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Archivo de noviembre, 2018

El hombre que descubrió las ecuaciones de las cónicas

En nuestra entrada anterior comentamos como el estudio de las cónicas llevó a una rebelión en la Universidad de Yale hace casi dos siglos, y hoy vamos a relatar la contribución al conocimiento de estos objetos geométricos de un matemático y político, Johan de Witt (Dordrecht, 1625 – La Haya, 1672).

 

Jan de Witt

De Witt nació en una familia acomodada, y tuvo una formación muy cuidada, estudiando Derecho y Matemáticas. Se estableció como abogado en la firma de otro excelente matemático, Frans van Schooten, en La Haya. Van Schooten (Leiden 1615 – Leiden,1660) era también matemático, y había conocido a René Descartes, cuya obra geométrica había leído en 1632. Recordemos que la Geometría de Descartes era un apéndice de su famoso Discurso del Método.

 

Frans van Schooten

De Witt trabajó en su Elementa Curvarum Linearum, que tenía dos partes. Es en la segunda en la que utiliza un lenguaje algebraico, y fue publicada como parte de una traducción al latín de La Geometría de Descartes que realizó van Schooten. El Elementa Curvarum Linearum se considera como el primer auténtico texto en geometría analítica.

Recordemos que la geometría analítica se basa en introducir coordenadas llamadas ahora cartesianas (en honor del nombre latino de Descartes, Renatus Cartesius). Así, cada punto del plano se puede identificar por su abcisa x (la distancia al eje horizontal) y su ordenada y (su distancia al eje vertical), de manera que hablar del punto P es lo mismo que hablar de las coordenadas (x, y). Estos nos permite describir una recta por una ecuación lineal ax+by+c=0, es decir, la colección de puntos cuyas coordenadas cumplen esa ecuación.

Elipse

La aportación de de Witt fue cambiar una definición geométrica de las elipses, hipérbolas y parábolas como lugares geométricos (por ejemplo, una elipse es el conjunto de puntos del plano tales que la suma de las distancias a dos puntos fijos, los focos, es contante) por una relación algebraica. Así, una cónica es equivalente a una ecuación del tipo

Ax2 + B y2 + C xy + Dx + Ey + F = 0

De Witt fue nombrado en 1653 Gran Pensionario de Holanda, y una de sus tareas fue terminar la guerra contra Inglaterra, motivada por lograr la supremacía en el mar. Consigue la paz en 1654, aunque los ingleses de Cromwell consiguen que se firme una claúsula para alejar a los Orange del poder e instaurar una auténtica república. En 1665 estalla una segunda guerra angloholandesa que termina en 1667 con el ventajoso Tratado de Breda. Pero la política no para, y cuando Guillermo III de Inglaterra se acerca a la mayoría de edad, los orangistas desatan de nuevo las hostilidades. Para prevenirlo, de Witt consigue que se declare el Edicto Perpetuo, que prohibiría el acceso al poder de la casa de Orange. Francia e Inglaterra se unen y comienza en 1872  la Tercera Guerra Anglo-Holandesa, que lo arroja del poder.

 

Linchamiento de los hermanos de Witt

Pero esto no era suficiente, así que sufrió un terrible atentado con cuchillo. Su hermano, Cornelio de Witt, fue hecho prisionero y torturado. Cuando de Witt va a la cárcel a visitar a su hermano Cornelio, ambos fueron linchados por una multitud, sus cuerpos despedazados e incluso, partes del cuerpo de Cornelio fueron devoradas (su corazón fue exhibido públicamente para escarnio general).

La novela de Alejandro Dumas, El tulipán negro, se ambienta en esta época terrible de la historia holandesa, y el protagonista es Cornelio van Baerle, el ahijado de Cornelio de Witt, que ansía conseguir un tulipán de color negro.

De Witt combinó sus tareas de matemático con las de estadista. En 1671 publicó su obra “Waardije van Lyf-renten naer Proportie van Los-renten” (El Valor de las Rentas Vitalicias comparadas con los Bonos de Rescate). En esta obra demostraba que no se estaban calculando adecuadamente los ingresos para el Estado. Era un trabajo pionero pero que no le granjeó precisamente el cariño de las viudas.

