Archivo de mayo 5th, 2011

Nudos y enlaces en mecánica de fluidos

Las ecuaciones que gobiernan la dinámica de los fluidos incompresibles con viscosidad despreciable fueron propuestas por el gran matemático suizo Leonhard Euler en su memoria “Principes généraux du mouvement des fluides” (1757). Doscientos cincuenta años después, las ecuaciones de Euler siguen presentando importantes retos matemáticos y cuentan con numerosas aplicaciones en Física e Ingeniería.

L. Euler

Un enfoque al estudio de estas ecuaciones que ha resultado particularmente fructífero fue propuesto por el también célebre matemático Joseph Louis de Lagrange, cuyo supervisor de tesis doctoral fue precisamente Euler. Este enfoque consiste en analizar las trayectorias descritas por las partículas del fluido, es decir, “seguir” la evolución temporal de un pequeño volumen de líquido. Estas trayectorias se conocen en mecánica de fluidos como líneas de corriente.

Los primeros estudios rigurosos de la geometría de las líneas de corriente se remontan a mediados de los años sesenta y cuentan con el matemático soviético Vladimir Igorevich Arnold como figura más destacada. El resultado más relevante en esta línea es el teorema de estructura de Arnold, publicado en su trabajo fundacional “Sur la geometrie differentielle des groupes de Lie de dimension infinie et ses applications a l’hydrodynamique des fluides parfaits” (1966), que marca el nacimiento del campo de la Hidrodinámica Topológica.

V.I. Arnold

Uno de los principales problemas en Hidrodinámica Topológica consiste en caracterizar las posibles trayectorias que pueden describir las partículas de un fluido. Más allá de su interés matemático, la relevancia de estas cuestiones se debe a sus conexiones con las teorías de complejidad y turbulencia y con la estabilidad estructural de los fluidos. En este sentido, una conjetura bien conocida en el área que se remonta a los orígenes de la Hidrodinámica Topológica es que las líneas de corriente pueden estar “muy enmarañadas”, esto es, pueden exhibir nudos y enlaces con cualquier topología. Es destacable que, durante décadas, las únicas pistas que sugerían la validez de esta conjetura fueron de naturaleza física, pues provenían de las conexiones con los fenómenos de transporte de vorticidad y relajación magnética.

Esta conjetura ha sido recientemente demostrada por Alberto Enciso y Daniel Peralta Salas, dos jóvenes investigadores Ramón y Cajal del CSIC y del Instituto de Ciencias Matemáticas. El resultado, que aparecerá publicado en la prestigiosa revista “Annals of Mathematics” de la Universidad de Princeton y el Instituto de Estudios Avanzados, ha sido obtenido tras siete años de colaboración entre los dos autores mediante un nuevo enfoque que combina técnicas de diversas áreas de las Matemáticas (Geometría, Topología y Análisis). Esta combinación ha resultado sorprendente para los expertos en el área y se espera que sea un paso importante en la comprensión de la geometría de los fluidos. Las técnicas empleadas se aplican también en magnetohidrodinámica para analizar un tipo de campos magnéticos que surgen en la teoría de las atmósferas estelares, siendo responsables de las fulguraciones solares.

Daniel Peralta Salas y Alberto Enciso

Resulta muy llamativo que la teoría de nudos ha guardado una estrecha relación con la física teórica desde sus inicios. Se puede decir que la teoría matemática comienza en el siglo XIX con Gauss, quien estaba motivado por problemas de Electromagnetismo, y que esta teoría experimentó un gran impulso a raíz del modelo atómico de Lord Kelvin, que consideraba que los átomos eran nudos en el éter. Nuevas y profundas conexiones entre teoría de nudos y Física, más allá del estudio de la geometría de los fluidos, han florecido a partir de la segunda mitad del siglo XX, con espectaculares avances en teoría cuántica de campos, superconductividad, superfluidez, teoría óptica de dislocaciones, etc.

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