Archivo de enero, 2014

Gotinga

La ciencia la construyen las personas, pero también es interesante prestar atención a los lugares en los que se desarrolla. Gotinga, en Alemania, albergó uno de los centros más importantes para las matemáticas, del que formaron parte Gauss, Riemann, Klein, Hilbert, Minkowski, Heisenberg, Born, Jordan, Wigner, Teller, Von Neuman y muchos otros grandes nombres de la historia de la ciencia. Lamentablemente, la guerra, el odio y la barbarie redujeron el lugar a un viejo recuerdo. Fernando Jiménez Alburquerque, investigador postdoctoral de la Technische Universität München (Alemania), dedica la siguiente entrada a éste santuario del saber.

Universidad de Gotinga

Gotinga (Götingen en alemán) es una ciudad de 120.000 habitantes en la Baja Sajonia, cerca de lo que a ojo de buen cubero podría considerarse el centro geográfico de Alemania. Si alguien hiciera una lista con las cinco ciudades más atractivas de Alemania para el turista medio (con los criterios que suelen usarse en las guías de viaje), probablemente Gotinga no estaría entre ellas; probablemente tampoco estaría si la lista fuera de diez ciudades y, sin lugar a dudas, no asomaría entre las cien primeras si se ampliara el territorio bajo consideración a al resto de países europeos. Por tanto, ¿por qué dedicarle una entrada en un blog sobre matemáticas?

La historia del conocimiento está jalonada de lugares que por circunstancias de mayor o menor contingencia han resultado de crucial importancia. Si estos lugares están fuera o dentro de un cuerpo humano no es obvio cuando de las ciencias más fundamentales se trata, en particular la física teórica o las matemáticas. En otras palabras: un descubrimiento matemático ¿ocurre en un lugar determinado o simplemente en el cerebro del científico en cuestión? Soslayando las preguntas filosóficas y siendo menos puntillosos, siempre se puede argüir que ese cerebro se aloja en el cráneo de una persona que, además, se encuentra en cierto lugar cuando la idea surge, aunque sea de manera parcial y huidiza.

Dr. Flemming

En esta categoría de lugares podríamos incluir la oficina de patentes de Berna en la que Einstein trabajaba a principios de siglo XX, y en la que desarrolló la teoría de la relatividad especial; la pequeña porción de campiña inglesa en la que se encontraba Newton cuando le cayó en la cabeza la famosa manzana (si consideramos esta bonita historia como verdadera); o la bañera de la que Arquímedes saltó desnudo al grito de ¡Eureka! Cuando la ciencia es de naturaleza aplicada, encontrar sus lugares resulta mucho más sencillo. El primero que se me viene a la cabeza es el laboratorio del Hospital St. Mary, en Londres, donde el doctor Fleming descubrió la penicilina (aunque fuera de manera accidental). Sin embargo, fuera de toda duda, mi lugar favorito es el barco Beagle y la trayectoria que trazó durante cinco años sobre la superficie de la Tierra, formando un subconjunto del espacio-tiempo en el que germinaron, dentro de la cabeza de Darwin, las ideas que han proporcionado a la ciencia el que en mi opinión es su mayor y más sólido cambio de paradigma hasta el momento: la teoría sobre el origen y la evolución de las especies.

Gauss

Gotinga es un enclave de gran importancia en la historia de las matemáticas. Se trata de una ciudad, un sitio que se puede situar en el mapa por medio de un par de coordenadas, y por tanto es un lugar de naturaleza tan extrínseca a la piel como lo puede ser cualquier laboratorio. No obstante, echando un vistazo a la historia de su universidad, uno se da cuenta de que también puede ocupar espacio en la conciencia global como ejemplo de lo fructífero y rico que puede ser un ambiente científico respaldado por las instituciones (además de la tradición), y de lo fácil que es destruirlo por medio de la irracionalidad.

El primer gran nombre entre los científicos que enseñaron e investigaron en Gotinga es el de Gauss, prolífico y polifacético dios de las matemáticas. Ante él, Riemann formuló en 1859, al doctorarse, su famosa hipótesis por primera vez, una de las más importantes conjeturas matemáticas que sigue sin ser demostrada a día de hoy. En lo que quedaba de su (tristemente) corta vida, Riemann desarrolló en Gotinga la geometría que lleva su nombre y que supuso una revolucionaria extensión de los géneros que se habían considerado hasta entonces: las geometrías euclidianas y (entre las no-euclidianas) la elíptica e hiperbólica.

Riemann

En 1886 Félix Klein fue nombrado rector de la Universidad. ya había demostrado su valía como matemático desarrollando el Programa de Erlangen (por la ciudad alemana en la que fue propuesto) en el que, a partir de los descubrimientos de Riemann, Klein se encargó de clasificar y caracterizar todas las geometrías en base a la noción de grupo. Como gestor no se quedó atrás: reveló una gran habilidad captando fondos y “recursos humanos” de inigualable valor, por ejemplo David Hilbert, que ya por entonces era un matemático famoso, rechazó otras universidades por Gotinga.

Hilbert es conocido por múltiples aportaciones, pero entre ellas destaca la elaboración de la lista de los “23 problemas sin resolver”, que presentó en el Congreso Internacional de Matemáticas de 1900 en París y que supuso un impulso para las matemáticas y la física del nuevo siglo debido a su profundidad y acierto en la selección. La presencia de Hilbert en Gotinga atrajo la de otros, como el lituano Hermann Minkowski. Durante su estancia en Gotinga entendió la forma de “geometrizar” la relatividad especial de Einstein por medio de lo que desde entonces se conoce como espacio de Minkowski, ejemplo de espacio no-euclídeo. Este descubrimiento ayudó al desarrollo posterior de la teoría de la relatividad general, teoría de hermosa estructura geométrica en la que, casualmente, Einstein hubo de utilizar las contribuciones de Riemann.

Hilbert

Otra de las aportaciones de Klein al ambiente académico en Gotinga fue la de fomentar el espíritu colaborativo entre las matemáticas, la física y las ciencias técnicas. Fruto de esta cooperación fue el avance y la fundamentación matemática de la teoría cuántica, teoría que había surgido a principios del siglo XX como un torbellino en la ciencia. Los principales artífices fueron Wener Heisenberg, Max Born y Pascual Jordan, pero no los únicos: miembros de la plantilla de la universidad de Gotinga en aquella época, en torno a 1930, eran Eugene Wigner, Edward Teller y John von Neumann, que aportaron su granito de arena para el crecimiento de la nueva teoría, sólida como una roca hasta el momento presente.

