Los niveles de Landau y los ceros de Riemann

Hace 150 años Bernhard Riemann publicó una famosa memoria de 8 páginas titulada “Sobre el número de primos menores que una magnitud dada”, donde sugería que era “muy probable” que los ceros complejos de la función zeta tuvieran todos parte real igual a ½. Dicha sugerencia pasó a llamarse con el tiempo la hipótesis de Riemann (HR), convirtiéndose en uno de los problemas centrales de la Teoría de Números y por extensión de las Matemáticas Puras. La importancia de la HR estriba en que la verdad de la misma implica la mejor cota posible a las fluctuaciones de los números primos respecto a su ley de distribución promedio dada por el Teorema de los Números Primos. Otra razón de la importancia de la HR es que esa conjetura se extiende a un amplio zoo de funciones zeta asociadas a caracteres de Dirichlet, curvas elípticas, etc.


Imagen de la función zeta de Riemann de David Martín de Diego

A lo largo del siglo XX ha habido varios intentos de demostración de la HR a cargo de matemáticos de primera línea como Hardy, Littlewood, Stieltjes, Turing, Weil, Connes, etc, que han permitido profundizar en el conocimiento de la Teoría de Números pero que no han logrado el objetivo final. Una de las vías de demostración más sugerentes fue propuesta por Polya y Hilbert en torno a 1910, según la cual la parte imaginaria de los ceros de Riemann serían frecuencias de oscilación de un sistema físico. Empleando el lenguaje de la Mecánica Cuántica,  dicha sugerencia se replantea en términos de la existencia de un operador autoadjunto, cuyo espectro discreto contuviera la parte imaginaria de todos los ceros de Riemann. Dicho operador, sería un Hamiltoniano actuando sobre un espacio de Hilbert de estados físicos, siendo los ceros de Riemann sus niveles de energía y por tanto observables. La interpretación espectral de la HR se apoya en diversos resultados “fenomenológicos”,  entre los que destaca el hecho de que los ceros de Riemann satisfacen de manera local la distribución aleatoria correspondiente a los autovalores de matrices aleatorias gaussianas del conjunto unitario (estadística GUE). Este resultado fue descubierto por Montgomery en los años 70 y comprobado numéricamente por Odlyzco en los 80.  Utilizando estos trabajos, Berry y colaboradores sugirieron que la Teoría del Caos Cuántico podría ser la clave de la solución. Partiendo de analogías entre fórmulas de la Teoría de Números y del Caos Cuántico, conjeturaron la existencia de un Hamiltoniano clásico caótico cuyas órbitas periódicas estuvieran en correspondencia con los números primos y cuya cuantización generaría los ceros de Riemann en el espectro. Dicho Hamiltoniano rompería la invariancia bajo inversion temporal para estar de acuerdo con la estadística GUE.

Bernhard Riemann

En 1999, Berry y Keating por un lado y Connes por otro, propusieron un modelo heurístico semiclásico  que contiene la aproximación media a los ceros de Riemann. Dicho modelo describe  una partícula moviéndose en una dimensión, cuyo Hamiltoniano clásico es H = xp, donde x es la posición y p es el momento. El trabajo de estos autores  difiere sin embargo en la manera en que aparecen los ceros de Riemann. En el modelo de Berry y Keating los ceros aparecen en el espectro discreto, mientras que en el de Connes el espectro es un continuo, siendo los ceros de Riemann líneas espectrales de absorción. La diferencia entre estos dos resultados opuestos se halla en la diferente elección del espacio de fases semiclásico.

En un reciente trabajo publicado en la Revista Physical Review Letters, y titulado “Landau levels and Riemann zeros” se propone una realización física del modelo de Berry-Keating y Connes empleando una partícula cargada, por ejemplo un electrón, moviéndose en un plano bajo la acción de un campo magnético perpendicular al mismo y un campo eléctrico en forma de silla. El campo magnético hace que los electrones giren en órbitas ciclotrónicas, cuyo centro describe trayectorias hiperbólicas por el efecto del campo eléctrico. Cuando el electrón se coloca en una caja finita y en el nivel de Landau de más baja energía, se obtiene un espectro continuo corregido por la parte promedio de los ceros de Riemann, lo cual está de acuerdo con el resultado semiclásico de Connes. Existen razones para pensar que la inclusión de niveles de Landau de más alta energía podrá dar una realización espectral de los ceros de Riemann, y no sólo de su aproximación promedio. Por otra parte, no hay que descartar que la versión de Berry y Keating sea realizable en el contexto del modelo de Landau. El sistema físico propuesto es de uso corriente en el estudio teórico y experimental del Efecto Hall Cuántico,  por lo que de ser cierta la conjetura de este trabajo se abriría la posibilidad de una observación experimental de los ceros de Riemann. Por otra parte la consistencia matemática del modelo posiblemente llevaría a la demostración de la HR, aunque aún es pronto para saber si esto es así.

En todo caso,  este trabajo puede servir de estímulo en la investigación sobre los aspectos matemáticos y físicos de la HR, que es sin duda uno de los retos científicos del siglo XXI.

Germán Sierra
Instituto de Física Teórica CSIC-UAM 
Madrid

Etiquetas:

Si te gustó esta entrada anímate a escribir un comentario o suscribirte al feed y obtener los artículos futuros en tu lector de feeds.

Comentarios

Hello. Perhaps your readers would be interested in my new book. Thanks. Sam Gilbert

Here is an excerpt from the book:

The Riemann Hypothesis & the Roots of the Riemann Zeta Function

by Samuel W. Gilbert

available from amazon.com

http://www.riemannzetafunction.com

© U. S. Copyrights – 2009, 2008, 2005

This book is concerned with the geometric convergence of the Dirichlet series representation of the Riemann zeta function at its roots in the critical strip. The objectives are to understand why non-trivial roots occur in the Riemann zeta function, to define the roots mathematically, and to resolve the Riemann hypothesis.

