Sistemas dinámicos

En un sentido amplio el objetivo de los Sistemas Dinámicos (S.D.) es estudiar “todo lo que se mueve”, es decir, todos los fenómenos en los que hay alguna magnitud que evoluciona con el tiempo.

Contienen sistemas cuya evolución viene regida por ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO), ecuaciones en derivadas parciales (EDP), ecuaciones con retardo o memoria (EDR), sistemas discretos, etc. Asimismo puede considerarse el efecto de términos estocásticos. Sin embargo la teoría de los S.D. contiene importantes diferencias de enfoque respecto a lo que clásicamente se engloba en la teoría de ecuaciones diferenciales.

Poincaré fue el iniciador de los S.D. Dado que es “imposible” obtener fórmulas explícitas para las soluciones de esas ecuaciones, propuso dar la vuelta al problema y considerar no sólo algunas soluciones sino la totalidad de las mismas. Pero intentando describir propiedades cualitativas en lugar de cuantitativas. Inicialmente entroncaba con la Mecánica Celeste y la Mecánica Analítica, pero hoy en día su metodología influye en muchos más dominios, como veremos. Un objeto fundamental en todo S.D. es el “espacio de estados” o espacio de fases del sistema, E. En un instante dado la posición en este espacio caracteriza el estado del sistema. En ejemplos elementales ese espacio puede ser Rn una variedad finito-dimensional. Pero en el caso de EDP, EDR con componentes estocásticas y otros, E es un espacio funcional, o un espacio de medidas, etc.

En la actualidad, y dada la importancia de las aplicaciones, se intenta de nuevo retomar los aspectos cuantitativos en la teoría de los S.D. Mi punto de vista es que no se pueden disociar unos de otros y la combinación de ambos es muy fructífera.

Por otra parte un sistema puede depender de parámetros, pertenecientes a un espacio P. Pueden ser constantes físicas, de control, etc. Cómo varían las propiedades es importante, tanto para entender cambios en la fenomenología como para diseñar estrategias de control. En realidad es siempre conveniente considerar el espacio producto E x P como el más adecuado para comprender el sistema. Veremos someramente la relación con otras áreas de la Matemática, algunos de los problemas y métodos para resolverlos. Haremos también énfasis en aspectos computacionales y en perspectivas de futuro.

En aras de la brevedad sólo se da una referencia bibliográfica, que contiene una exposición técnica sobre varios aspectos de los S.D. y algunas referencias.

Relación con otras áreas

Pocas áreas de conocimiento se relacionan con tantas otras como los S.D. Dentro de la Matemática no existe prácticamente ninguna área ajena. No sólo eso: ha dado lugar a áreas que hoy en día se desarrollan independientemente.

De manera natural se relaciona con todos los temas de ecuaciones diferenciales y en general del Análisis (teoría de funciones, una o varias variables complejas, análisis armónico, análisis funcional, teoría de la medida, problemas espectrales, problemas inversos, etc). Pero también con las estructuras algebraicas (algebra multilineal, grupos de transformaciones, teoría de cuerpos,…) y con la teoría de números.

Por otra parte los objetos de interés en S.D. son objetos geométricos en E x P, por lo que existen fuertes conexiones con la geometría diferencial, geometría algebraica y analítica y con múltiples aspectos de la topología. Es especialmente relevante la relación con la teoría de singularidades que se enriquece notablemente con los problemas de S.D. que consideran no sólo los aspectos “estáticos” de las singularidades sino los “dinámicos”.

Aún en sistemas deterministas la descripción de la dinámica debe hacerse en muchos casos mediante existencia de medidas invariantes. Enlaza así con las probabilidades. Especialmente interesante es la teoría ergódica, a caballo entre ambas disciplinas. Conviene señalar también el papel de la estadística en fases del proceso de modelización que da lugar a parte de las ecuaciones estudiadas en S.D.

Mucha información relevante en S.D. no se puede obtener de forma precisa con las actuales herramientas teóricas. Ello obliga a usar métodos numéricos. Los S.D. constituyen un motor para el Análisis Numérico, no sólo en los aspectos que son ahora más clásicos (resolución de ecuaciones diferenciales) sino también en aspectos novedosos como cálculo efectivo de bifurcaciones, de toros invariantes y de todo tipo de variedades invariantes. Esas técnicas deben combinarse con métodos de cálculo simbólico, y no hay que olvidar los temas de la teoría de la complejidad y de la visualización gráfica, que plantean problemas formidables en dimensión elevada.