¿Qué ocurrió con la semilla científica plantada por todos ellos? Cualquiera apostaría a que Gotinga ha de seguir siendo un lugar central en la ciencia fundamental de hoy en día. No es el caso, y no lo es debido, como ocurre a veces en el cine con los finales infelices, a la brutalidad del “malo”. Si el florecimiento de las matemáticas y la física en Gotinga a finales del siglo XIX y principios del XX no fue consecuencia de la casualidad, sino más bien de la tradición y una apuesta clara hacia el conocimiento por parte de los dirigentes y de los gestores de la universidad, quizá su marchitamiento sí lo fue de las circunstancias contingentes que se mencionan arriba y que en este caso se vistieron con la capa oscura de la historia. Ya hubo una primera purga en la universidad (1837) en la que fueron expulsados siete profesores (entre ellos los hermanos Grimm, famosos por sus cuentos infantiles, que además eran lingüistas y mitólogos) por motivos políticos.

Los hermanos Grimm.

La universidad se repuso del golpe gracias a la apuesta económica del gobierno prusiano, pero nunca lo hizo después de la segunda purga casi un siglo después (1933) en la que el gobierno nazi expulsó a todos los profesores declaradamente judíos o que fueran sospechosos de tener tal ascendencia. No sólo se les acusaba de pertenecer a la etnia, sino también de dedicarse a lo que los nacionalsocialistas consideraban la nueva y fraudulenta “física judía”, es decir la relatividad y la mecánica cuántica fundadas respectivamente por los judíos Albert Einstein y Niels Bohr, y que se oponía a la mucho más aplicada “física aria” representada por el físico de origen húngaro Philipp Lenard. (Born, Wigner, Teller y von Neumann fueron algunos de los afectados; remitimos a los lectores de este blog a una entrada anterior http://www.madrimasd.org/blogs/matematicas/2013/07/04/136449 si están interesados en más detalles.) La línea de excelencia en las ciencias naturales que se remontaba a la época de Gauss y Riemann había sido cercenada para siempre de un solo golpe.

Gotinga figura en la historia de la ciencia como un ejemplo de que las flores crecen con mucha más facilidad y salud cuando el terreno está bien abonado. También es un ejemplo de lo fácil que es pisotearlas. Pero cuidado (aviso para navegantes, especialmente para los encargados políticos de dirigir y gestionar la nave), no es necesario arrancar de cuajo una flor para que no vuelva a crecer: basta con no prestarle atención y dejar de regarla.

Fernando Jiménez Alburquerque es investigador de la Technische Universität München (Alemania)

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Cuatro becas de doctorado La Caixa en el ICMAT

El ICMAT anuncia la convocatoria de cuatro becas para jóvenes matemáticos que quieran realizar su doctorado en el instituto. La solicitud ha de entregarse antes del 18 de febrero de 2014, junto a una serie de documentos detallados en la página web del ICMAT.

El programa de doctorado Severo Ochoa- La Caixa del ICMAT ofrece formación interdisciplinar en la frontera de la investigación matemática, en un ambiente científico internacional. Este año se convocan cuatro becas destinadas a jóvenes matemáticos de gran talento, de cualquier nacionalidad.

Los interesados deberán entregar la documentación requerida antes del 18 de febrero de 2014. Han de ser investigadores españoles o extranjeros que hayan terminado estudios universitarios que los cualifiquen para cursos de educación superior y de postgrado oficiales, y que estén o vayan a estar admitiros en un programa de doctorado.

Los investigadores y estudiantes que hayan tenido una relación científica con el IMCAT durante más de seis meses consecutivos antes de la entrega de documentación de esta convocatoria no serán admitidos. Otros requisitos de los candidatos y del proceso pueden consultarse en la comunicación del BOE. http://www.boe.es/boe/dias/2014/01/29/pdfs/BOE-A-2014-895.pdf

El salario asociado a la beca es de 18.546,56 € el primer año,19.303,56 € el segundo, 20.666,16 € el tercero y 22.558,67 €, e incluye una donación de 1500 € en los dos primeros años y 1700 los dos siguientes, para gastos de inscripciones, libros, programas informáticos, suscripciones, gastos de viajes y otros desembolsos asociados a actividades académicas o científicas.

Doctorado Severo Ochoa- La Caixa

Desde 2013 el ICMAT se incorporó a este proyecto promovido por la Fundación La Caixa en colaboración con el Ministerio de Economía y Competitividad (Mineco) que ofrece contratos predoctorales a cada uno de los centros distinguidos con la acreditación de excelencia Severo Ochoa.

Se trata de becas de excelencia y de carácter marcadamente internacional. Como señala Ignasi Calvera, subdirector del área de Ciencia y Medio Ambiente de la Fundación La Caixa y responsable de su programa de becas: “Para la Fundación es muy importante que las convocatorias se hagan a nivel internacional y se fallen mediante procesos de concurrencia competitiva por evaluación de pares”. El objetivo es atraer a los mejores investigadores jóvenes de todo el mundo.

La iniciativa tiene como precedente el Programa Internacional de doctorado en Biomedicina de La Caixa, que en los últimos años ha formado a 200 estudiantes de 37 países distintos. Los resultados obtenidos con este proyecto han animado a la Fundación La Caixa a ampliarlo a los centros de investigación Severo Ochoa.

El programa de biomedicina “se puso en marcha en 2008 y se mantuvo hasta el 2012, cuando se decidió ampliar a todos los centros que estuvieran en condiciones de competir internacionalmente para atraer talento joven a nuestro país”, explica. “Los beneficiarios de este programa son no sólo los becarios sino también los centros de investigación. Se propone que un contingente significativo de jóvenes en su máximo momento de creatividad se incorporen a un centro de excelencia”.

Cómo pedir la beca

Las solicitudes pueden entregarse antes del 18 de febrero de 2014 por diferentes vías:

  • Personalmente por la persona interesada, en:
  1. El Registro General de la Agencia Estatal Consejo Superior de Investigaciones Científicas (calle Serrano, nº 117, 28006 Madrid).
  2. Una Oficina Postal en España. En este caso la documentación ha de estar datada y sellada, y enviada por envío certificado a la dirección anterior.
  3. Representaciones Diplomáticas Españolas o Oficinas de Consulado: http://www.exteriores.gob.es/Portal/en/ServiciosAlCiudadano/Paginas/EmbajadasConsulados.aspx

Más información:

http://www.icmat.es/resources/employment/laCaixa-fellowships

http://www.icmat.es/es/servicios/empleo/laCaixa-becas

Contacto: Esther Fuentes, Severo Ochoa Manager

predoc@icmat.es

912999705

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¿Por qué hay algo en vez de nada?