The Dirichlet infinite series parts of the Riemann zeta function diverge everywhere in the critical strip. Therefore, it has always been assumed that the Dirichlet series representation of the zeta function is useless for characterization of the roots in the critical strip. In this work, it is shown that this assumption is completely wrong.

The Dirichlet series representation of the Riemann zeta function diverges algebraically everywhere in the critical strip. However, the Dirichlet series representation does, in fact, converge at the roots in the critical strip ̵and only at the roots in the critical strip in a special geometric sense. Although the Dirichlet series parts of the zeta function diverge both algebraically and geometrically everywhere in the critical strip, at the roots of the zeta function, the parts are geometrically equivalent and their geometric difference is identically zero.

At the roots of the Riemann zeta function, the two Dirichlet infinite series parts are coincidently divergent and are geometrically equivalent. The roots of the zeta function are the only points in the critical strip where infinite summation and infinite integration of the terms of the Dirichlet series parts are geometrically equivalent. Similarly, the roots of the zeta function with the real part of the argument reflected in the critical strip are the only points where infinite summation and infinite integration of the terms of the Dirichlet series parts with reflected argument are geometrically equivalent.

Reduced, or simplified, asymptotic expansions for the terms of the Riemann zeta function series parts at the roots, equated algebraically with reduced asymptotic expansions for the terms of the zeta function series parts with reflected argument at the roots, constrain the values of the real parts of both arguments to the critical line, where σ=½. Hence, the Riemann hypothesis is correct.

At the roots of the zeta function in the critical strip, the real part of the argument is the exponent, and the real and imaginary parts combine to constitute the coefficients of proportionality in geometrical constraints of the discrete partial sums of the series terms by a common, divergent envelope.

Values of the imaginary parts of the first 50 roots of the Riemann zeta function are calculated using derived formulae with 80 correct significant figures using a laptop computer. The first five imaginary parts of the roots are:

14.134725141734693790457251983562470270784257115699243175685567460149963429809256…

21.022039638771554992628479593896902777334340524902781754629520403587598586068890…

25.010857580145688763213790992562821818659549672557996672496542006745092098441644…

30.424876125859513210311897530584091320181560023715440180962146036993329389333277…

32.935061587739189690662368964074903488812715603517039009280003440784815608630551…

It is further demonstrated that the derived formulae yield calculated values of the imaginary parts of the roots of the Riemann zeta function with more than 330 correct significant figures.

continued…

La Energía del sistema H es 44

La posición del electrón se da en 5 de las 1/9 posibilidades que tiene

El momento se da en 6

((44-(5×6))-14= 0

1 átomo dividido en 12 niveles Energía

Dibuje un cono del tiempo

Nivel 1 izquierda a derecha 27

Nivel 2 izquierda a derecha 26

Así hasta llegar al nivel 12,

Nivel 12 izquierda a derecha 16 . 12 +16 = 28

comprueba que la sumatoria de niveles es siempre 28 y en la distribución de Riemman este esta ausente. No es ni bueno ni malo, podemos decir.

La serie pega un salto en la distribución de los números, cuando llega al nivel 12 salta a 16, faltando el 13,14 y el 15.

14 en la vertical del cono del tiempo llega al nivel 1, donde el cero esta negado.

28^1/2 = 14

N=1 menor que 14

n=0.5 menor que 1

((1÷14)x28^1/2=1 Nivel 1 E= 0 Negado abajo donde se junta

arriba donde el cono se expande 1.00000000000000 ( 14 Ceros)

Si el electrón tiene 9 posibilidades aleatorias de cuantización

9 -1 condición favorable dada por la dirección del tiempo = 8

Sumo 13+14+15=42

42÷14÷9=0.33

42÷14÷9x8x1/2×0.75 = 1

HRB

http//:lospinguinos11.blogspot.com

H = 44÷Pi=14

44÷Pi÷0.33333333=42

44÷Pi÷0.33333333÷3=14

((1.06 x28^1/2)-(1.009×28^1/2)) x 14 ÷ 10 = 0.9999

((1.06 x28^1/2)-(1.009×28^1/2)) ÷ 10 = 0.071 densidad Hidrog.

[...] This post was mentioned on Twitter by Mysteriously Unnamed, Pedro Morales and Mysteriously Unnamed, Mate Guate. Mate Guate said: Los niveles de Landau y los ceros de Riemann – http://ow.ly/3mQeN [...]

[...] de la función zeta de Riemann, explica Germán Sierra. Se trata de una realización física del modelo matemático propuesto en 1999 por Berry, Keating y Connes. “Es aún incompleto, aunque pensamos que es un buen punto de partida para una posible [...]

[...] la posición de los ceros de la función zeta de Riemann. Se trata de una realización física del modelo matemático propuesto en 1999 por Berry, Keating y Connes. “Es aún incompleto, aunque pensamos que es un buen punto de partida para una posible [...]

Siento que, lo que todos han estado buscando lo he encontrado, tengo la ecuación que deja ver todos los números primos, lo estoy analizando y los resultados son sorprendentes..
LA ecuación tiene 4 dígitos, un signo = y dos patentices. y es exacto.
Estoy construyendo algunas propiedades y los números primos aparecen exactamente donde tienen que estar. todas las conjeturas estarán en la basura.
abadeok61@gmail.com

(requerido)

(requerido)


*