Si tenemos una serie de partículas que ejercen influencia las unas sobre las otras, por ejemplo partículas con carga eléctrica, ¿cómo se distribuyen sobre la superficie de un objeto de forma que se molesten lo menos posible –es decir, de forma que las interacciones entre unas y otras, compensándose, alcancen un estado de equilibrio-? Es un problema de hace un siglo, que se vuelve menos tratable conforme aumenta el número de partículas y más complicado es el objeto sobre el que deben disponerse.  Matemáticos españoles han construido un algoritmo que da soluciones  para decenas de miles de partículas, y para muchos más objetos que los  jamás ensayados. Demostrar este algoritmo, que también abre una vía de  acceso a otro problema de los considerados más importantes para el siglo XXI, ha servido además para poner a prueba al superordenador FinisTerrae.

Un ordenador no resuelve un problema si no hay un matemático detrás, y a menudo esa regla también se cumple a la inversa. Por ejemplo, los ordenadores son indispensables cuando hace falta mucha capacidad de cálculo. Por eso cuando los responsables del Centro de Supercomputación de Galicia (CESGA) buscaban un reto para el superordenador FinisTerrae, durante su periodo de pruebas, decidieron recurrir a las matemáticas.
 
Reto para el FinisTerrae

Los matemáticos de la Universidad Politécnica de Cataluña (UPC) Enrique Bendito, Ángeles Carmona, Andrés M. Encinas y José Manuel Gesto propusieron el problema con que arranca esta nota, llamado ‘de los puntos de Fekete’. En términos más precisos, el problema “consiste en determinar la posición de un cierto número de puntos sobre un objeto, de manera que la energía potencial producida por la interacción de dichos puntos sea mínima”, explica Bendito. 
 
Este grupo de la UPC ha desarrollado un algoritmo que da soluciones para una amplia gama de geometrías y diferentes tipos de interacción entre las partículas. Para demostrarlo –con una evidente carga lúdica– lo han aplicado a objetos como plátanos, manzanas o poliedros. Además, algo esencial: con el nuevo algoritmo, los tiempos de cálculo para obtener estas configuraciones no son elevados.

 
En ordenadores convencionales el nuevo algoritmo había generado ya resultados valiosos, publicados en 2007 en la revista Journal of Computational Physics. Pero recurriendo a la enorme potencia de cálculo de FinisTerrae los matemáticos de la UPC han podido probar su algoritmo con un número de puntos mucho mayor.
 
Efectivamente, lograron hallar configuraciones “en equilibrio” sobre la esfera hasta con 50.000 puntos. Es más, para poner a prueba la capacidad del algoritmo llegaron a abordar el problema hasta con un millón de puntos. “Con el FinisTerrae constatamos claramente que nuestro algoritmo es robusto, versátil y eficiente”, explica Gesto. 
 
El grupo lleva cinco años trabajando con este algoritmo, que tiene aplicaciones “en estudios de conformación de moléculas y estructuras cristalinas, de gases, virus, proteínas, bacterias”, señala Bendito. 
 
350.000 horas de cálculo

Además, los matemáticos sabían que buscando puntos de Fekete con el FinisTerrae podían abordar otro problema clave de las matemáticas modernas: el ‘problema 7 de Smale’. A finales del siglo XX la Unión Matemática Internacional preguntó cuales serían los principales problemas que heredaría el siglo XXI; el prestigioso matemático Stephen Smale produjo una lista de 18 problemas, de los que el séptimo está íntimamente ligado a los puntos de Fekete: plantea la posibilidad de hallar configuraciones “suficientemente próximas” a las óptimas sobre una esfera en tiempo polinómico. Estas configuraciones cercanas a las óptimas servirían, dentro de un programa ambicioso y complejo, de punto de partida para resolver determinados sistemas de ecuaciones.
 
Así, gracias a FinisTerrae y al nuevo algoritmo se han obtenido más de 50 millones de formas de disponerse los puntos sobre la esfera, “la mayor muestra obtenida hasta el momento sobre el problema 7 de Smale”, afirma Gesto. 

El trabajo con el superordenador, que llevó dos semanas en febrero, exigió unas 350.000 horas de cálculo; de haberse usado sólo una de las CPUs del FinisTerrae, hubiera hecho falta nada menos que 40 años. En el cálculo con un millón de puntos, 1.024 CPUs trabajaron en paralelo durante día y medio. 
 
Según el CESGA, “este reto ha demostrado la alta capacidad de cálculo” de FinisTerrae, el superordenador de mayor de memoria compartida de Europa.

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