Manuel de León reseña el libro “Un universo de la nada”, del cosmólogo norteamericano Lawrence M. Krauss, recientemente publicado por Ediciones PASADO Y PRESENTE, 2013. En este libro, el autor muestra la evolución de la ciencia en la comprensión del desarrollo del universo, para concluir que “a la luz de nuestros conocimientos actuales, el universo puede haber surgido… sí, de la nada”.

El libro “Un universo de la nada”, del cosmólogo norteamericano Lawrence M. Krauss, con el interesante postfacio de Richard Dawkins, es realmente impactante. El libro tiene el subtítulo, “¿Por qué hay algo en vez de nada?”, que sintetiza en gran medida el discurso de Krauss a lo largo de poco más de 200 páginas: el universo, es decir, el todo, pudo surgir de la nada.

El autor introduce los hitos más importantes de la historia del descubrimiento de nuestro universo. Uno de los puntos es la Teoría de la Relatividad Generalizada, desarrollada por Albert Einstein en los 15 primeros años del siglo XX. Las ecuaciones de Einstein y su introducción de la constante cosmológica para evitar la inconsistencia de un universo estático (y que después declaró como su mayor error), han tomado todavía mas importancia en los tiempos recientes. De hecho, resulta sorprendente la vigencia del científico alemán.

La observación del universo por parte de la injustamente olvidada Henrietta S. Leavitt sobre la relación entre la luminosidad de las cefeidas y su período de variación, permitió calcular distancias a estrellas remotas; este trabajo y el de Edwin Hubble permitieron entender que había otras galaxias además de la nuestra, ampliando así nuestro universo de una manera insospechada.

También aprendimos de la dinámica de estas galaxias: cuanto más lejos están, se alejan cada vez con más rapidez. Esto nos lleva a pensar en un universo en expansión surgido (como sugirió Georges Lemaître) de un átomo primigenio. Así nace la teoría del Big Bang.

Desde entonces nuestro conocimiento ha ido aumentando, pero también nuestro desconcierto. Sabemos calcular la edad del universo hasta cuatro cifras significativas (13.720 millones de años); y hemos podido descubrir y medir la radiación de fondo cósmico de microondas.

La dificultad de decidir sobre la geometría del universo -cerrado, abierto o plano-, ha quedado zanjada de una manera sorprendente. Los resultados parecen indicar que vivimos en un universo plano, que está en expansión acelerada, y que tuvo una superinflación en sus comienzos, de manera que en un futuro lejano, nuestra galaxia se quedará aislada de las demás. Pero, por una parte, el peso de los cúmulos de galaxias no llega para explicar esa situación, es decir, falta materia, lo que han solucionado con la llamada “materia oscura”. Y falta energía, que se ha dado en llamar “energía oscura” y que es otra manera de hablar de la constante cosmológica, o si se quiere, de la energía del vacío. ¿Cómo se explica que la nada tenga energía? Aquí tenemos que echar mano de la mecánica cuántica, y los fenómenos de creación/aniquilación.

Todavía no entendemos muy bien como compaginar la mecánica cuántica con la relatividad (ni la supersimetría, ni la teoría de cuerdas y su prolongación, la llamada teoría M no lo han conseguido tampoco), y quedan por lo tanto numerosas incógnitas.

En cualquier caso, Krauss prueba que, a la luz de nuestros conocimientos actuales, el universo puede haber surgido… sí, de la nada.

Lo más sorprendente es que si imaginamos una infinidad de universos (los que permite la mecánica cuántica) y su colección (que se ha dado en llamar el multiverso) parecería que en el nuestro estamos viviendo en una época en la que los científicos somos capaces de averiguar estas cosas sobre el mismo, la época en la que la energía de la materia es equiparable a la energía del vacío, y que en otras épocas más tempranas o tardías de nuestro universo, no hubiéramos gozado de esta posibilidad. Interesante, ¿verdad?

La conclusión de la lectura de este libro es muy clara: solo la ciencia nos da respuestas, que nos gustan más o menos, pero que nos dan certezas. Intentar escaparse de esta realidad con primeras causas, dioses o entidades eternas, no nos va a evitar tener que enfrentarnos con eso tan maravilloso que es nuestro universo.

El autor

Lawrence M. Krauss, nacido en 1954, es un conocido cosmólogo que estudió física y matemáticas en la Universidad de Carleton, e hizo su doctorado en el Massachusetts Institute of Technology. Ha sido profesor en la Universidad de Yale y actualmente lo es en la de Arizona. Aparte de su impresionante trayectoria científica, ha impartido numerosas conferencias para el gran público y ha escrito varios libros de divulgación con gran éxito, como “La Física de Star Trek”, “Historia de un átomo”, o “Descubrir a Richard Feynmann”, además del que aquí reseñamos. Por esta tarea divulgativa ha recibido varios premios.

Datos del libro

UN UNIVERSO DE LA NADA

LAWRENCE M. KRAUSS

Ediciones PASADO Y PRESENTE, 2013

ISBN 9788494100826

Manuel de León (CSIC, Real Academia de Ciencias y Academia Canaria de Ciencias) es Director del Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT) y vocal del Comité Ejecutivo de IMU.

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Términos aleatorios y otras complicaciones probabilísticas

En 2013 comenzó una colaboración entre el ICMAT y la UC3M en el campo de la Estadística, en cuyo marco se organizaron varios seminarios. El próximo miércoles 29 de enero arranca el intenso programa de este  año 2014 del Seminario de Estadística y Probabilidad Aplicada, con una primera conferencia sobre “Dinámicas Estocásticas vs. Deterministas”, por Tomás Caraballo (Universidad de Sevilla). Cada mes se organizarán dos o tres charlas a cargo de importantes investigadores internacionales de este campo. Carlos Escudero Liébana (UAM-ICMAT), uno de los organizadores, presenta las próximas actividades.

