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Archivo de septiembre 15th, 2014

El personaje más romántico de las matemáticas

Especial Año Internacional de la Cristalografía

Seguimos con la gran hazaña de la resolución de las ecuaciones polinómicas, que involucró a algunos de los matemáticos más importantes, desde los babilónicos hasta el siglo XVII. Hoy llegamos al capítulo final. En una entrada anterior hablamos del trabajo de Niels Abel, que demostró que, a partir de grado 5, no había una fórmula general para resolver la ecuación. Después de esto todavía queda una gran pregunta abierta: ¿podemos saber qué ecuaciones sí pueden resolverse con una fórmula que solo involucre operaciones elementales? En esto trabajó Evariste Galois, en las primeras décadas del s. XIX.

Evariste Galois es una de las figuras más románticas de las matemáticas. Murió con tan solo 20 años, por un disparo en el estómago que recibió durante  un duelo, no se sabe si por disputas amorosas o políticas. Pocas horas antes, durante la madrugada, sabiendo las grandes posibilidades que tenía de no sobrevivir al encuentro, escribió la que después se llamó la Teoría de Galois, un planteamiento revolucionario que cambió el álgebra para siempre.

Pero empecemos por el principio. Galois nació en 1811 en París, en el seno de una familia acomodada. Aquel era un periodo de agitación política en Francia: la pérdida del poder por parte de Napoleón, a favor del rey Luis XVIII de Borbón, conllevó una vuelta a políticas conservadoras y a la restauración gradual del poder de la Iglesia. Esto reavivó el movimiento liberal, en el que militó fervientemente el padre de Galois, Nicolas-Gabriel. Los cambios de poder fueron decantando la sociedad francesa en dos bandos rivales: por un lado, conservadores a favor de una monarquía dominada por la Iglesia, y por otro, los liberales y republicanos, inspirados por las ideas de la Revolución Francesa.

Galois recibió una formación basada en ideas liberales. Durante los primeros años, su madre se encargaba de formarles en casa, hasta los 12 años, cuando se incorporó en el prestigioso internado parisino Lyceè Lousi-le-Grand. Allí las cosas cambiaron: se encontró con una dura disciplina, y un recién nombrado director conservador. El ambiente era inestable, con peleas entre estudiantes que representaban la turbulencia política del momento.

Galois fue obligado a repetir el tercer curso, su manera de pensar no cuadraba con los ideales de la época, en el informe académico le califican como “original, pero extraño”. Sin embargo, ese fue el momento en el que descubrió las matemáticas. Gracias a uno de sus profesores y al libro Elements de Geometrie, de Legendre, Galois encontró su pasión, y dejó de prestar atención al resto de materias. Empezó a leer artículos científicos por su cuenta, y llegó también a la ecuación de quinto grado.

Una gran pregunta y una aun mejor respuesta

Desconocedor del trabajo previo de Ruffini y Abel, Galois intentó encontrar por su cuenta la codiciada fórmula. Tras dos meses, pensó que había dado con ella, pero encontró un error. Siguió con más empeño en el estudio de las matemáticas, mientras que dejaba totalmente de lado las otras materias. Esto jugó en su contra en 1828, cuando hizo el examen de acceso a la Ecole Politecnique, y suspendió, por lo que tuvo que permanecer en el Lycee Louis-le-Grand. En 1829 publicó su primer artículo científico, un resultado menor sobre funciones continuas.

Galois no tardó en hacer su gran aportación al problema de las ecuaciones polinómicas. Hasta el momento, aunque Galois no lo sabía, Abel había demostrado que no existe una fórmula general, que solo involucre operaciones elementales, para la ecuación de quinto grado. Pero quedaba una pregunta interesante abierta: ¿qué ecuaciones- de grado cinco o superior- sí pueden resolverse con una fórmula? ¿cómo podemos determinarlas?

Para resolver este enigma, Galois introdujo el concepto original de grupo, y creó una nueva rama del álgebra. Como punto de partida siguió con el trabajo de Lagrange, y estudió las relaciones entre las supuestas soluciones de una ecuación y las permutaciones de estas soluciones que dejan las relaciones inalteradas. Y fue más allá: definió, para cada ecuación, una especie de código genético (el grupo de Galois), cuyas propiedades determinan si la ecuación puede resolverse con una fórmula o no. El grupo de Galois es una medida directa de las propiedades simétricas de la ecuación, que juegan un papel clave en la resolución.

