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Matemáticas para el movimiento y el control

Todos los años, desde hace ya siete, se celebra la Escuela de Geometría, Mecánica y Control, organizada en sus últimas ediciones por el Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT). El encuentro, celebrado en verano, se ha convertido en una referencia internacional en el área. La Escuela destaca por su cercanía a las aplicaciones y su interdisciplinariedad. “Este es un campo teórico, pero muy próximo a las aplicaciones”, explican. “Puedes hacer las mismas matemáticas que en las áreas más puras, pero aquí además sabes que alguien va a usar tu trabajo, y eso es muy bonito”. En el primer número del ICMAT Newsletter se publicó un reportaje relativo a la edición de 2012 de la escuela, y lo reproducimos a continuación dentro de “Selección de los ICMAT Newsletter” del blog, en el que se destacan algunos contenidos de la publicación trimestral del ICMAT.

Reportaje: Escuela de Geometría, Mecánica y Control

Lorena Cabeza. Enero 2012.

Las ecuaciones que describen el movimiento de los planetas en el sistema solar, el de un grupo de robots o el latido cardiaco tienen mucho en común. También las que permiten simular el flujo de las corrientes oceánicas o los rebotes de un muelle. Resolverlas es prácticamente imposible, pero los matemáticos no aspiran a ello. Su objetivo es desarrollar métodos para llegar a saber cuanto más mejor de esas ecuaciones y, por tanto, del sistema que describen: ¿es estable en el tiempo? ¿Con qué grado de precisión puede uno aproximarse a las soluciones?

 

Este es un campo teórico, pero muy próximo a las aplicaciones

En este tipo de problemas se centra la Escuela de Geometría, Mecánica y Control, cuya VI edición organizó el pasado verano el Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT) dentro del programa de excelencia Severo Ochoa. El encuentro, celebrado del 22 al 27 de junio en Miraflores de la Sierra (Madrid), se ha convertido en una referencia internacional en el área. Los organizadores, Edith Padrón (Universidad de La Laguna), y David Martín de Diego (ICMAT), destacan dos características tanto de la Escuela como de la propia área de Geometría, Mecánica y Control: su cercanía a las aplicaciones y su interdisciplinariedad. “Este es un campo teórico, pero muy próximo a las aplicaciones”, explican. “Puedes hacer las mismas matemáticas que en las áreas más puras, pero aquí además sabes que alguien va a usar tu trabajo, y eso es muy bonito”.

Por eso casi la mitad de los cuarenta estudiantes que asisten este año, de diversos países europeos y también de Estados Unidos, son físicos. Y muchos de ellos repiten. La Escuela es una de las actividades de la red temática española de Geometría, Mecánica y Control (GMCn), creada en 2005 para sacar el máximo partido de las colaboraciones ya existentes entre grupos. Con los años esta red se ha hecho cada vez más internacional -cuenta ya con miembros de Argentina, Brasil, Portugal y Estados Unidos- y, en paralelo, la Escuela ha crecido en prestigio. Los estudiantes ven en ella una muy poco frecuente oportunidad de acceder a investigadores líderes internacionales en un ambiente distendido.

La Escuela es una de las actividades de la red temática española de Geometría, Mecánica y Control (GMCn)

En cuanto a la interdisciplinariedad, basta con echar un vistazo al perfil de los profesores. En ediciones anteriores han participado desde expertos en mecánica cuántica hasta investigadores que trabajan con robots autónomos que detectan contaminación. En esta ocasión intervinieron Darryl Holm (Imperial College London, Reino Unido), que ha investigado en dinámica de fluidos, cristales líquidos y diversas aplicaciones relacionadas con biomedicina; Arieh Iserles (Universidad de Cambridge, Reino Unido), experto en la resolución de problemas matemáticos complejos a través de la computación; y James Montaldi (Universidad de Manchester, Reino Unido), que investiga entre otras cosas las matemáticas implicadas en el movimiento de los planetas en nuestro sistema solar y las coreografías de planetas y asteroides.

Algunos son problemas con orígenes muy antiguos -Henri Poincaré ya se preguntó en el siglo XIX si el sistema solar es estable-, pero cruciales para la tecnología actual. Quienes trabajan en las flotillas de satélites, por ejemplo, o en los futuros telescopios espaciales interferométricos -integrados por varios satélites que deben mantener una posición precisa-, no necesitan las soluciones exactas de las ecuaciones, pero sí aproximarse a ellas al máximo y conociendo el margen de error.

Interdisciplinariedad y relevo generacional en España

Todos ellos son problemas que requieren la integración de diversas áreas matemáticas, algo no muy arraigado en la tradición española. “En España está todo dividido en áreas casi estancas: geometría, topología, análisis… y lo interdisciplinar no se comprende fácilmente. O eres una cosa, o eres otra”, dicen Padrón y Martín. “Puede que la interdisciplinariedad sea políticamente correcta, pero a la hora de la verdad no se fomenta; los evaluadores, por ejemplo, no saben cómo valorar estas áreas a caballo”.

