Archivo de mayo 24th, 2016

La armonía del mundo

Continuamos la publicación de entradas que relacionan la música con las matemáticas; hoy nos centramos en los resultados de Kepler y reencontramos la armonía pitagórica referida a los planetas del Sistema Solar.

Johannes Kepler, nacido en Weil der Stadt, Alemania, el 27 de diciembre de 1571, y fallecido en Ratisbona, Alemania, el 15 de noviembre de 1630, es uno de los principales actores de la Revolución Científica que sentó las bases de la ciencia moderna. Sus aportaciones al conocimiento del movimiento de los planetas, a la Óptica o a la Cristalografía son fundamentales y fundacionales.

Johannes Kepler

Kepler viajó a Praga contratado por el astronómo danés Tycho Brahe pero al fallecer este repentinamente, fue nombrado en su lugar como astrónomo real (de hecho, matemático imperial), en la corte de Rodolfo II de Habsburgo, archiduque de Austria, rey de Hungría y de Bohemia y emperador del Sacro Imperio Romano-Germánico.

Tycho Brahe fue un personaje singular. Tenía una nariz protésica, fruto de una acalorada discusión sobre una ecuación matemática, que acabó en duelo y una cara rota. Dicen las leyendas que contaba con prótesis de plata y oro para las ocasiones importantes (fiestas y juegos en su castillo, parte de su rica herencia). La naturaleza de su nariz protésica ha sido objeto de estudios y parece ser que era de latón.

Tycho Brahe

A Brahe se le considera el primer astrónomo capaz de predecir leyes coherentes de dinámica celeste, muy semejantes a las actuales, sin ningún tipo de infraestructura: sólo avistamientos del cielo a ojo desnudo (la era del instrumental óptica comienza con el telescopio y Galileo, 9 años después de la muerte de Brahe) y con varios aparatos rudimentarios de su propia construcción.

Lejos de la esperada formalidad y rectitud de un hombre de ciencias del siglo XVI, Tycho Brahe despuntaba, además de por sus capacidades intelectuales, por sus extravagancias.  Tenía por mascota un alce que murió al caer escaleras abajo tras emborracharse con cerveza, justo antes de que lo quisiera cambiar por un caballo con su mentor el Landgrave Wilhelm de Hesse-Kassel. Otra de sus extravagancias es que  bajo su mesa se sentaba un bufón enano llamado Jepp al que Brahe atribuía dotes de clarividencia.

Tycho Brahe no fue seguidor de las tesis de movimiento planetario propuestas hasta la época, y de hecho, fue detractor de la creencia en la tierra como un planeta inmóvil, sin embargo, tampoco apoyaba la visión heliocentrista del universo, tesis muy contraproducente para los eruditos de la época: poetas, filósofos se opusieron a la idea impía de que la tierra no fuera el centro del universo, porque entraba en contradicción con la física existente hasta el momento y con las creencias religiosas reformistas.

Buscando algo intermedio, Brahe propuso su propio sistema ticónico. El propio Brahe se pronunciaba así:

Cuando me di cuenta de que la vieja disposición ptolemaica de las esferas celestes no se correspondía cabalmente con los hechos y de que el recurso a tantos epiciclos -aunque daba cuenta de la relación de los planetas con el Sol, de sus detenciones y retrogradaciones, así como en buena medida de su aparente irregularidad- era superfluo y, sobre todo, de que tales hipótesis atentaban contra los principios mismos de la disciplina al admitir indebidamente la posibilidad de un movimiento circular alrededor del de otra esfera excéntrica, que suele denominarse ecuante y no, como debiera ser, en torno a su propio centro; cuando, además reflexioné sobre la reciente innovación de Copérnico a este respecto que -pese a eliminar cuanto de superfluo había en el sistema ptolemaico, corregir los resultados observacionales y no atentar en absoluto contra los principios de las matemáticas- atribuía a la Tierra, cuerpo pesado, perezoso y por naturaleza, inmóvil, un movimiento que nada tienen que envidiar al de esas luminarias etéreas (antes bien, es un triple movimiento), lo cual es no sólo contrario a los principios de la física, sino también  a la autoridad de las Sagradas Escrituras (en las que, como luego veremos, se afirma repetidamente la inmovilidad de la Tierra); (…) cuando, como digo, reparé en los notables absurdos que entrañaba esta hipótesis, comencé a pensar seriamente en la posibilidad de inventar un nuevo sistema que observara rigurosamente los principios de las matemáticas y de la física, que no tuviera que apelar a subterfugios para eludir las censuras teológicas y que al mismo tiempo diese perfecta cuenta de los fenómenos celestes.