Christiaan Huygens, que fue estudiante de van Schooten, dijo de de Witt que “en mi opinión, ninguna otra época ha sido tan fructífera en buenos matemáticos como esta nuestra, y este hombre (de Witt) podría haber sido el primero si no hubiera tenido que ocuparse de tantas tareas oficiales”. ¡Qué mejor elogio!

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias).

 

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La rebelión de las cónicas

Las cónicas son las curvas que se obtienen cuando un plano corta a un cono, tal y como muestra la figura de abajo. Hay tres tipos de cónicas: parábolas, elipses e hipérbolas, aunque todas se pueden describir dentro de una familia común.

Se atribuye su descubrimiento/descripción al matemático griego Menecmo (380–320 aC), un buen amigo de Platón. Parece ser que Menecmo hizo su descubrimiento en relación con el famoso problema de la duplicación del cubo (problema, por cierto, surgido de la recomendaciión del Oráculo de Delfos de construir un altar a Apolo que duplicara el actual, para detener una terrible epidemia de tifus que asolaba Atenas).

Pero el gran estudioso de las cónicas es Apolonio de Perga (Perga, 262 aC- Alejandría, 190 aC). Apolonio estudió y vivió en Alejandría, que por la época, era el faro del conocimiento. Clasifica y da nombre a los tres tipos de cónicas, y desarrolla unos razonamientos que anticipan la geometría analítica de Descartes. Su gran obra es precisamente Sobre las secciones cónicas, de la que se conserva una parte.

 

Sobre las secciones cónicas, traducción árabe

Con el matemático francés Descartes (La Haye, 31 de marzo de 1596-Estocolmo, 11 de febrero de 1650), las cónicas pueden tratarse mediante expresiones algebraicas, lo que permitió profundizar en su estudio. Así, las cónicas son ahora ecuaciones en dos variables, x e y. Fue el político y matemático holandés Johan de Witt (Dordrecht, 24 de septiembre de 1625 – La Haya, 20 de agosto de 1672) quién hace este descubrimiento. Por cierto, de Witt tuvo una vida apasionante y un final trágico, su figura y logros merecen que le dediquemos una entrada próximamente.

Las cónicas fueron durante siglos objetos de interés para los estudiosos matemáticos (aunque podemos recordar la leyenda de Arquímedes incendiando las naves romana que asediabana Siracusa con espejos parabólicos, usando las propiedades geométrica de la parábola. Pero es Johannes Kepler (Weil der Stadt, 27 de diciembre de 1571-Ratisbona, 15 de noviembre de 1630) quién pone a las cónicas en el candelero de las aplicaciones al enunciar sus famosas tres leyes que rigen el movimiento de los astros, porque la primera asegura que los cuerpos celestes describen al moverse una elipse alrededor del Sol, estando éste situado en uno de los 2 focos de la misma.

 

Campus de la Universidad de Yale

Pero el título de esta entrada alude a una rebelión, y vamos a dar cuenta de ella. En 1825, los estudiantes de la Universidad de Yale iniciaron una revuelta ya que, según su acuerdo con el profesor, estaban exentos de estudiar los corolarios del libro de texto de matemáticas, que precisamente trataba de las cónicas. 38 de los 87 estudiantes de la clase fueron expulsados, y la facultad contactó con sus padres, quiénes les obligaron a firmar una declaración que decía: “Nosotros, los firmantes, habiendo iniciado una oposición a las autoridades de Yale, reconocemos nuestra culpa en esta resistencia, y prometemos, si se nos vuelve a admitir en clase, obediencia a las leyes del Colegio de Yale”.

Pero cinco años más tarde, en 1830, se produjo otro incidente similar. Los estudiantes en Yale tenían permiso para consultar los diagramas de los libros de texto, incluso durante los exámenes, cuando tenían que resolver problemas de cónicas. Pero de repente, se les prohibió este uso, y estaban obligados a hacer ellos mismos los dibujos. Así que se negaron a hacer el examen final. El resultado fue que 43 de los 96 estudiantes fueron expulsados de Yale, y las autoridades de la universidad solicitaron a todas las universidades del entorno, que no los admitieran. El incidente ha pasado a la historia como “La rebelión de las secciones cónicas”.

