Archivo de julio 9th, 2018

¡Pitagórico al agua!

Es un día tormentoso en el mar en la costa de Grecia; la época, el siglo V a.C. Un barco navega por esas aguas, cuando, violentamente, un hombre es arrojado por la borda con la intención de que muera ahogado. Su nombre es Hipaso de Metaponto, y su crimen, haber descubierto la irracionalidad de √2.

Esta es la leyenda urbana, de la que no tenemos constancia histórica, aunque el historiador Jámblico refiere en su Vida de Pitágoras ese suceso:

“Hipaso era un pitagórico, pero al haber divulgado por escrito como se podía construir una esfera a partir de doce pentágonos, pereció en el mar por haber cometido ese acto de impiedad. Recibió el mérito por ese descubrimiento pero en realidad todo provenía de ÉL”.

Él era nada menos que el propio Pitágoras, y los descubrimientos de su escuela debían permancer secretos. Otra versión habla de que su delito fue demostrar la incomensurabilidad de los números, probando que √2 no era un número racional. Los pitagóricos afirmaban que toda cantidad se podía medir a partir de una unidad o de sus partes, o, dicho de otra manera, solo había números racionales.

Evidentemente, como dirían los italianos, “si non è vero, è ben trovato”, así que mantendremos la historia, inclusive cuando se le atribuye al mismo Pitágoras el haberlo arrojado por la borda.

Hipaso de Metaponto

Hipaso de Metaponto fue un filósofo y matemático pitagórico, que vivió en el siglo V a.C. Se cree que nació en Metaponto, aunque se conocen pocos detalles de su vida, y hay muchas contradicciones, como suele ocurrir on los personajes de esas épocas. Los pitagóricos se dividieron en dos sectas, los matemáticos, directamente bajo las órdenes de Pitágoras, y el grupo de los acusmáticos, que solo conocían los rudimentos de la doctrina, y eran dirigidos por el propio Hípaso.

Por su parte, Pitágoras era hijo de Menarco, un comerciante y grabador de joyas, y parece que de ahí pudieran venirle sus conocimientos de la geometría de los sólidos, denominados hoy en día pitagóricos o platónicos. Tampoco se conoce mucho sobre su formación, aunque se cree que viajó a Egipto y a Babilonia: en Egipto aprendió muchos de sus conocimientos geométricos; y de los fenicios y caldeos, aprendió aritmética y astronomía. El viaje a Egipto está documentado en uno de los libros del historiador griego Plutarco. En esta entrada anterior de Matemáticas y sus fronteras, podemos encontrar más información sobre Pitágoras.

Pitágoras en La Escuela de Atenas

El Teorema de Pitágoras nos da en realidad relaciones entre ternas de números, aquellos que cumplen la relación establecida en el mismo. Estas ternas pitagóricas ya se encontraban en las tabletas cuneiformes de Babilonia. Su posible extensión a potencias superiores a 2, cuya imposibilidad Fermat aseguró haber probado, dio lugar a una apasionante historia que culminó con la prueba de Andrew Wiles, y que contribuyó a crear una de las ramas más fructíferas de las matemáticas.

Irracionalidad de 2

Una prueba de la irracionalidad de √2 se encuentra en la obra de Aristóteles, Analytica Priora, y apareció primero como la proposición 117 de los Elementos de Euclides. Si suponemos que √2 es racional, pentonces se podría escribir como una fracción irreducible a/b (es decir, a y b no tienen factores comunes). Entonces a2 / b2 = 2 y a2 = 2 b2, y a2 es par y por lo tanto a debe ser par también. Por lo tanto, existe un entero k tal que a = 2k. Si sustituimos a por 2k en la ecuación anterior, obtenemos  2 b2 = (2k)2 = 4k2, de modo que b2 = 2k2, de lo que se deduce que b también es par. Así, hemos llegado a una contradicción.

Hoy en día poseemos una clara división entre los diferentes tipos de números:

  • Naturales: 1, 2, 3,…
  • El cero, 0
  • Enteros negativos: -1, -2, -3, … (Digamos que el matemático y astrónomo indio Brahmagupta (598-670 d.C) fue el primero en referirse explícitamente a los número negativos, como solución de las ecuaciones (se refería a ellos como “deudas”, en contraposición de las “fortunas”, como denominaba a los número positivos).
  • Racionales o fraccionarios
  • Irracionales
    • Irracionales algebraicos, que son soluciones de las ecuaciones algebraicas, como ocurre con √2, solución de la ecuación x2 = 2.
    • Trascendentes.
  • Complejos (basados en la unidad imaginaria, solución de la ecuación x2 = – 1

Hipaso contribuyó sin duda a dar un avance importante al cuadro anterior.

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias).

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