En cuanto a las aplicaciones los S.D. surgen de manera natural como un nuevo enfoque de la Mecánica clásica. Pero actualmente se aplican a todas las ramas de la Física, desde la cosmología a la cuántica o desde los fluidos al mundo nanométrico. Y, por supuesto, eso repercute en su aplicación a la industria y a la descripción del entorno: meteorología, oceanografía, climatología, dispersión de contaminantes, etc. Más recientemente han entrado en aspectos de la cinética química y en el diseño de moléculas. Se empiezan a aplicar en Biología, Medicina, Economía, si bien en esas áreas muchos modelos son aún poco fiables. Pero en S.D. se dispone de técnicas de análisis de sistemas que no precisan conocer el modelo matemático del fenómeno estudiado y extraen información relevante directamente de las medidas experimentales, si éstas son suficientemente abundantes.

Problemas y métodos

Un problema básico es calcular lo que puede llamarse “el esqueleto del S.D.”, es decir, los objetos geométricos en E que “guían” la dinámica. Son objetos invariantes (O.I.) bajo la acción del sistema. Puede ser que para verlos como invariantes se tengan que usar sistemas de referencia móviles. Los O.I. más simples son los puntos fijos (o, en lenguaje de EDP, estados estacionarios). Ya su cálculo puede presentar enormes dificultades, como son el poder demostrar que se han calculado todos, problema que, en su versión más simple, enlaza con la geometría computacional.

Los siguientes O.I. son las órbitas periódicas y su generalización, los toros invariantes, con 2 o más frecuencias independientes sobre Q. Para un sistema dado el paso siguiente es estudiar la estabilidad de los O.I. Muy relevantes son los de tipo “hiperbólico” (quizás en algún sentido débil), esto es, con direcciones en las que hay soluciones que se acercan al O.I. y otras en las que se alejan de él. El conjunto de soluciones tendiendo al (alejándose del) O.I. forma la llamada variedad invariante estable, Ws (inestable, Wu).

Las variedades invariantes de los distintos O.I. pueden cortarse. Por supuesto, el corte sólo puede ocurrir entre una Ws y una Wu. Las soluciones en las que se cortan forman las llamadas conexiones homoclínicas (si se cortan las Ws y Wu de un mismo O.I.) o heteroclínicas (si son de O.I. distintos). Esos fenómenos “clínicos” son los responsables, si los cortes son transversales, de la existencia de dinámica impredictible, popularmente conocida como “caos”. El entramado de conexiones actúa como guía de lo que pueden hacer las soluciones del problema. Si dicho entramado es complicado pueden aparecer objetos invariantes que no son variedades, como los llamados atractores extraños en sistemas disipativos.

Además de la estabilidad de un sistema concreto, interesa también estudiar la “robustez” del sistema frente a cambios de los parámetros o, en general, frente a pequeños cambios del S.D. Ello da lugar a la estabilidad estructural y la teoría de bifurcaciones. La teoría de los S.D. permite, en ciertos casos de naturaleza local, alrededor de un O.I. simple, describir cuáles son todos los posibles cambios en la dinámica que pueden aparecer al perturbar un sistema dado. Aparecen así los llamados “desplegamientos universales”.

Mientras que problemas de existencia de ciertas soluciones pueden abordarse por métodos topológicos o geométricos que, sin embargo, dan poca información sobre las características de las mismas, los métodos analíticos son muy útiles en problemas perturbativos, cuando el sistema es cercano a otro que sea más simple y cuyas soluciones sean bien conocidas. Entre ambos enfoques hay una amplísima “tierra de nadie” en la que es indispensable contar, también, con métodos numéricos rigurosos.

El cálculo de O.I. presenta importantes retos incluso para los métodos numéricos más refinados.

Bibliografía

[1] Simó, C.; Dynamical systems, numerical experiments and super-computing. Memòries de la Reial Acadèmia de Ciències i Arts de Barcelona,Núm. 987, Vol. LXI, (2003), (1–36).

Por Carles Simó Torres
Universitat de Barcelona

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Comentarios

Muchas gracias por el articulo me parecio muy importante porque orienta sobre las grandes posibilidades de la teoria de los sistemas dinámicos y las relaciones con diferentes areas del conocimiento.

necesito un ejercicio

sapa

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