Los objetivos de este nuevo seminario son potenciar una rama de las matemáticas cuya presencia no tenía tanto peso como otras en el ICMAT, así como poner en contacto científicos con diferentes especialidades dentro de las matemáticas u otras ciencias. Idealmente esta actividad podría conducir a colaboraciones por parte de miembros del ICMAT con otros científicos radicados en importantes instituciones europeas.

Se va a tratar un rango de temas muy amplio, que resulta difícil recopilar de forma exhaustiva en unas pocas líneas. Sin embargo hay un motivo que se repite en la serie de charlas, y éste es el estudio de ecuaciones con términos aleatorios. Este tipo de ecuaciones presenta problemas matemáticos de gran complejidad y al mismo tiempo tiene importantes aplicaciones en campos tan diversos como las teorías de campos de la física teórica o la economía, por lo que es de gran importancia dentro de la disciplina. Efectivamente, en el Congreso Internacional de Matemáticos de 2006 celebrado en Madrid, el primer premio Carl Friedrich Gauss reconoció precisamente  las importantes contribuciones del matemático japonés Kiyoshi Itô en este campo.

Dinámicas Estocásticas vs. Deterministas

La primera charla de la serie será impartida por el profesor Tomás Caraballo, catedrático de la Universidad de Sevilla y miembro del instituto de matemáticas de dicha institución. Versará sobre el efecto que las perturbaciones aleatorias tienen sobre el comportamiento de las soluciones de ecuaciones diferenciales, efecto que también depende de la naturaleza de la propia perturbación.

El seminario presentará temas que involucren de una forma no trivial el azar y la aleatoriedad. Se tratarán tanto aspectos teóricos de los mismos como otros aplicados a diferentes ramas del conocimiento, como por ejemplo la física, las finanzas o la ingeniería. Es importante resaltar que el azar está presente por doquier en nuestra vida cotidiana así como en numerosos ámbitos científicos. De ahí que sea muy importante entenderlo e incluso llegar a tener un control parcial de sus efectos.
Más información:

http://www.icmat.es/seminarios/APS/

El seminario está financiado gracias al programa Severo Ochoa del ICMAT, en colaboración con la Universidad Carlos III de Madrid.

Los organizadores del seminario son:  Bernardo d’Auria (UC3M-ICMAT),  Kurusch Ebrahimi-Fard (ICMAT-CSIC), Carlos Escudero Liébana (UAM-ICMAT) y Marco Fontelos (ICMAT-CSIC).

Carlos Escudero Liébana es investigador de la Universidad Autónoma de Madrid y miembro del ICMAT.


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Luis Alías en el coloquio ICMAT-UAM

Luis Alías, Catedrático del Departamento de Matemáticas de la Universidad de Murcia, será el próximo invitado a los coloquios ICMAT-UAM. Su conferencia, bajo el nombre de “Maximum principles and geometric applications” tendrá lugar el próximo viernes, 24 de enero, a las 11:30. Alberto Enciso, investigador del ICMAT, presenta al invitado.

El análisis geométrico es una rama de las matemáticas que cubre tanto el uso de ecuaciones en derivadas parciales para atacar problemas geométricos como la utilización de ideas geométricas para analizar ecuaciones diferenciales. El análisis geométrico se ha desarrollado enormemente en los últimos cuarenta años y ha conducido a resultados emblemáticos y sorprendentes. Entre estos podemos destacar la demostración de la conjetura de Poincaré (Perelman, 2003), la existencia de estructuras diferenciables no equivalentes en R4 (Donaldson,1983), la demostración de la conjetura de Calabi (Yau, 1978) y la estabilidad del espacio de Minkowski en relatividad general (Christodoulou y Klainerman, 1993).

Luis Alías, Catedrático del Departamento de Matemáticas de la Universidad de Murcia, es una de las principales figuras nacionales en las áreas de Geometría Diferencia y Análisis Geométrico. Es autor de cerca de 100 publicaciones en diversos aspectos de estos campos, incluyendo problemas sobre superficies mínimas y de curvatura media constante, principios del máximo en geometría diferencial, y geometría lorentziana.

El viernes 24 de enero Alías, impartirá una conferencia en el Aula 520 del Módulo 17 del Departamento de Matemáticas de la UAM, dentro de la serie de coloquios conjuntos ICMAT-UAM.

En este coloquio, “Maximum principles and geometric applications” se dará una introducción al principio del máximo de Omori-Yau, desde su formulación clásica a generalizaciones recientes, y se presentarán algunas de sus aplicaciones en geometría diferencial

Luis Alías

Luis Alías es Catedrático de Geometría y Topología en el Departamento de Matemáticas de la Universidad de Murciadesde abril de 2004. Doctor en Ciencias Matemáticas por la Universidad de Murcia desde febrero de 1994 (Premio Extraordinario de Doctorado), realizó su formación posdoctoral en Durham University (Reino Unido) para incorporarse posteriormente como profesor titular de la Universidad de Murcia en diciembre de 1996.

Su trayectoria investigadora incluye una destacada actividad internacional, habiendo sido profesor visitante en diversas universidades y centros de investigación, tanto nacionales como extranjeros, entre los que podemos destacar la Universidad de Granada, Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada (Brasil), Universidade Federal do Ceará (Brasil), Fukuoka University (Japón), Korea Institute for Advanced Study (Corea del Sur), Institut des Hautes Études Scientifiques (Francia) y Universitá degli Studi di Milano (Italia). Es recensor de las revistas Mathematical Reviews y Zentralblatt für Mathematik / Mathematics Abstracts desde 1996.

Su labor de investigación se desarrolla en el seno del Grupo de Excelencia de la Región de Murcia “Geometría Diferencial y Convexa”, del cual es su investigador principal. Sus líneas de investigación se centran en la geometría diferencial y, en particular, en la geometría de Lorentz, el análisis geométrico y la geometría de subvariedades, estando dirigidas al estudio de ciertos problemas variacionales y de optimización que envuelven, de manera decisiva, a la geometría extrínseca de las subvariedades y particularmente a su curvatura media.