Otro de los rasgos distintivos de la Escuela es su énfasis en el protagonismo de los jóvenes. Para sus organizadores, la Escuela de Geometría, Mecánica y Control constituye la base del relevo generacional en este campo.

Darryl Holm

Darryl Holm: “La geometría es un marco de relaciones”

Hace 25 años Darryl Holm y otros colegas fueron a visitar al entonces director del Laboratorio Nacional de Los Álamos (Nuevo México, EEUU), y le dijeron: “No quieres que te acusen de no sacar el máximo partido de los extraordinarios recursos que te asignan… Necesitas estar en contacto con la comunidad científica”. De la reunión salió uno de los programas de doctorado más prestigiosos del país, fuente del mejor personal para Los Álamos -el lugar donde se desarrolló el programa de la bomba atómica estadounidense-. Holm ha pasado 34 años en Los Álamos, donde ha sido vicedirector del Grupo de Matemáticas Aplicadas de la División Teórica. Ha investigado en áreas muy variadas, todas próximas a las aplicaciones: dinámica de fluidos (circulación oceánica, modelización del clima), nanociencia etc. Lleva seis años en el Imperial College, en Londres, donde uno de sus proyectos principales tiene que ver con simulaciones matemáticas del funcionamiento del corazón. También desarrolla métodos matemáticos para analizar y comparar imágenes médicas.

“Las ideas comunes a estos problemas parten de la geometría mecánica”, explica Holm. “La geometría es un marco de relaciones; cuando metes tu modelo matemático en el marco de la geometría este te da relaciones, que a su vez te dan información sobre el modelo. Así puedes ver similitudes entre modelos que describen distintos fenómenos. Parecen distintos, pero el marco es el mismo. Mi curso en esta Escuela, por ejemplo, compara en un marco geométrico la rotación de un cuerpo rígido con la forma de una ola en el agua. Resulta que ambos fenómenos están en el mismo marco, y que lo que sirve para uno también sirve para el otro; tienen las mismas matemáticas”.

Arieh Iserles.

Arieh Iserles: “Dedicarse a una sola aplicación siempre es malo”.

Existen problemas tan complejos que apenas es posible acercarse a algunas de sus múltiples soluciones o, incluso, conocer al menos algunas de las propiedades del sistema que lo contiene. ¿Se trata de un sistema que pierde o conserva la energía? ¿Guarda su comportamiento algún tipo de simetría? El desarrollo de los ordenadores, que a menudo se acercan a las soluciones de cuestiones como estas en tiempo real, ha permitido avanzar enormemente en este aspecto y han acelerado el desarrollo de aplicaciones en casi todas las ramas de la ciencia. En esta área es donde aplica su conocimiento el profesor de la Universidad de Cambridge Arieh Iserles, uno de los investigadores más reconocidos en el área de las matemáticas computacionales y aplicadas y, en concreto, en el ámbito de las ecuaciones diferenciales: “Me interesan las matemáticas que son demasiado difíciles y que se intentan resolver con ordenadores. Se trata de tomar un problema matemático y formularlo en la lengua que entiende la máquina. Me interesan estos nuevos problemas matemáticos y cómo se relacionan con los primeros”.

En cuestiones tan complejas como algunas ecuaciones diferenciales –aquellas que estudian sistemas en movimiento como, por ejemplo, corrientes oceánicas o flujos biológicos-, la ciencia suele centrarse en, o bien encontrar una solución cuantitativa lo suficientemente precisa que defina dónde se encontrará el sistema en un momento dado, o bien conocer sus propiedades cualitativas. Iserles busca “la síntesis de estas dos aproximaciones: métodos computacionales que nos den una solución lo más exacta posible al tiempo que se los rasgos cualitativos de estas soluciones”.

Para Iserles, “el poder de las matemáticas reside en que puedes aplicar una misma herramienta a áreas muy diferentes”. Y recuerda uno de sus trabajos, puramente matemático, que, sin embargo, toca de lleno a nuestra vida cotidiana: la resolución de ciertas ecuaciones diferenciales que permitiría a los teléfonos móviles operar a un rango distinto al habitual. “Ya hemos conseguido que funcione en algunos modelos, ahora estamos tratando de integrarlo todo y si lo conseguimos puede revolucionar completamente al sector”.

Lo mejor de todo esto es que, además, “el mismo método matemático utilizado en el caso de los teléfonos móviles funcionó para extraer energía de las olas” y, recalca, “quizá funcione en diez aplicaciones más”. Por eso, concluye sonriendo, “dedicarse a una sola aplicación siempre es malo”.

