La inacabable fascinación de los números primos

En la película Contacto, basada en el libro de Carl Sagan y dirigida por  Robert Zemeckis, la astrónoma Ellie Arroway (interpretada por una convincente Jodie Foster), trabaja para el programa SETI, que busca señales extraterrestes en los sofisticados radiotelescopios. La señal, en una de las escenas más apasionantes del cine en su historia, llega inesperadamente de Vega. Y son números primos: 2, 3, 5, 7, 11, …, hasta el 101.

[youtube]https://www.youtube.com/watch?v=vuUaVB8riO4[/youtube]

Es evidente que no puede ser un fenómeno natural, es un mensaje inteligente. ¿Y por qué los números primos? Porque los números son la base de las matemáticas (y por lo tanto, de todas las ciencias) y porque cualquier número se puede descomponer en sus factores primos (algo que aprendemos en la escuela). Así que los números primos son los ladrillos con los que se construye el mundo. Ya lo decía San Isidoro de Sevilla: “nuestra vida está bajo la disciplina de los números cuando por ella aprendemos las horas, contamos el curso de los meses o conocemos el espacio del año que vuelve de nuevo”. Luego, dice: “quita al tiempo el cómputo y todo queda envuelto en la ciega ignorancia”.

Ya Euclides, en su obra “Los Elementos”, trata con detalles los números primos y da la primera demostración de que hay infinitos primos. Por cierto, una demostración elegante y comprensible para cualquiera. Pero la gran incógnita sigue siendo el conocer la distribución de los números primos. Este es el objeto de estudio de la llamada Hipótesis de Riemann, posiblemente el problema más peliagudo en la matemática actual, considerado como uno de los siete Problemas del milenio por el Instituto Clay. Su resolución conlleva los honores para la eternidad y un millón de euros para disfrutar de la vida terrenal.

La Hipótesis de Riemann fue formulada por primera vez por Bernhard Riemann en 1859, y relaciona los ceros de la función zeta de Riemann con la distribución de los números primos. David Hilbert incluyó esta hipótesis entre sus famosos 23 problemas que enunció en el Congreso Internacional de Matemáticos (ICM) de París en 1900.

En Matemáticas y sus fronteras publicamos una reseña (Alguien ha demostrado la hipótesis de Riemann…) de la divertida novela de Matt Haig, “Los humanos”, en las que un extraterrestre asesina y sustituye a un conocido matemático británico para impedir que resuelva la Hipótesis de Riemann y acabe así con la humanidad.

Existen muchos problemas relacionados con los números primos, la mayoría con enunciados muy simples que cualquiera puede entender. Un ejemplo es la Conjetura de Goldbach. Esta afirma que: “Todo número par mayor que 2 puede escribirse como suma de dos números primos.” Esta afirmación es equivalente a esta otra: “Todo número entero mayor que 5 se puede escribir como suma de tres números primos”, y así se encuentra escrita en una carta de Christian Goldbach a Leonhard Euler en 1742. Está sin resolver desde entonces, aunque se han hecho muchos avances. Por cierto, esta conjetura dio lugar a otra excelente novela, “El tío Petros y la conjetura de Goldbach”, del matemático griego Apostolos Doxiadis.

Este es un ejemplo de cómo los resultados sobre números primos son atractivos no sólo para profesionales, sino también para aficionados a las matemáticas, que sin contar con las técnicas más avanzadas, tartan de dar demostraciones más simples.

No hemos comentado aquí las aplicaciones prácticas de los números primos a la criptografía de clave pública, ya que, a pesar de los deseos de G. H. Hardy, las matemáticas son siempre útiles. Les dejo con esta charla sobre los números primos y su soledad.

[youtube]https://www.youtube.com/watch?v=O6jrLgvCUNs[/youtube]

____

Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, ICSU).