Más información:

Abstract: http://www.icmat.es/seminarios/files/2014/coloquio-abstract-24-01-14.pdf

“Maximum principles and geometric applications”, por LUIS JOSÉ ALÍAS LINARES, Universidad de Murcia.  Viernes 24 de enero de 2014; 11:30 :  Módulo 17, Aula 520, Depto. Matemáticas UAM

Página web de Lusi Alías en la Universidad de Murcia: http://www.um.es/geometria/index.php?view=article&id=121:luis-jose-alias-linares&option=com_content&Itemid=401&lang=es

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Un modelo matemático muestra cómo internet y las redes sociales impulsan la meritocracia

“To each according to its degree: The Meritocracy and Topocracy of Embedded Markets”, un trabajo publicado ayer en Scientific Reports y firmado por investigadores del ICMAT y el MIT, entre otras instituciones, tiene en cuenta la importancia de la arquitectura social y el grado de conexión entre sus miembros en la teoría económica. Según los resultados, las sociedades mal conectadas tienden a la topocracia, es decir, favorecen a aquellos que están mejor conectados y un sistema en el que la red de relaciones sea más densa contribuye a la igualdad de oportunidades y promueve una economía basada en el talento.

¿Cuáles son los factores que apuntan a la eclosión del talento y a la construcción de una sociedad más equitativa? Tradicionalmente se han tenido en cuenta aspectos como las habilidades del individuo o los recursos de los que éste disponía. La aparición de internet y las redes sociales, sin embargo, han cambiado el escenario y han aumentado en gran medida el grado de conexión social. Ahora, un modelo matemático –publicado hoy en la revista del grupo Nature Scientific Reports- ha puesto de manifiesto la importancia de esta conectividad en la actividad económica y en la compensación que los individuos reciben por su trabajo.

“Hasta ahora no se había tenido demasiado en cuenta el papel de la conectividad en la economía –explica Florentino Borondo, catedrático de la Universidad Autónoma de Madrid e investigador del ICMAT y uno de los autores del trabajo-. El modelo que hemos llevado a cabo muestra que una red muy conectada será meritocrática, es decir, beneficiará a aquellos que tengan más talento y, en caso contrario, será topocrática y ganarán más aquellos que estén mejor conectados”.

El sector elegido por los investigadores para encarnar el modelo matemático ha sido el cultural. En él, cada agente tiene dos fuentes de ingresos. En la primera, que han llamado ‘estrella del rock’, los agentes obtienen sus ingresos por el contenido que producen. Un caso extremo serían genios como Steve Jobs o John Lennon, que crean productos que todos quieren comprar. La segunda fuente de ingresos es la intermediación, necesaria para distribuir el contenido generado por los agentes. En el modelo los agentes difieren en su talento —la probabilidad de producir contenido popular— pero también en la posición que ocupan en la red. La pregunta que se hicieron los investigadores es bajo qué condiciones la posición de la red importa más que el talento de los agentes. La respuesta es que la posición de la red domina en redes menos conectadas, y por lo tanto, la conectividad de la red determina si el sistema es meritocrático o topocrático.

Internet y la economía del talento

Los resultados apuntan al impacto que internet y las redes sociales tienen en nuestras vidas. Cuanto mayor sea el grado de conectividad entre los individuos, más fácil será contactar directamente con otros y, por tanto, más meritocrático será el sistema. El modelo predice que internet y las nuevas tecnologías contribuyen a la creación de un sistema en el que las ganancias estén más relacionadas con el talento de cada persona que con su lugar dentro de la red. “En el siglo XXI es necesario introducir la topología de las redes de transacciones económicas como una componente más dentro de la teoría económica”, ha dicho Borondo.

“Para que un sistema económico sea muy meritocrático se necesita una red tremendamente conectada, y basta con hacer unos cálculos sencillos para ver que hoy la sociedad no lo está –explica-. La buena noticia es que el aumento de las conexiones propiciado por las nuevas tecnologías está haciendo que la meritocracia sea cada vez mayor, al posibilitar que una persona pueda entrar en contacto fácilmente con muchas otras y eliminar muchos intermediarios”.

En redes dispersas los individuos tienden a generar sus ingresos en mayor medida actuando como intermediarios, conectando a los productores con los compradores. Incluso, si las redes están muy poco conectadas puede ser necesaria la actuación de varios intermediarios. Esta es la razón por lo que este tipo de redes tiende a ser topocrática, es decir, en ellas los ingresos están determinados principalmente por la posición ocupada en una red y el grado de conectividad con otros. En las redes muy conectadas, sin embargo,  los individuos pueden vender sus productos directamente a los demás, y no necesitan compartir una gran parte de sus beneficios.

Los investigadores también han calculado el umbral a partir del cual una sociedad topocrática inicia la transición hacia una meritocrática, lo que depende tanto del grado de conexión de la red como de la distribución de los ingresos entre productores e intermediarios. Cuando los ingresos se distribuyen de manera equitativa entre productores e intermediarios la transición tiene lugar cuando la distancia entre el productor y el comprador final es, como media, de dos agentes. Si hay más agentes –o ‘nodos’, en el argot de las redes complejas-, el sistema será topocrático. En este modelo, por tanto, los famosos ‘seis grados de separación’ implican una red altamente topocrática. Sin embargo, si la parte que se lleva el intermediario es menor, también lo es el grado de conectividad necesario para que el sistema sea meritocrático.

En el trabajo, que se circunscribe al área de las redes complejas, han participado investigadores de disciplinas tan variadas como la física, la química y la economía. “Se trata de un campo netamente multidisciplinar –dice Borondo-, ya que esa conectividad que en este caso hemos utilizado para representar transacciones económicas puede usarse también para conocer el cerebro, el comportamiento de los genes o la dispersión de enfermedades”. Las matemáticas –y, en concreto, la teoría de grafos, que estudia la arquitectura de redes como internet- son la base sobre la que se fundamenta esta disciplina.

J. Borondo, F. Borondo, C. Rodríguez-Sicker y C.A. Hidalgo,
“To each according to its degree: The Meritocracy and Topocracy of Embedded Markets”,
Sci. Rep. 4, 3784 (2014); DOI:10.1038/srep03784

Ágata A. Timón es responsable de Comunicación y Divulgación del ICMAT.

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Un año cristalino

Hoy empieza el Año Internacional de la Cristalografía, declarado por la ONU, con un acto oficial en la sede de UNESCO en París. Se conmemora el centenario de la difracción de rayos X, la herramienta fundamental para el análisis de materiales cristalinos, y el 400 aniversario de la observación de la forma simétrica hexagonal de los cristales de hielo. La Unión Cristográfica Internacional, en colaboración con instituciones de todo el mundo, ha planificado una enorme cantidad de eventos a lo largo de este año para mostrar la importancia de esta disciplina -que en particular, tiene muchas relaciones con la matemática- en la sociedad actual.