Una de las causas de esta rebelión fue que, al introducir los encerados en las clases sobre 1820, se esperaba que los estudiantes pudieran dibujar los gráficos con tiza en los mismos, y dejar de usar los diagramas de los libros.

En cualquier caso, parece que esos fueron años conflictivos en Yale, y en 1827 hubo otra gran rebelión, llamada la “del pan y la mantequilla”, en contra de la baja calidad de los alimentos servidos en la cafetería.

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias).

 

 

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Ciencia (y matemáticas) en el Parlamento

Los pasados 6 y 7 de noviembre tuve la oportunidad de participar en las Jornadas Ciencia en el Parlamento, en las que un grupo de científicos de diferentes disciplinas compartieron con los diputados reflexiones y actualizaciones sobre prácticamente todos los temas científicos. De hecho, como experto, tuve el privilegio de trabajar desde un par de meses antes, con los técnicos voluntarios en la ponencia sobre matemáticas.

¿Qué es CienciaenelParlamento? Como los promotores informan en su página web: “es una iniciativa ciudadana independiente que tiene como objetivo que la ciencia y el conocimiento científico sean una de las fuentes de información en la formulación de propuestas políticas.” Es decir, no se trata de que el Parlamento haga política científica; de hecho, ya la hace, porque promulga las leyes que rigen la forma de hacer ciencia en nuestro país, así como aprueban los presupuestos anuales para la investigación. La idea es hacer política con ciencia, tomar decisiones políticas basadas en evidencias científicas. Y esto es, hasta ahora, una carencia en nuestras instituciones, salvo algunas excepciones puntuales.

La iniciativa surge de un grupo reducido de científicos que encontró todo el apoyo de institiciones como la FECYT, la COTEC y el propio Parlamento. Un grupo coordinador formado por Andreu Climent, Eduardo Oliver, Lilian Grigorian, Lorenzo Melchor, Manuel Souto, Cristina Giménez, Ana Elorza e Izaskun Lacunza, con un entusiasta equipo de técnicos, trabajaron duramente (y por la causa, que a veces ya nos olvidamos del voluntarismo) para organizar esta jornada. Aquí está todo el equipo, que merece todo nuestro reconocimiento

El objetivo final sería la creación de una Oficina de Ciencia y Tecnología en el Congreso semejante a la de otros países. La acogida de los parlamentarios ha sido entusiasta, y la propia Presidenta del Parlamento, Ana Pastor, ha comentado la necesidad de que los legisladores tengan una fuente a la que acudir cuando vayan a legislar.

Esta iniciativa encaja con la que se puso en marcha desde el Consejo Internacional de la Ciencia (ICSU, ahora International Science Council, ISC), la International Network for Government Science Advice (INGSA), a la que esta iniciativa española debería unirse.

De mi experiencia personal esos días, debo manifestar el espíritu de colaboración que nos unió a todos. Creo que los diputados vieron en esta iniciativa una gran oportunidad para cuando deban legislar sobre temas complejos como el cambio climático, eutanasia, temas educativos, etc., en los que a veces los prejuicios personales no nos dejan ver con ecuanimidad los posibles resultados de tomar una decisión u otra. La evidencia científica trasciende el ideario político, y la opinión no puede prevalecer sobre ella.

El primer día del evento se organizaron una serie de mesas redondas con expertos, técnicos y parlamentarios, que se transmitieron por streaming. El segundo día, las mesas fueron a puerta cerrada. Se elaboraron una serie de conclusiones provisionales que serán debatidas en sede parlamentaria y finalmente se harán públicas en 2019.

Se abre un periodo ilusionante, que muestra una cara bastante más amable y colaboradora que la que habitualmente vemos, oímos y leemos en los medios de comunicación. En mi modesta opinión, lo que a los ciudadanos les gustaría ver de nuestros representantes.

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias).

 

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Las matemáticas de la vida cotidiana

La colección Miradas Matemáticas, una empresa conjunta del Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT) y la editorial Catarata acaba de publicar su quinto libro. Se trata de Las matemáticas de la vida cotidiana y su autor es Miquel Albertí Palmer.