Augustin Louis Cauchy

Rechazo de la Academia

Su profesor le animó a publicar dos ensayos con los resultados, que él mismo llevó a Cauchy para que este presentara a la Academia de las Ciencias. Las publicaciones se presentaron el 25 de mayo y el 1 de junio de 1829, a la espera de evaluación de ilustres matemáticos, entre los que se encontraba el propio Cauchy. Con varias excusas, Cauchy fue relegando la discusión, dando prioridad a sus propios temas. Cansado por la falta de atención, y después de leer finalmente los trabajos de Abel, Galois presentó el trabajo, con algunas modificaciones, por su cuenta como candidato al premio Prix de Matemáticas de la Academia. El escrito “Memoria de las condiciones de resolubilidad de las ecuaciones por radicales”, ha sido considerada desde entonces una de las obras maestras de las matemáticas. Pero no fue nunca considerado para el premio: Fourier, el secretario del mismo, se llevó al manuscrito a casa, y murió días después. Nunca se pudo recuperar el original de entre sus papeles. Y el premio se otorgó a Abel, póstumamente, y a Jacobi. Galois ardió de ira.

En 1831 finalmente se leyó el veredicto de los trabajos de Galois en la academia, y el resultado fue cuanto menos inesperado: no aprobaban las demostraciones. O bien no lo entendieron, o bien no quisieron aceptar las innovadoras ideas de Galois. El trabajo presentaba todo un nuevo mundo matemático para resolver un problema clásico, que por el momento se había tratado con herramientas totalmente diferentes.

Parece que chocó con las ideas conservadoras de las matemáticas y también en política. Entre tanto, el interés por la política del matemático había aumentado. En 1830, el padre de Galois se suicidó al verse involucrado en un escándalo político. En ese momento tenía que prepararse para los exámenes de la Ecole Polythecnique, que, comprensiblemente, no haría en las mejores condiciones. De nuevo le suspendieron.

Mientras tanto, Galois intensificaba su acción política, lo que le llevó a enfrentamientos con el director del Lyceo del momento y finalmente, a su expulsión. El siguiente escándalo sucedió en un evento social en el que, supuestamente, brindó con un navaja abierta en la mano por el rey Louis-Philippe. Esto se consideró como una amenaza al rey, y fue arrestado al día siguiente en casa de su padre, y llevado a juicio el 15 de junio de 1831, donde fue absuelto.

Dibujo de Galois

Duelo misterioso

Pocos meses después volvía  ser detenido, en este caso por llevar armas, y esta vez sí, encarcelado durante seis meses. En 1832, una vez fuera de prisión, conoció a Stephanie Potterin en la casa de convalecencia en la ingresó por un brote de cólera, y se enamoró perdidamente. Parece que al principio la muchacha mostró también interés por Galois, pero no tardó en rechazar sus propuestas con frialdad. Galois estaba devastado. Esto nos lleva al capítulo final: su muerte.

La muerte de Galois está rodeada de misterio. Parece que pudo ofender de alguna manera a Stephanie, lo que hizo que dos personas cercanas a ellas provocaran el duelo, que Galois no pudo ignorar, pese a que era consciente de su desventaja y del riesgo que corría. Durante la noche previa al encuentro, escribió tres cartas: la primera a “todos los republicanos”, la segunda a dos de sus amigos, y la tercera, a su amigo matemático Auguste Chevalier, en la que presenta un conciso sumario del ensayo que había sido rechazado por la academia, y otros desarrollos. Esboza, en esta carta, lo que se conoce como teoría de Galois. Repasó rápidamente los artículos matemáticos e hizo algunos cambios de última hora: anotó, en uno de los bordes, la devastadora cita “no me queda tiempo”.

El duelo tuvo lugar durante las primeras horas de la mañana del 30 de mayo de 1832. Una bala atravesó el estómago de Galois, pero no murió en el acto. Alguien, desconocido, le llevó al hospital Cochin unas horas más tarde, donde finalmente murió, al día siguiente, de peritonitis. No se sabe quiénes fueron los participantes del duelo, ni quien terminó con la vida del joven matemático. Tampoco nos podemos imaginar las ideas geniales que pudo haber generado la cabeza del joven matemático.

Su amigo matemático se ocupó del legado matemático de Galois, y sus artículos fueron aceptados por la academia en 1843. En 1856, la teoría de Galois fue introducida en los cursos avanzados de álgebra en Francia y Alemania. Hoy sigue siendo una de las grandes leyendas de las matemáticas.

Más informacion:

La historia de la resolución de ecuaciones polinómicas: http://www.madrimasd.org/blogs/matematicas/tag/resolucion-de-ecuaciones

El Año Internacional de la Cristalografía: http://www.madrimasd.org/blogs/matematicas/tag/ano-internacional-cristalografia

Ágata A. Timón es responsable de Comunicación y Divulgación del ICMAT.

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