James Montaldi

James Montaldi: “Las mismas matemáticas sirven para planetas y moléculas”

La semejanza aparente entre un átomo y un sistema planetario como el que nos cobija tiene algo de real y es que, según el matemático James Montaldi, “las mismas matemáticas que funcionan para la mecánica celeste sirven a escala molecular”, afirma. Ambos forman parte de lo que se denomina como “sistemas hamiltonianos”, caracterizados porque, al no haber fricción, no existe pérdida de energía, o esta es mínima, lo que permite modelizarlos definiendo el movimiento por la manera en la que se distribuye la energía cinética y potencial.

“Las mismas ideas han de funcionar en ambos extremos”, el de lo diminuto y el de lo colosal, si bien “existen cuestiones diferentes como, por ejemplo, que en una molécula los átomos vibran, mientras que en un sistema como el solar los planetas rotan”. Ambos tipos de sistema, además, tienen una característica que interesa de manera especial a Montaldi: la simetría, que el investigador utiliza para analizar y conocer la dinámica del conjunto, ya sea desde el punto de vista cuantitativo (soluciones) como cualitativo (propiedades).

Por ejemplo, uno de sus trabajos indagaba en el movimiento de rotación y vibración de las partículas de moléculas especialmente pequeñas y de configuración simétrica, como el ozono. Lo que constituía un trabajo teórico se aplicó más adelante en el análisis espectral del ozono, una herramienta clave para medir la cantidad de este gas en la atmósfera y cuantificar, así, el grosor de la capa que rodea la Tierra. Y es que en última instancia las matemáticas se encuentran al final de la obra de la naturaleza y, por lo tanto, de los instrumentos necesarios para entenderla.

 

 

“Si trabajas en estos temas, aquí es donde hay que venir”

Los jóvenes son los auténticos protagonistas de esta Escuela, y lo saben. Por eso la próxima edición ya no estará organizada por miembros senior de la Red Temática Geometría, Mecánica y Control (GMCn), sino por dos de los estudiantes más veteranos, María Barberó, ayudante doctor en la Universidad Carlos III,  y David Iglesias, con un contrato Ramón y Cajal en la Universidad de La Laguna. Ambos asisten a la Escuela desde su primera edición. “A lo largo de los años se ha tendido a una implicación cada vez mayor de los jóvenes en la Escuela”, explican.

La tendencia no se manifiesta solo en más carga de trabajo para los estudiantes-organizadores. Los jóvenes también han ido ganando espacio en la estructura de la Escuela. Por ejemplo en esta edición, por primera vez, los estudiantes que han presentado un póster también han podido explicar su trabajo en una breve exposición de entre 5 y 10 minutos. “Acorta las distancias entre profesor y alumno; aquí el papel del estudiante no es sólo escuchar, sabes que los más grandes del área están ahí sentados escuchándote a ti”, dice David.

Miguel Teixidó, doctorando en la Universidad Politécnica de Catalunya, ha presentado uno de los posters y respondido a las correspondientes preguntas, y está encantado con la fórmula. Lo mismo opina Ignazio Lacirasella, que asiste por segunda vez a esta Escuela. Doctorando de la Università degli Studi di Bari (Italia), Lacirasella está actualmente en la Universidad de La Laguna gracias a una colaboración establecida en el ámbito de la Red Temática: “Si estás trabajando en estos temas realmente tienes que estar en esta Escuela, porque los principales expertos están aquí”, dice.

Angelo Scandaliato, doctorando en la Universidad de California en San Diego (EEUU), coincide: “Hay muchas escuelas y congresos en todo el mundo, pero esta ofrece un poco de todo lo que hay que saber en esta área”. Esta es su primera vez, y planea volver el año que viene.

Lacirasella y Scandaliato son una muestra de algo que ya advierten los organizadores: la Escuela, como la propia Red Temática, se vuelve cada vez más internacional, lo que amplía los posibles temas de trabajo y las colaboraciones.

Boletín ICMAT

El Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT) lanza este boletín con el que quiere mostrar a la comunidad científica y a todos aquellos interesados en el avance de esta disciplina la actividad investigadora de excelencia que se lleva a cabo en el centro. En él se incluirán, además, contenidos matemáticos divulgativos dirigidos al público general. El boletín quiere ser un reflejo de lo que ocurre en el ICMAT y, de manera más amplia, en un centro de excelencia de investigación matemática. Se presentarán temas de interés relacionados con la investigación matemática actual, la actividad científica del centro y algunos de los perfiles desatacados de la comunidad científica.

Los autores de estos artículos son los propios investigadores del Instituto u otros matemáticos que colaboren con el ICMAT, además de un equipo especial dedicado a la comunicación de las matemáticas.

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Puede descargar los números publicados hasta ahora:

Primer número. Primer trimestre 2013

Segundo número. Segundo trimestre 2013

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