2014 ha sido declarado como Año Internacional de la Cristalografía (IYCr2014) según declaración de la Organización de las Naciones Unidas (ONU) aprobada en su 66 Asamblea General el 3 de Julio de 2012, a propuesta de  la Unión Cristalográfica Internacional (IUCr). Hoy, 20 de enero, se celebrará la inauguración oficial en la sede de la UNESCO en París.

El Año Internacional de la Cristalografía conmemora dos grandes acontecimientos:

1) El centenario de la difracción de rayos X, que permitió el estudio del los materiales cristalinos. Recordemos que los rayos X fueron descubiertos en 1895 por Röntgen (Premio Nobel en 1901). Posteriormente, Max Von Lauë (Premio Nobel en 1914) descubrió la difracción de los rayos X por los cristales, y confirmó su longitud de onda. Más tarde, sir William Henry Bragg y su hijo William (premios Nobel en 1915) determinaron la estructura cristalina de muchos minerales, y formularon de manera sencilla como se difractan los rayos X en los cristales (por la denominada Ley de Bragg)

2) El 400 aniversario de la observación por Johannes Kepler en 1611 de la forma simétrica hexagonal de los cristales de hielo, en su obra Strena seu de Nive Sexangula, que dió comienzo al estudio del papel de las simetrías en la materia.

 

El Año Internacional de la Cristalografía

La Unión Cristalográfica Internacional (IUCr) es una unión científica internacional, como la Unión Matemática Internacional (IMU) es para los matemáticos. Pertenece a ICSU, el Consejo Internacional de la Ciencia (International Council of Science, que mantiene las antiguas siglas de su nombre anterior, International Council of Scientific Unions). Los objetivos de la IUCr son promover la cooperación internacional en la cristalografía, su investigación, crear métodos estandarsd en lo que se refiere a métodos, unidades y símbolos, y constituir un foco para las relaciones de la cristalografía con el resto de las ciencias.

La IUCr, en colaboración con instituciones de todo el mundo, ha planificado una enorme cantidad de eventos a lo largo de este año.

Los objetivos principales del IYCr2014 son:

  • Incrementar el interés público por la ciencia de la cristalografía y mostrar su implicación en los desarrollos tecnológicos de nuestra sociedad actual.
  • Inspirar a los jóvenes mediante exposiciones, conferencias y laboratorios en las escuelas.
  • Ilustrar sobre la universalidad de la ciencia.
  • Intensificar el programa Cristalografía en África y crear programas similares en Asia y América Latina.
  • Fomentar las cooperaciones internacionales entre científicos de todo el mundo, especialmente las contribuciones Norte-Sur.
  • Promover la investigación en cristalografía, y sus relaciones con otras ciencias.
  • Incluir las instalaciones sincrotón y de neutrones en la celebración de este año, y el proyecto SESAME bajo los auspicios de la UNESCO. Recordemos que  SESAME, es lo que se denomina una fuente de luz de sincrotrón, que funciona como un microscopio gigante y permitirá a los investigadores de Jordania, Bahréin, Chipre, Egipto, Irán, Israel, Pakistán, palestinos y de Turquía estudiar las propiedades de materiales avanzados, procesos biológicos y obras culturales.  El proyecto también pretende contribuir a fomentar la paz en la zona a través de la cooperación científica.

Para seguir las actvidades del IYCr2014, se puede visitar su excelente página web http://www.iycr2014.org/, en la que también se pueden seguir las organizadas en España.

La cristalografía y las matemáticas

Ambas ciencias están muy relacionadas. No olvidemos que las simetrías están tras el concepto de grupo, así que álgebra y geometría han ido muchas veces de la mano de la cristalografía. Pero también que en la difracción juega un papel clave la transformada de Fourier y en general todo el análisis matemático.

Manuel de León (CSIC, Real Academia de Ciencias y Academia Canaria de Ciencias) es Director del Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT) y vocal del Comité Ejecutivo de IMU.

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El Comité Organizador del AIMS2014 solicita voluntarios

El Comité Organizador de la 10th AIMS Conference on Dynamical Systems, Differential Equations and Applications, que se celebra en Madrid del 7 al 11 de julio de 2014, invita y anima a participar como voluntarios en la organización de este Congreso a estudiantes de Ciencias Matemáticas, Ciencias Físicas e Ingeniería y estudiantes predoctorales, especialmente estudiando en la comunidad de Madrid.

El 10th AIMS Conference on Dynamical Systems, Differential Equations and Applications

El objetivo de este congreso es promover la cooperación y el intercambio de ideas entre los científicos más relevantes en las áreas de sistemas dinámicos, ecuaciones diferenciales y sus aplicaciones. En particular en la edición de Madrid se cuenta con la participación de dos Medallistas Fields: Charles L. Fefferman (Princeton University) y Cédric Villani (Institut Henri Poincaré), así como la de Ingrid Daubechies, premio BBVA Fronteras del Conocimiento. En total, serán 12 los conferenciantes principales,  a los que se añaden casi 130 sesiones especiales.

Este congreso se celebra cada dos años, alternando su sede entre Estados Unidos y otros países. Es la primera vez que este congreso se celebrará en España. El congreso ha despertado una gran expectación y se esperan 2000 participantes.

Las ventajas de ser voluntario

Participar como voluntario en este evento científico ofrece una oportunidad única para compartir en vivo y en directo una de las más importantes actividades celebradas en España en el ámbito de las Matemáticas, con la presencia de relevantes investigadores tanto españoles como extranjeros.

Los voluntarios están exentos de la cuota de inscripción y recibirán una gratificación por su colaboración.

La dedicación durante el congreso será de media jornada diaria en actividades organizativas: apoyo en tareas de información, asistencia técnica en las salas de conferencias y comunicaciones, o en las salas informáticas etc. Durante el resto de la jornada podrás asistir libremente a las actividades del congreso.

Los voluntarios que resulten seleccionados y estudien fuera de la Comunidad de Madrid recibirán un beca de alojamiento y manutención en un Colegio Mayor o residencia Universitaria de Madrid durante la celebración del congreso.

