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Archivo de diciembre 4th, 2013

Sobre el artículo “Diferenciación de integrales en dimensiones mayores”

El Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT) quiere mostrar con su boletín la actividad investigadora de excelencia que se lleva a cabo en el centro, y por ello destina una sección a presentar alguno de los resultados de investigación de sus miembros. En el tercer número hablamos de “Diferenciación de integrales en dimensiones mayores”, un articulo de Keith Rogers y Javier Parcet publicado en la revista de impacto internacional Proceedings of the National Academy of Sciences (PNAS). Reproducimos a continuación la reseña en la  sección de “Selección de los ICMAT Newsletter” del blog.

Título: Diferenciación de integrales en dimensiones mayores.

Título original: Differentiation of integrals in higher dimensions.

Autores: Javier Parcet y Keith M. Rogers (Instituto de Ciencias Matemáticas, ICMAT).

Fecha de publicación: Marzo de 2013

Fuente: Proceedings of the National Academy of Sciences (PNAS), vol. 110, no. 13.

DOI: www.pnas.org/cgi/doi/10.1073/pnas.1218928110

Web: http://www.pnas.org/content/110/13/4941.abstract

El Teorema Fundamental del Cálculo de Leibniz y Newton afirma que, en una dimensión, diferenciar es la operación inversa de integrar, es decir, que toda función continua integrable verifica que la derivada de su integral es igual a ella misma. Lebesgue generalizó el resultado a funciones no continuas. En este artículo, publicado en la revista Proceedings of the National Academy of Sciences en marzo de 2013, Javier Parcet y Keith M. Rogers, investigadores del ICMAT, analizan esta situación en dimensiones mayores que uno. Empleando un argumento de densidad estándar, el problema se reduce a acotar los operadores maximales en direcciones.

Tales operadores aparecen en distintas áreas como la teoría geométrica de la medida o el análisis armónico, donde controlan el comportamiento de la fórmula de inversión de Fourier. La transformada de Fourier codifica la información de una señal en sus frecuencias, y su inversa, en caso de que exista, realiza el proceso contrario, es decir, reconstruye la señal a partir de las frecuencias resultantes. Para volver a la forma original se pueden sumar las frecuencias de distintas maneras, en cubos o en bolas por ejemplo, y por tanto, en la existencia de la inversión entra en juego la geometría de la superficie. En particular, los operadores maximales en las direcciones normales a la superficie son fundamentales en el análisis del comportamiento de esta fórmula.
El problema de caracterizar los conjuntos de direcciones para los cuales los operadores maximales direccionales están acotados ya estaba resuelto en dos dimensiones, donde las direcciones están contenidas en el círculo unidad centrado en el origen. Parcet y Rogers analizan el caso de dimensión tres y superiores. En dimensión tres las direcciones están incluidas en la esfera, donde no hay un orden definido (es decir, no sabemos si una dirección viene antes o después que otra, mientras que esta noción sí existe en el circulo), lo que hacía difícil incluso imaginar la respuesta. Sin embargo, en éste artículo los autores han caracterizado las direcciones cuyos operadores maximales asociados están acotados, en cualquier dimensión finita.

Este resultado no cierra por completo el problema porque sería deseable tener una caracterización mas descriptiva. No obstante, es la primera vez que se ha podido caracterizar de manera general, hasta ahora solo se conocían ejemplos particulares.