En la teoría de Tycho, por tanto, el Sol y la Luna giran alrededor de la Tierra inmóvil, mientras que Marte, Mercurio, Venus, Júpiter y Saturno (los planetas conocidos entonces) girarían alrededor del Sol.

El Sistema Solar según Tycho Brahe

Sin embargo, Kepler sí que fue un seguidor de Nicolás Copérnico, quien había propuesto el mencionado sistema heliocéntrico, basado en los siguientes principios:

  • Los movimientos de los planetas se realizan en órbitas circulares, eternas.
  • En el centro de estas órbitas se halla el sol.
  • Existe un fondo de estrellas fijas que no realizan ningún movimiento.
  • Existen tres tipos de movimientos en la tierra: movimiento sobre sí misma (el movimiento de rotación), alrededor del sol (la conocida translación) y la inclinación anual del eje.
  • La distancia Tierra-Sol es pequeña comparada a la distancia al firmamento de estrellas fijas.

Una antología de sus ideas maestras se recoge en su gran obra por excelencia De revolutionibus orbium coelestium (Sobre las revoluciones de las esferas celestes), que suele ser considerado como el punto inicial de la astronomía moderna.

Estatua en honor a Copérnico en Cracovia

Kepler no sólo fue discípulo de Brahe, de quien reconoció haber copiado ideas después de su muerte, aparte de haber aprovechado todos los resultados de sus observaciones, sino que también compartía la filosofía pitagórica, creyendo en los números como la esencia del universo y de Dios. Para Kepler, la distancia entre los planetas -las denominadas esferas- eran proporcionales a los intervalos entre escalas musicales. Las esferas más cercanas producían los tonos más graves, mientras que las alejadas componían los agudos. Entre ellas, conformaban la armonía del universo.

Kepler creía ciegamente en la hipótesis heliocentrista: la existencia de un Sol central que restauraba el movimiento del resto de astros y que regía la regularidad aparente. Sin embargo, parecía que no existía una respuesta conciliadora para la órbita de Marte, que no se acomodaba a la esperada circular. Despejar el entuerto sumió a Kepler en la una tarea de complicados cálculos que le supusieron más de diez años de suposiciones, hasta la más aproximada a la realidad: la órbita de Marte podría ser una combinación de círculos.  Finalmente, la idea desembocó en la teoría de una órbita elíptica a lo largo de la cual el planeta variaba su velocidad. De este punto de partida se enunciaron las famosas leyes de Kepler:

1ª) Los planetas recorren órbitas elípticas . El sol se sitúa en uno de los focos de la elipse,

2ª)  El área barrida por la recta imaginaria que une sol-planeta sobre la superficie de la elipse, es la misma en intervalos de tiempo iguales.

3ª)  El cuadrado del período de la órbita de un planeta alrededor del sol, es proporcional al cubo del semieje mayor de la elipse.  Quiere decir: T2/a3=constante. Esta es la denominada ley armónica.

Estas leyes se recogieron en la obra de Kepler, Astronomia Nova.

A partir de estos postulados, Kepler redefinió al universo como instrumento musical. De forma semejante a la música de las esferas,  ahora las velocidades angulares de cada planeta en la elipse, producían diferentes sonidos. En aquellas zonas de la elipse en que el movimiento es más rápido (es decir, en las inmediaciones del sol, si tenemos en cuenta la segunda ley de Kepler de barrido de áreas), se emiten los agudos. Existen intervalos musicales bien definidos atribuibles a diferentes planetas.

La armonía del sistema solar de Kepler

Es en su libro Harmonices Mundi donde Kepler planteó que las velocidades angulares de cada planeta producen sonidos diferentes. En aquel momento, sólo se conocía la existencia de seis planetas, que daban lugar a seis melodías distintas. Kepler representó las velocidades angulares en un pentagrama musical, en el que la nota más baja se correspondía a la del planeta más alejado. La relación entre pares de velocidades angulares es muy parecida a la relación entre intervalos musicales. Las diferentes combinaciones de intervalos musicales o velocidades angulares, daban lugar a cuatro acordes primordiales, que relacionó con el primer acorde de la creación del universo, y el final y destructor del mismo.

Decía Kepler:

“El movimiento celeste no es otra cosa que una continua canción para varias voces, para ser percibida por el intelecto, no por el oído; una música que, a través de sus discordantes tensiones, a través de sus síncopas y cadencias, progresa hacia cierta predesignada cadencia para seis voces, y mientras tanto deja sus marcas en el inmensurable flujo del tiempo.”

Las leyes de Kepler aparecen como el primer enunciado  en poder ser corroborado experimentalmente y muestar una dualidad entre explicaciones teórico-prácticas y precursor de la nueva ciencia, en que las hipótesis no son lanzadas de manera aleatoria, sino que están bien fundamentadas en la experiencia.

