como el uso de la propiedad de unitariedad mencionada anteriormente) permite estudiar varios procesos.
En lo que concierne al amplituedro, además de ser una formulación matemática preciosa e incluso un objeto matemático nuevo, proporciona un mensaje que podría ser importante y que de momento es ciertamente interesante: las propiedades de localidad y unitariedad, sobre las que se funda nuestra manera actual de entender la física de partículas, podrían no ser fundamentales y, por tanto, ser sustituidas por algún otro principio de los que ellas derivan. Esto significa que, si por cualquier razón se necesitara dejar una de esas propiedades (o ambas), podríamos hacerlo: en particular, aunque la física descrita sea tanto local como unitaria, si su formulación no se funda sobre ninguna de estas dos propiedades, es más fácil poder enlazarla con una teoría más general que no sea local o unitaria (o ni local ni unitaria) – se piensa que para obtener una descripción de la gravedad cuántica sea preciso renunciar por lo menos a una de esas dos propiedades y, cualquiera que sea esa descripción, en el límite de gravedad débil, tiene que reducirse a la física local y unitaria que conocemos. Sin embargo, no está claro que la formulación de la física local y unitaria a la que se llegue en dicho límite tenga que tener estas dos propiedades explicitas, como ocurre en la formulación más estándar, y que el amplituedro, que precisamente no se funda sobre esas dos hipótesis, podría ser el natural punto de llegada.