web analytics

Archivo de septiembre 8th, 2014

Genio y pobreza de Niels Abel

Especial Año Internacional de la Cristalografía

Siguiendo con la búsqueda de la solución de ecuaciones polinómicas, esta entrada la vamos a dedicar de una de las historias más miserables de las matemáticas: la del matemático noruego Niels Henrik Abel. Es la biografía de uno de los grandes genios, que trabajó toda su cortísima vida en las condiciones más complicadas, pero que pese a ello consiguió resultados fascinantes. Entre ellos, consiguió dar carpetazo final a la resolución de las ecuaciones de 5º grado.

Abel nació en 1802 en el seno de una familia pobre. Se formó con su padre, pastor luterano, en la vicaría, hasta cumplir los 13 años. Con esta edad abandonó el hogar. Atrás dejaba una familia desestructurada, cruzada por el alcohol y las historias extramatrimoniales.

No fue a parar un sitio mejor: ingresó en la Cathedral School, con unos terribles profesores, en especial del de matemáticas, que pegaba y atemorizaba a los alumnos con frecuencia. En aquella época empezó a manifestarse el pavor de Abel por la soledad: cuando no estaba rodeado de gente caía en depresión y era incapaz de trabajar. En 1816, con 14 años, los resultados de Abel en el colegio cayeron en picado. Afortunadamente, al año siguiente, despidieron al profesor de matemáticas – después de su responsabilidad de la muerte de un alumno-, y contrataron a un sustituto. Holmboe, entusiasta e inspirador, fue la primera persona que detectó el talento matemático de Abel, y le ayudó a estimularlo.

La primera muestra del talento de Abel fue con un error. En su último año, Abel intentó por su cuenta abordar la resolución de la ecuación de quinto grado. Envalentado, presentó una demostración a Holmboe, que no supo encontrar ningún error. Se lo enseño a dos matemáticos de la Universidad de Christiania, que tampoco dieron que ningún fallo. Uno de ellos, consciente de la magnitud del resultado, remitió el trabajo al matemático escandinavo más relevante del momento: Ferdinand Degen, para que lo publicara la Academia Danesa. Éste último tampoco logró dar con ningún error en el planteamiento de Abel, pero le pidió un desarrollo más detallado de la demostración y algún ejemplo numérico del método de resolución. Es decir, dar, por ejemplo, la solución de 2x^5+3x^4+ 2x^3+ 7x^2+4x+8=0. Al intentarlo, Abel descubrió que su resultado era erróneo: no daba soluciones a la ecuación.

Primeros resultados originales

Sin apenas apoyo económico familiar, milagrosamente Abel consiguió acceder a la universidad. Sus profesores le intentaban ayudar con sus pocos medios, especialmente uno de los que recibió su primer intento de resolución de la ecuación de 5º grado: Christopher Hansteen. En un periódico fundado por éste, Abel publicó su primer artículo científico. El tercero, “Solución de un par de proposiciones mediante integrales definidas”, sentaba las bases de lo que luego fue la radiología moderna.

El tema de la resolución de la ecuación de 5º grado permanecía en su mente: en su siguiente intento, estaba convencido de que lo que tenía que probar era que no había manera de resolver el problema, es decir, que ninguna fórmula que involucrase solo operaciones elementales podría usarse para hallar las soluciones a la ecuación general de 5º grado. Como ya contamos en una entrada anterior, esto era lo que casi había probado Ruffini (aunque su demostración tenía alguna laguna), en una serie de escritos publicados entre 1799 y 1813. Sin embargo, el trabajo de Ruffini no tuvo éxito ni reconocimiento y, en 1823 Abel no lo conocía.

Ese mismo año, Abel concluyó su prueba. Con tal solo 21 años, había demostrado, sin ningún tipo de ambigüedad, y rigurosamente, que no existía una fórmula para resolver ecuaciones de 5º grado. Utilizó para su demostración el argumento de la reducción al absurdo, es decir, suponiendo que sí puede hay una fórmula la ecuación general, mediante un número de deducciones lógicas se llega a un absurdo, algo que no puede ser, y que por tanto, indica que las premisas de las que se partía eran falsas.

Con su trabajo, se puede asegurar que no hay un algoritmo que involucre únicamente las operaciones elementales y la extracción de raíces, que pueda aplicarse a cualquier ecuación de 5º grado y devuelva las soluciones. Esto no significa, evidentemente, que haya ecuaciones de 5º grado que sí puedan resolverse, las hay, pero no hay una fórmula común a todas para resolverlas.

Con el fin de difundir tamaño resultado, Abel escribió la demostración en francés, e incluso pagó con sus pocos medios una edición del artículo en forma de panfleto. Con el fin de ahorrar gastos condensó el artículo en tan solo 6 páginas, lo que restó claridad a sus argumentos, y la hizo inaccesible para la mayoría de los matemáticos. Se la hizo llegar hasta al mismo Gauss, que parece que ni llegó a abrir la carta. La obra pasó desapercibida.

Viajes erráticos por Europa

En 1824 los profesores Hansteen y Rasmussen solicitaron al gobierno noruego una beca para que Abel pudiera estudiar en el extranjero. En París alcanzó otros de sus grandes logros: el Teorema de Abel. Cuando concluyó el artículo, consciente de su relevancia, lo presentó a la Academia Francesa de las Ciencias. Los grandes matemáticos franceses Cauchy y Legendre fueron los encargados de hacer el informe. Pasaron los meses, y no obtuvo respuesta: Legendre no se molestó en leerlo, y Cauchy posiblemente lo extraviara. El único que reconoció la grandeza del resultado fue Carl Gustav Jacov Jacobi.

Mientras tanto sus penurias económicas seguían persiguiéndole, y su salud empezaba a deteriorarse alarmantemente. Tuvo que volver a su Noruega, con lo que perdió el dinero de la beca: era para mantenerle en el extranjero, no en su propio país. Tuvo que trabajar como tutor de colegiales.

En 1828 la situación mejoró: pudo sustituir a Hansteen en la universidad y en la academia militar, y dedicarse de nuevo a la investigación. Algunos de sus trabajos de sesa época sobre funciones elípticas empezaron a difundirse, y su fama comenzó a extenderse por toda Europa. Sin embargo, seguía sin poder acceder a una plaza universitaria. Y sus finanzas se hundían. También su salud empeoraba: poco después de la navidad de 1828 cayó gravemente enfermo. Tras unos meses de agonía en la cama, Abel falleció el 6 de abril de 1829. El 8 de abril, aun sin conocer la noticia de la muerte de Abel, un amigo suyo le escribió para notificarle que el Ministro de Educación alemán había decidido ofrecerle un empleo en Berlín.

Más informacion:

La historia de la resolución de ecuaciones polinómicas: http://www.madrimasd.org/blogs/matematicas/tag/resolucion-de-ecuaciones

El Año Internacional de la Cristalografía: http://www.madrimasd.org/blogs/matematicas/tag/ano-internacional-cristalografia

Ágata A. Timón es responsable de Comunicación y Divulgación del ICMAT.

Etiquetas:
Categorias: General