La experimentación: instrumentación óptica

El telescopio del s. XVI fue la pieza fundamental en el destierro de teorías geocentristas frente a las nuevas teorías heliocentristas. Se consolidó como la primera extensión de la visión humana a largo alcance, mediante un instrumento.

Las referencias históricas sobre los comienzos del telescopio son opacas. En contra de su esperada invención por parte de un científico, fueron, sin embargo, los hombres de oficio quienes mostraron los primeros atisbos de construcción de los instrumentos ópticos.

Algunos de los componentes de un telescopio eran ya conocidos en el sigo XVI. Por ejemplo, las lentes se introdujeron en el s. XIII junto con sus propiedades de ampliación y disminución de imágenes, dadas sus características de fabricación: concavidad y convexidad, para tratar la presbicia. Los artesanos italianos, especialmente en Venecia, se dedicaron al tallado de las primeras gafas. Durante el siglo XVI la popularidad de las lentes se extendió debido a las leyendas de magia blanca, que creían en las lentes como objetos para detectar al enemigo.

Parece que la primera construcción de un telescopio se produjo en los Países Bajos, siendo el gobierno nacional de la Haya el primero en pronunciarse sobre las posibles aplicaciones de un instrumento capaz de “traer objetos lejanos, a nuestras inmediaciones”, presentado por Hans Lipperhey.  Sin embargo, el telescopio no obtuvo su reconocimiento hasta que no fue perfeccionado por Galileo Galilei, quien en la primavera de 1610 construyó el primer telescopio de calidad que le permitió avistar los satélites de Júpiter. El uso del telescopio llevó al descubrimiento de las manchas solares, avistadas simultáneamente por Galileo y otros astrónomos.

Telescopio de Galileo

Los telescopios pueden ser de diversos tipos, dependiendo del efecto físico que tenga lugar en su estructura. Existen los denominados telescopios reflectores, que en vez de constituirse por lentes, cuentan con espejos para enfocar la luz. Se colocan dos espejos en los extremos del tubo, y cuando esta alcanza uno de los espejos, éste la refleja hacia el otro que la dirige al ocular. La correcta disposición de espejos cóncavos y convexos en determinados ángulos, puede permitirnos explorar grandes regiones del firmamento lejano.

Réplica del segundo telescopio fabricado por Isaac Newton

Los telescopios reflectores son adecuados para evitar la aberración cromática, que es la imposibilidad de enfocar diferentes longitudes de onda, -colores-, en un mismo punto. Someramente, la focal de una lente depende de su índice de refracción -a su vez dependiente de su material de composición- y de su forma. Dado que el índice de refracción depende de la longitud de onda, la distancia focal varía con cada color. De ahí que no todos los colores vayan a parar al mismo punto al formar la imagen. La aberración cromática longitudinal produce, por ejemplo, bordes coloreados en la imagen.

El telescopio refractor usa lentes convergentes en las que se refracta la luz. La refracción de la luz hace que los rayos procedentes de un punto lejano (se consideran rayos paralelos procedentes del infinito), acaben convergiendo en el plano del foco.

El parámetro más importante de un telescopio es el diámetro de su objetivo. Los telescopios portables de aficionados tienen lentes de diámetro 70-150 mm. Sin embargo, los telescopios utilizados para prácticas educativas, como los instalados en universidades, cuentan con lentes de diámetro superior a 200 mm, que permiten ver cúmulos, nebulosas, detalles de la superficie lunar, etc.

Las características secundarias son el ocular (posicionado en el foco para aumentar la imagen), la lente de Barlow, que contribuye magnificando por dos o tres la imagen del ocular, la razón focal (distancia entre la distancia focal y el diámetro de la lente) y la magnitud límite, o distancia observable bajo condiciones óptimas de utilización del telescopio. Tal distancia puede calcularse usando la fórmula:

m(límite) = 6,8 + 5log(D)

siendo D el diámetro de la lente o espejo que compone el telescopio.

Quién le diría a Kepler, que siglos más tarde, los telescopios de nuestra era, serían capaces de corroborar todas sus conjeturas teóricas.

Como comentario final, cabe preguntarnos si habrá alguna manera experimental de escuchar la música celeste, porque ¿quién está seguro de que también la teoría musical del genial Kepler no pudiera  ser corroborada? El reciente descubrimiento de las ondas gravitacionales nos indica que sí sería posible escuchar el espacio, aunque quizás no sea tan armónico como nos gustaría.

 

Manuel de León (CSIC, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, ICSU) y Cristina Sardón (ICMAT-CSIC).

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