Los detalles de la convocatoria pueden verse en esta página web:

http://www.icmat.es/congresos/aims2014/volunteers.php

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El ICMAT recibe dos becas Consolidator del Consejo Europeo de Investigación con una dotación de 2,5 millones de euros

El ERC financiará dos proyectos de investigadores del ICMAT con el programa Consolidator Grant. Uno de ellos es de Javier Fernández Bobadilla, que resolvió la conjetura de Nash en 2011 y seguirá abordando grandes problemas abiertos en este campo. El segundo es de José María Martell, quien estudiará complejos problemas matemáticos que aparecen en cuestiones prácticas relacionadas con, por ejemplo, la difusión del sonido o el calor. El ICMAT es la primera institución matemática europea en número de ayudas otorgadas por el Consejo Europeo de Investigación. En esta última convocatoria del programa ERC Consolidator el ICMAT ha conseguido el 10% de las ayudas concedidas a España.

Ahora, más que nunca, la financiación internacional cobra importancia en el desarrollo de la ciencia de los países más afectados por los recortes presupuestarios, entre ellos España. El proceso de selección es, sin embargo, extremadamente competitivo, hasta el punto de que este año, en la convocatoria de las  prestigiosas becas Consolidator Grants concedidas por el Consejo Europeo de Investigación (ERC, por sus siglas en inglés) se presentaron más de 3.500 proyectos, de los que sólo han sido elegidos alrededor de un 10%. Entre ellos, dos pertenecen al Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT), lo que supone el 10% de las ayudas concedidas en toda España en esta convocatoria, en todas las disciplinas. Además, en el campo de las matemáticas el ICMAT es el centro de investigación europeo con mayor número de proyectos ERC, junto a la Universidad de Oxford

José María Martell, científico titular, y Javier Fernández de Bobadilla, Investigador Científico del Consejo Superior de Investigaciones Científicas y miembros del ICMAT, han conseguido, respectivamente, 1.430.000 y 1.140.000 euros, que utilizarán en consolidar sus grupos de investigación y seguir trabajando en la frontera del conocimiento matemático. Hasta la fecha, el ICMAT contaba con seis de estas ayudas, en la modalidad Starting -dirigidas a jóvenes investigadores capaces de liderar grandes proyectos científicos-. Estas dos últimas, con las que el Instituto iguala a la Universidad de Oxford, que cuenta también con ocho en total, pertenecen a la modalidad Consolidator.”Estos resultados son una clara muestra de la excelencia del ICMAT”, ha declarado Manuel de León, director del Instituto.

“La estrategia emprendida ha consistido en, primero, captar talentos y, después, proporcionarles las mejores condiciones posibles para que pudieran competir internacionalmente. Además, pusimos en marcha la oficina ICMAT Europa para impulsar el proceso con la ayuda de un gestor con gran experiencia. Y prestamos una gran atención a la organización de actividades científicas de alto nivel para crear un ambiente estimulante, lo que supone el mejor caldo de cultivo para el talento. Seguiremos en esta línea, trabajando para conseguir que todos sus investigadores puedan desarrollar todo su potencial”, ha dicho De León.

El trabajo de José María Martell se sitúa en la interfaz del análisis armónico, las ecuaciones en derivadas parciales y la teoría geométrica de la medida. Este tipo de problemas aparece en situaciones de lo más cotidianas: “Al diseñar una biblioteca en la que se quieren crear zonas de silencio, donde no pueda escucharse a alguien que está solicitando un préstamo, necesitamos modificar la difusión del sonido en la construcción, lo que se traduce en problemas matemáticos como los que proponemos”, señala Martell. “El proyecto a desarrollar tiene un carácter principalmente teórico y pretende estudiar las ecuaciones que modelan estos fenómenos de un modo riguroso”, prosigue.

Por contra, el proyecto de Fernández de Bobadilla se desarrolla en campos muy teóricos de las matemáticas. Su propuesta es un amplio mosaico en el que destacan algunos problemas centrales del campo de la teoría de singularidades, pero que enlaza éste con otros campos de las matemáticas.

Javier Fernández de Bobadilla es investigador del ICMAT

Grandes problemas, grandes soluciones

En 2006 Fernández de Bobadilla obtuvo una de las becas del Consejo Europeo de Investigación en su modalidad Starting, que finalizó en noviembre de 2013. Dentro de este programa de investigación alcanzó uno de los grandes retos propuestos: la resolución, en cooperación con Maria Pe Pereira de la conjetura de Nash para dimensión 2, lo que supuso un gran hito en su tema de investigación. La extensión del resultado, es decir, la reformulación para dimensiones superiores y su demostración es uno de los objetivos que se plantean en esta nueva etapa.

La generalización de la conjetura es sólo uno de los muchos  problemas planteados en este nuevo ERC Consolidator Grant, que tiene asociada una ayuda de 1.140.000 euros. “Es un plan muy amplio que toca temas muy distintos. Hemos identificado ciertas cuestiones centrales en la teoría de singularidades, y queremos desarrollar ciertas técnicas que cambiarían la perspectiva si se resolvieran”, explica Fernández de Bobadilla. Entre las grandes cuestiones que se plantean está la conjetura de Lê-Ramanujan, que ha sido un “problema guía” para el investigador. “Empecé a pensar en él hace 10 años, y buscando maneras de tratarlo llegué a la conjetura de Nash y a la correspondencia de McKay, otros de los problemas que planteo en el proyecto del ERC, y a diferentes cuestiones que han resultado ser muy interesantes”.

Responder a alguna de estas preguntas mencionadas es un gran hito en sí, pero además su resolución implica el desarrollo de técnicas que luego serán aplicables a muchos otros contextos. “Estos problemas se han estudiado de manera clásica durante muchos años, no van a resolverse si no es con una visión novedosa”, afirma Fernández de Bobadilla. Sabe que su planteamiento es de alto riesgo y alta ganancia. “Sería muy irresponsable decir que vaya a resolver todas las cuestiones propuestas: no lo ha solucionado nadie en 40 años. Pero seguro que en el intento saldrán cosas intermedias suficientemente interesantes”.

Chema Martell es investigador del ICMAT

Cómo se mueve el sonido

José María Martell también ha apuntado a profundos resultados de las matemáticas,  que surgen, por ejemplo, al estudiar la difusión del calor en un cuerpo sólido. “Si conocemos la temperatura en el contorno –en unas partes será más alta que en otras-, podemos estudiar cómo se distribuye el calor hasta quedar en equilibrio, en función de la forma del cuerpo y la descripción del contorno”, cuenta el investigador.