Los autores

Javier Parcet  (Madrid, España, 1975) es Científico Titular del ICMAT, donde desarrolla el proyecto del Consejo Europeo de Investigación (ERC) Starting Grant en “Noncommutative Calderón-Zygmund theory, operator space geometry and quantum probability”, que obtuvo en 2010. Parcet se licenció y doctoró en Matemáticas por la Universidad Autónoma de Madrid en 2003, obteniendo el Premio Nacional de Estudios Universitarios y el Premio a la Tesis Doctoral. Después de tres periodos postdoctorales en Texas A & M University, la Universidad de Illinois en Urbana-Champaign y Centre de Recerca Matemática de Barcelona, se incorporó al ICMAT en 2006. Entre otras distinciones, aparte de la ERC-SG, ha sido galardonado con una posición de Investigador Ramón y Cajal en el 2005, así como el premio José Luis Rubio de Francia en 2006. El área principal de investigación de Parcet es el análisis armónico en espacios no conmutativos.  La aparición de la mecánica cuántica a principios del siglo XX -más en concreto la mecánica matricial de Heisenberg- destapó la necesidad de extender diversas teorías matemáticas a espacios no conmutativos. Parcet se ocupa de generalizar el análisis armónico a este tipo de espacios, para lo que utiliza herramientas de otras áreas de las matemáticas, como la probabilidad, el análisis funcional o la geometría. Algunos de estos resultados tienen impacto en física teórica y teoría de información cuántica. En la investigación de Parcet el análisis armónico no conmutativo se entremezcla con la probabilidad cuántica y la teoría del espacio de operadores. Sus resultados más significativos son la demostración, junto al matemático Marius Junge (Universidad de Illinois) de dos problemas abiertos planteados por G. Pisier sobre la geometría en espacios Lp no conmutativos y sus recientes resultados relacionados con multiplicadores de Fourier y operadores de Calderón-Zygmund en grupos álgebras de von Neumann, en los que trabaja dentro de su proyecto del ERC.

Keith Rogers (Kilmarnock, Escocia, 1977) es investigador contratado con el proyecto ERC-Starting Grant “Restriction of the Fourier transform with applications to the Schrödinger and wave equations”, que obtuvo en 2011. Terminó la licenciatura de Matemáticas en la Universidad de Edimburgo en 1999, galardonado con la medalla de Napier. En 2000 obtuvo el máster de la Universidad de Cambridge, recibiendo el premio del Tripos en matemáticas del Trinity College. En 2004 se doctoró en la UNSW, de Sídney (Australia) bajo la dirección del profesor Michael Cowling. Finalmente, después de estancias en Pisa, Gotemburgo y la Universidad Autónoma de Madrid se incorporó al ICMAT (Madrid) con un contrato Ramón y Cajal hace cinco años. Rogers trabaja en diversos problemas de análisis matemático, muchos de ellos relacionados con el análisis armónico. Uno de los problemas principales de este campo es describir las funciones por las cuales el proceso de Fourier -descomponer armónicamente para luego recomponer- funciona. Dicho de otra manera, se trata de identificar las cualidades de las funciones que permiten recomponer la transformada de Fourier (que codifica las partes armónicas de la función). Trabaja en ciertos problemas que han sido resuelto satisfactoriamente en dos dimensiones, en los que queda mucho por hacer en tres dimensiones (el espacio en cual vivimos) y en cuatro dimensiones (incluyendo la dimensión del tiempo). Uno de los objetivos mas ambiciosos del proyecto del ERC de Rogers es avanzar en estos temas vinculando el proceso de Fourier con la ecuación de Schrödinger que subyace la mecánica cuántica.

Boletín ICMAT

El Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT) lanza este boletín con el que quiere mostrar a la comunidad científica y a todos aquellos interesados en el avance de esta disciplina la actividad investigadora de excelencia que se lleva a cabo en el centro. En él se incluirán, además, contenidos matemáticos divulgativos dirigidos al público general. El boletín quiere ser un reflejo de lo que ocurre en el ICMAT y, de manera más amplia, en un centro de excelencia de investigación matemática. Se presentarán temas de interés relacionados con la investigación matemática actual, la actividad científica del centro y algunos de los perfiles desatacados de la comunidad científica.

Los autores de estos artículos son los propios investigadores del Instituto u otros matemáticos que colaboren con el ICMAT, además de un equipo especial dedicado a la comunicación de las matemáticas.

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Puede descargar los números publicados hasta ahora:

Primer número. Primer trimestre 2013

Segundo número. Segundo trimestre 2013

Tercer número. Tercer trimestre 2013.

 

 

 

 

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