El libro parte de una premisa: la vida cotidiana como recurso de aprendizaje científico, y en este caso particular, del aprendizaje matemático. El autor ha definido “cinco ejes que estructuran nuestra comprensión y actuación en la vida diaria, susceptibles de análisis matemático y que suscitan a su vez nuevos conceptos, problemas y relaciones matemáticas: uno mismo, la movilidad, el entorno, el intercambio y la incertidumbre.”

Cuando pienso en la situación de una persona en el mundo, su insignificancia como número de uno entre 7.500 millones de personas, le lleva a pensar en como se distribuye la población en el mundo, o en su país, ¿y si las áreas de las comunidades autónomas las dibujamos en relación a su población y no a su extensión en kilómetros cuadrados? Esto me hace pensar en yo mismo en relación con los demás. Y cuando me miro al espejo al levantarme, veo mi imagen especular, ¿cuál es la geometría detrás de este fenómeno? Y cuando me muevo en mi entorno, la red de Metro, de autobuses, ¿cómo optimizo el tiempo o la distancia para ir de un punto a otro?

Y así, con esta metodología, el autor, con una gran originalidad, va recorriendo los diferentes aspectos que interacconan con nuestra vida cotidiana, y a cada uno de ellos, sabe extraerle un contenido y una reflexión matemática. Un libro que nos hará disfrutar, pero sobre todo, nos hará pensar.

Este es el contenido del libro por capítulos:

Introducción 5

Capítulo 1. La vida cotidiana como recurso de aprendizaje académico

Capítulo 2. Nada más cotidiano que uno mismo

Capítulo 3. De un sitio a otro

Capítulo 4. Ve a tu alrededor

Capítulo 5. Con sumo cuidado

Capítulo 6. Vivir con incertidumbre

Epílogo. Vida cotidiana de las matemáticas

Bibliografía

 

Sobre el autor

Miquel Albertí Palmer (Banyalbufar, Mallorca) es licenciado en Matemáticas por la Universidad Autónoma de Barcelona (UAB) y doctor en Didáctica con una tesis sobre las matemáticas usadas por los artesanos toraja de Sulawesi (Indonesia). Dicha tesis fue galardonada con el premio Cátedra Victoriano Muñoz Oms de la ETSEIB (UPC) a los valores humanos en la ingeniería. Gracias a una licencia de estudios de la Generalitat de Catalunya, investigó las matemáticas utilizadas en el ámbito laboral y sus implicaciones para la ESO. Autor de varios libros y artículos en diversas revistas de educación matemática, fue codirector de la revista Suma de la Federación Española de Sociedades de Profesores de Matemáticas (FESPM). Ha sido profesor del Máster Interuniversitario de Didáctica de las Matemáticas en Barcelona. Actualmente es catedrático de Matemáticas en el INS Vallés de Sabadell.

 

El libro se puede comprar en librerías y también por internet en este enlace https://www.catarata.org/libro/las-matematicas-de-la-vida-cotidiana_86152/ Esperamos que en breve haya también una edición electrónica del mismo.

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias).

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Las geometrías y otras revoluciones

Acaba de publicarse un nuevo libro de matemáticas en la colección ¿Qué sabemos de?, una empresa conjunta del Consejo Superior de Investigaciones Científicas y la editorial Catarata. Se trata de Las geometrías y otras revoluciones, y la autora es Marina Logares.

La alegría ante este libro es doble. Por una parte, se trata de una persona a la que aprecio mucho, que trabajó en nuestro Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT), haciendo su tesis doctoral en la Universidad Autónoma de Madrid. Tras su paso como investigadora postdoctoral en el Max Planck Institut für Mathematik de Bonn, el Centro de Matemática do Porto, volvió al ICMAT. Se incorporó al Mathematical Institute en Oxford con una beca Marie Curie, y desde 2017 es profesora en la Universidad de Plymouth. Marina ha trabajado muy duro para conseguir finalmente una estabilidad muy merecida.

Marina Logares

Por otra parte, éste es el duodécimo libro de matemáticas de la colección, un 12% del total de los publicados hasta ahora, lo que es motivo de orgullo ya que el CSIC cuenta con unos 120 institutos, y este dato indica el compromiso que siempre hemos mantenido con la divulgación científica.