El proyecto pretende estudiar estos fenómenos de un modo riguroso, combinando técnicas e ideas de tres campos distintos de las matemáticas: análisis armónico, ecuaciones en derivadas parciales y teoría geométrica de la medida. Es necesario desarrollar la teoría de ecuaciones en derivadas parciales que modelizan estos problemas de difusión. Y, como es de esperar, la forma de la habitación, o del motor, condicionan respectivamente la manera en la que se transmite el sonido o el calor, con lo que es importante estudiar la geometría del dominio y de su contorno, de donde surge la teoría geométrica de la medida. Finalmente la resolución de estas ecuaciones requiere en muchas ocasiones ciertas técnicas que se encuadran dentro del análisis armónico.

“El objetivo de este proyecto es liderar un equipo de investigación que trabaje en los temas anteriores”, afirma Martell. Para ello, se usará la financiación en contratar estudiantes de doctorado y postdoctorales que puedan participar activamente en los problemas propuestos. “Pretendo ofrecer sueldos competitivos que permitan contratar a los mejores candidatos”, señala el investigador. Por otro lado, el dinero obtenido permitirá que el equipo de trabajo pueda realizar viajes de investigación, asistir a congresos, etc. “También se usarán fondos para poder mantener e incrementar las colaboraciones internacionales y para organizar congresos, seminarios, escuelas, etc., que nos acerquen los últimos avances en estos campos y en los que podamos difundir los resultados obtenidos”.

Javier Fernández de Bobadilla prevé unos gastos similares: “Quiero contratar varios investigadores postdoctorales, alguno de doctorado y seguramente a un científico sénior, especializado en ciertos campos del proyecto que se salen de mi especialización, pero que creo que pueden ser enfoques interesantes a la teoría de singularidades”, concluye.

Más información:

http://www.icmat.es/research/international-grants

http://erc.europa.eu/sites/default/files/press_release/files/press_release_cog2013_results.pdf

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Ulises, las comadrejas y los matemáticos

Acabo de terminar la lectura de un breve pero apasionante libro de Georg von Wallwitz, titulado “Ulises y las comadrejas” (valga decir que el subtítulo “Una simpática introducción a los mercados financieros”, sobraba).

 

¿Quién es este Georg von Wallwitz? Nació en Munich (Alemania), es matemático y filósofo, estudió en Alemania e Inglaterra, y una vez doctorado, se fue de postdoc a la Universidad de Princeton. Desde 1998 se ha dedicado a la gestión de fondos de inversión, primero para DWS en Fráncfurt y a partir de 2004, como profesional independiente, en una empresa de gestión de inversiones radicada en Múnich de la que es cotitular. Estos son los escasos datos que se pueden encontrar en la Editorial Acantilado, la editora de su libro.

George von Wallwitz

Aunque la información no es mucha, si podemos decir que el autor conoce bien el mundo del que habla. El libro se abre con dos historias extraordinarias. La primera es la puesta en marcha de la Compañía de las Indias Orientales, en 1602, en Ámsterdam, la primera sociedad anónima de la historia. La Compañçia se convierte en un éxito arrollador, llegando a tener 47.000 baros y transportar casi un millón de personas (por ejemplo, en 1670, tienen 15.000 barcos, cinco veces más que los ingleses). Obviamente, por motivos económicos, militares, corrupción, la Compañía tiene una decadencia.

La segunda historia tiene que ver con el financiero John Law. Escocés, aficcionado al juego por lo que se hace ducho en la teoría de probabilidades, se ve en la necesidad de escapar al continente. En Ámsterdam y Francia intenta convencer de sus ideas: podemos crear dinero como papel moneda, aunque no esté respaldado por el oro y la plata. Lo que no consiguió de Luis XIV, lo consigue a su muerte del regente, el duque de Orleans, y se inicia un negocio cuyo final era previsible. Se emite papel moneda a cuenta de inexistentes recursos mineros en Louisiana, la cotización sube y el juego de la bolsa se hace popular en París, hasta que la burbuja estalla.

Y entonces el autor nos lleva a un tercer personaje, John Maynard Keynes, que es el primer economista en estudiar de manera seria la economía de los mercados financieros. No olvidemos que Keynes representa la élite británica, es el grupo de los Apóstoles, el grupo de Bloomsbury… Keynes participa en las negociaciones de Versalles tras la guerra y renuncia asqueado de los políticos que solo aspiran a negociar en base a su posible reeleción. Y escribe su famoso libro “Las consecuencias económicas de la paz”, en la que se augura una nueva guerra por las condiciones que se les están poniendo a los alemanes.

Keynes se retira al King´s College en Cambridge, e invierte en bolsa en la City, para él y sus amigos. Y comienza a sentar su “Teoría General” en la que intenta poner los fundamentos de los mercados, rompiendo con la teoría clásica. Keynes sigue siendo el gran teórico hoy en día, aunque mantiene una desconfianza hacia las matemáticas: los modelos sirven para explicar lo que ha pasado, pero no dicen mucho de lo que pasará.

Es una época en la que las matemáticas van influyendo en la economía, con León Walras y Vilfredo Pareto, y tras sus éxitos iniciales, ya nadie duda de que el método matemático es el más indicado. Sin embargo, como el autor señala, esto sería así si los mercados se comportaran como la Compañía Oriental de las Indias, pero, ¿qué pasa con los John Law? ¡Interesante debate para los matemáticos!

Ulises y las comadrejas

El autor recrea las virtudes y defectos del héroe griego Ulises: podría ser el protoptipo del empresario o del inversor: inteligente, escéptico, mentiroso si es necesario, no le tiembla el pulso en la toma de decisiones…

Y llegamos a las comadrejas. Depredadoras que copan los mercados, los gestores de fondos. Y con estos dos colectivos, el autor se dedica a destripar los mercados, a decirnos como son todos los agente que intervienen en ellos, como a pesar de no haber piedad si hay una cierta lealtad. Y nos cuenta el crack del 29, y lo que ha pasado en la última crisis financiera.

En definitiva, libro absolutamente recomendable, lo disfrutaréis.


Detalles del libro

Georg von Wallwitz: Ulises y la comadreja

Colección: Acantilado Bolsillo, 32

Traducción: Roberto Bravo de la Varga

ISBN: 978-84-15689-76-8

Nº de edición: 2ª

Encuadernación: Rústica fresada

Formato: 12,5 x 19 cm

Páginas: 192

Precio: 12.00 €

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Manuel de León (CSIC, Real Academia de Ciencias y Academia Canaria de Ciencias) es Director del Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT) y vocal del Comité Ejecutivo de IMU.

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