Archivo de agosto 8th, 2016

La luz en la Teoría de la Relatividad

El problema del quinto postulado de los Elementos de Euclides se resuelve en el siglo XIX, de manera independiente, por Bolyai y Lobachevsky (aunque Gauss parece que lo había resuelto con anterioridad sin publicarlo). Este fue un problema que tuvo entretenidos a los matemáticos durante siglos tratando de probar que era consecuencia de los otros cuatro (veáse la entrada El escándalo de la geometría elemental en este mismo blog).

János Bolyai (1802-1860) y Nikolai Lobachevsky (1792-1856)

La forma de resolver este problema fue suponer que existen geometrías en las que el quinto postulado no se cumple: existen geometrías en las que no se puede trazar ninguna paralela por un punto externo a una “recta”, y geometrías por las que se pueden trazar infinitas. Son las llamadas geometrías no euclidianas, y constituyeron una auténtica revolución en el mundo matemático.

Hemos escrito recta entre comillas, porque en estas geometrías las rectas son lo que se denominan geodésicas, que son las curvas que minimizan las distancias, tal y como ocurre con las rectas en un espacio euclidiano.

Para llegar a estas nociones, fue decisivo el trabajo de los geómetras diferenciales, y nombres como Lévi-Civita, Christoffel, Riemann y muchos otros, brillan ahora en el universo matemático. Ellos abrieron el camino que luego transitaría Einstein, quien siempre se manifestó admirado de cómo estos matemáticos transitaban con facilidad esos caminos que a él le costaban tanto esfuerzo.

Albert Einstein

La Teoría de la Relatividad

Recordemos el misterioso éter al que recurría Huygens para transportar la luz. El golpe definitivo al éter lo proporcionó el experimento de Michelson y Morley en 1887, probando que no se podía detectar cambios de la velocidad de la luz independientemente de cómo la Tierra se mueva con respecto al hipotético éter.

Este hecho condujo a Einstein a postular que la velocidad de la luz era constante en cualquier sistema de referencia, y a desarrollar la llamada Teoría de la Relatividad Especial. Una consecuencia de la teoría es el fenómenos de contracción temporal y el aumento de masa al aproximarse a velocidades cercanas a la de la luz, o la famosa equivalencia E = mc2 entre masa y energía.

Hermann Minkowski

El matemático alemán Herman Minkowski había considerado un espacio-tiempo en el que el tiempo se consideraba una coordenada a añadir a las tres espaciales y se conseguía la “fusión” de las cuatro mediante una métrica

ds² = dx² + dy² + dz² – c² dt²

hoy denominada métrica de Minkowski .

Era sin embargo necesario entender el fenómeno de la gravitación, que no entra en la descripción de la Relatividad Especial. Así, en 1915, Einstein dió otro albadonazo en los fundamentos de la física y anunció la Teoría de la Relatividad Generalizada: el espacio-tiempo está curvado y la gravedad es la manifestación de esa curvatura.

La masa deforma el espacio

Como decíamos, para ello, tuvo que basarse en los admirables desarrollos de los geómetras, con las geometrías no euclidianas (Gauss, Bolyai, Lobachevsky), y en los trabajos de matemáticos como Bernhard Riemann, Tulio Lévi-Civita, Herman Minkowski, Gregorio Ricci-Curbastro, Elwin Bruno Christoffel o David Hilbert. Einstein publicó finalmente sus resultados que revolucionarían el mundo. En resumen, el espacio-tiempo está curvado por la presencia de las masas gravitatorias (que determinan la métrica).

En el espacio-tiempo de Minkowski y una partícula se mueve en línea recta porque nada influye sobre su trayectoria. La presencia de una masa deforma al espacio-tiempo y en ese caso una partícula se mueve a lo largo de una geodésica.

Un cono de luz

Para entender lo que es una geodésica, podemos pensar en la superficie de una esfera. Si consideramos dos puntos, veremos que el arco que minimiza la distancia entre ellos es el del arco máximo que determinan. Por tanto, en una superficie esférica, los arcos máximos son las geodésicas, es decir, las “rectas”. Algo similar se puede pensar en un modelo de espacio hiperbólico con curvatura constante negativa. En el mundo que abre Albert Einstein, podemos decir que la luz se mueve por las geodésicas nulas.

Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, ICSU)

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