El libro traza una historia de la geometría, de su nacimiento ante la necesidad de medir, su hito con Los Elementos de Euclides, que suponen no solo una fundamentación prodigiosa de la disciplina sino también del nacimiento del rigor matemático y las demostraciones. El axioma de la quinta paralela es el que dará lugar a la aparición de las geometrías no euclidianas, intuidas por Gauss pero que salen a la luz con Lobachevski y Bolyai. El análisis de las causas que motivaron la cautela de Gauss para hacer público estas geometrías son cuidadosamente analizadas, y parecen deberse a la posible reacción en contra del filósfo Kant. La nueva geometría desarrollada por Félix Klein con el Programa de Erlangen es también descrita: ahora hablamos de una geometría y del grupo de transformaciones que la deja invariante. Las referencias a las aplicaciones a la teoría de la relatividad general de Albert Einstein y al papel desarrollado por David Hilbert y posteriormente por Emmy Noether son inevitables y están muy bien detalladas.

Por otra parte, debemos destacar la distinción hecha entre las dos direcciones de la geometría: la geometría diferencial, que es la geometría cuando incorpora el análisis; y la geometría algebraica, al hacerlo con el álgebra. La autora es una experta en geometría algebraica, geometría compleja y física matemática, y así presenta de una manera muy intuitiva conceptos complicados, como los esquemas de Grothendieck, el Programa de Langlands o los fibrados de Higgs.

El libro se cierra con dos breves capítulos sobre fractales y el arte en relación con la geometría.

En definitiva, un excelente libro que acompañaría con otro publicado en esta colección anteriormente, La geometría del universo, y con el que comparte esa pasión por la geometría.

El libro se puede comprar en librerías y también por internet en este enlac. Esperamos que en breve haya también una edición electrónica del mismo.

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias).

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Polinomios de nudos, o la historia del matemático que entraba en su despacho por la ventana

El grupo de un nodo no es el único invariante que se puede definir en teoría de nudos. Hoy nos centraremos en los polinomios de nudos, que son polinomios cuyos coeficientes contienen información preciosa del nudo en cuestión.

James Alexander

Algunos de estos polinomios gozan de una merecida fama. El primero de ellos es el llamado polinomio de Alexander, ya que fue propuesto por el matemático norteamericano James Waddell Alexander II (1888-1971) en 1923. James Alexander formó parte de la élite topológica de Princeton (con Oswald Veblen y Solomon Lefschetz, por ejemplo) de hecho fue uno de los primeros matemáticos contratados en el Instituto de Estudios Avanzados. Provenía de una importante familia en Princeton, y como curiosidad, diremos que su gran afición era el montañismo, escalando cimas en los Alpes franceses y suizos y en las Montañas Rocosas. Pero esa afición le llevó también a escalar a menudo los edificios del campus, y, todos en el campus conocían que para entrar en su despacho en el último piso del edificio de matemáticas (el famoso Fine Hall) prefería la ventana y no la puerta.

 

El edificio Fine Hall de Princeton, sede de su Departamento de Matemáticas

Alexander fue perseguido por sus ideas socialistas durante la caza de brujas organizada por el senador Joseph McCarthy, y desapareció durante los últimos años de su vida, sometido a reclusión, aunque firmó en 1954 la carta de apoyo  a Robert Oppenheimer.

Ya habíamos comentado que Alexander, en colaboración con Garland Briggs, había encontrado los mismos resultados que Kurt Reidemeister. De hecho, es uno de los grandes pioneros en el desarrollo de las teorías de homología y cohomología.

Nudo trébol

Recordemos como calculó Alexander el polinomio de un nudo. Se considera su diagrama (orientado), tal y como explicamos en una entrada anterior; y suponemos que hay n cruces. El diagrama divide el plano en n+2 regiones, y entonces se construye lo que se llama una matriz de incidencia, que será una matriz de n filas y n+2 columnas. La componente que corresponde a una región y a un cruce dados será: 0 si la región no es adyacente al cruce; en otro caso, usaremos estas reglas, teniendo en cuenta la posición de la región vista desde el arco entrante pasando por debajo del otro arco del cruce:

A la izquierda antes del cruce: -t

A la derecha antes del cruce 1

A la izquierda después del cruce: t

A la derecha después del cruce: -1

Se eliminan ahora las columnas (2) correspondientes a regiones adyacentes, nos queda una matriz n x n, y calculamos su determinante: ese es el polinomio de Alexander (salvo alguna renormalización).

Por ejemplo, el ppolinomio de Alexander del trébol es

t + t -1 – 1

Por cierto, en este enlace se puede ver como construir un nudo de trébol. Y este video nos enseña como calcular el Polinomio de Alexander de un nudo

Imagen de previsualización de YouTube

El polinomio de Alexander del nudo trivial (no está anudado) es 1, pero hay nudos no triviales que también tienen polinomio de Alexander 1, así que no es un invariante completo.

John Conway

Unos 60 años del descubrimiento de Alexander, el matemático John Conway introdujo una nueva versión, creando un polinomio que se obtiene de una manera algorítmica muy sencilla. En realidad, este polinomio no era más que el de Alexander tras un cambio de variable, y hoy se conoce como polinomio de Alexander-Conway. Este es el polinomio de Conway del trébol

z 2 + 1

El siguiente paso en esta historia es el llamado polinomio de Jones, en 1984, que da inicio a la llamada teoría combinatoria de nudos. Pero esa es otra historia.

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias).

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Invariantes de nudos: el grupo de un nudo

Seguimos hablando de nudos en Matemáticas y sus fronteras, y hoy nos toca hacerlo de los invariantes que se pueden asociar a un nodo y de cómo éstos ayudan a su clasificación.

Nudos (Matemateca (IME/USP)/Rodrigo Tetsuo Argenton)

 

La noción de un invariante de nudos es sencilla: se trata de una cantidad (u objeto matemático) que es la misma para nudos equivalentes, de manera que dos nudos que posean los mismos invariantes serían indistinguibles desde el punto de vista de la topología.

Uno de estos invariantes es el llamado grupo del nudo, que no es más que el grupo fundamental del complementario del nudo en el espacio euclidiano.

Para fijar ideas, recordemos lo que es el grupo fundamental de un espacio. Dado un espacio (pensemos en la superficie de una esfera para fijar ideas), podemos considerar un punto y todos los lazos que comienzan y terminan en se punto. Ahora estableceríamos una relación de equivalencia entre esos lazos: dados dos cualesquiera, L y L’, se dicen equivalentes si se puede deformar uno en el otro de una manera continua (esto se manifiesta matemáticamente como  la existencia de una homotopía que deja fijos inicio y final y va recorriendo parametrizada de 0 a 1 una familia de lazos Lt tales que para t=0, L0 es L, y para L1 estaríamos con L´. La figura a continuación nos ayudará a hacernos una idea intuitiva.

En el espacio de la derecha todos los lazos son equivalentes, pero no en el de la izquierda, ya que le hemos quitado un trozo al espacio

Como complemento histórico, digamos que la palabra homotopía fue utilizada por primera vez por el matemático germano-americano Max Wilhelm Dehn (famoso por haber resuelto el tercer problema de Hilbert, el primero de los 23 en ser resuelto), y el matemático danés Poul Heegaard. Dehn  y Heegard escribieron en 1907 el primer libro sobre topología combinatoria.

Además, dos lazos se pueden multiplicar, porque basta componerlos y reparametrizarlos, y esta operación es respetada por la homotopía, de manera que las clases de equivalencia de los lazos (es decir, dado un lazo consideramos todos los que son equivalentes a él) se pueden multiplicar. Y esta operación dota a la colección de clases equivalentes de lazos de una estructura algebraica, de grupo precisamente. La notación es esta: si X es el espacio y x el punto que consideramos, entonces

Π(X, x)

denotará lo que llamamos grupo fundamental de X con base el punto x. El elemento neutro para este grupo es la clase del lazo constante x. Un resultado importante es que este grupo es el mismo si dos espacios son homeomorfos (recordemos la definición en la entrada anterior). Otro es que si dos puntos cualesquiera de nuestro espacio se pueden unir por una curva, entonces los grupos fundamentales en esos puntos serán isomorfos (algebraicamente idénticos).

En este video se puede encontrar un curso introductorio a la topología algebraica en el que se explica de una manera muy gráfica la construcción del grupo fundamental de un espacio

Imagen de previsualización de YouTube

Por ejemplo, si seguimos pensando en la superficie de una esfera, veremos que cualquier lazo de puede deformar al propio punto de una manera continua, así que su grupo fundamental constará solo del elemento neutro. Si calculamos el grupos fundamental de un círculo, veremos que es el grupo de los números enteros, ya que podemos dar vueltas en uno u otro sentido desde un punto dado, o quedarmos todo el tiempo en ese punto.

La construcción del grupo fundamental es uno de los grandes logros matemáticos, porque sirve para asociar un objeto algebraico (fácil de manipular) a un objeto topológico (muy difícil de controlar), y es parte de lo que se ha dado en llamar Topología Algebraica.

El concepto se debe al gran matemático francés Henri Poincaré, quién lo definió en 1895 en su artículo “Analysis situs” (por cierto, Analysis situs era el antiguo nombre por el que se conocía a la topología).

Wilhelm Witinger

Si queremos usar los grupos fundamentales para diferenciar nudos, debemos desarrollar un método para calcularlos. La clave la dio el matemático austríaco Wilhelm Wirtinger (1865-1945). Supongamos que nuestro nudo N tiene n arcos y m cruces, y consideramos en cada cruce la llamada relación de Wirtinger (que viene dada por un productos de arcos teniendo en cuenta si los cruces son positivos o negativos). Entonces Wirtinger probó que el grupo del nudo está determinado por los arcos a1, …, an y las relaciones r1, …, rm (técnicamente, es el grupo libre generado por los arcos cocientado por el menor subgrupo normal que contiene las relaciones).

Otro instrumento importante para calcular grupos de nudos lo ofrece el teorema de van Kampen, que permite calcular el grupo fundamental de un espacio si se descompone adecuadamente en espacios más sencillos de los que conocemos su grupo fundamental. En próximas entradas seguiremos escribiendo sobre este apasionante tema.

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias).

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Clasificando nudos

Seguimos hablando de nudos en Matemáticas y sus fronteras. Decíamos en la entrada anterior que el interés por los nudos decayó al probarse que las teorías que trataban de explicar con ellos el mundo atómico no se sustentaban a tenor de los nuevos descubrimientos sobre la inexistencia del éter y la aparición de la mecánica cuántica. Pero los matemáticos sí seguían interesados en el tema.

Los topólogos se sintieron fascinados por estos objetos matemáticos. Y una de las cuestiones claves es la de su clasificación, es decir, ¿cuándo podemos decir que dos nudos son equivalentes? Por ejemplo, los dos nudos que exhibimos arriba. Es un tema sutil, porque dos nudos pueden aparecer como muy diferentes pero ser idénticos desde el punto de vista topológico.

Para precisar estas ideas, vayamos a una primera definicíón de equivalencia. Dos nudos N1 y N2 se dirán equivalentes si existe un homeomorfismo

h : R3 —> R3,

que preserva la orientación del espacio y que transforma un nudo en el otro, es decir h(N1) = N2. Digamos que un homeomorfismo es una transformación que que es continua y que tiene inversa y ésta también es continua. La continuidad refleja que preserva en un cierto sentido que se puede precisar matemáticamente la cercanía de los puntos del espacio. Sobre la orientación, decir que hay dos posibles en R3 y h las debe preservar, es decir, no puede convertir una en la opuesta.

Existe otra definición de equivalencia en la que los dos nudos son equivalentes si existe una familia parametrizada de homeomorfismos por un parámetro t entre 0 y 1 que transforma el primer nudo en el segundo (esta familia es lo que se llama una homotopía). Sin embargo, esta definición y la primera son equivalentes. En cualquier caso, resulta complejo y arduo usar directamente estas definiciones.

Diagramas de nudos

Decíamos en una entrada previa que una manera de tratar con los nudos era proyectarlos en un plano y trabajar con esas proyecciones. Una manera de verlo es pensar que ponemos un foco de luz sobre el nodo tridimensional y vemos su sombra en una pared. Habrá intersecciones que se corresponden con los cruces del nodo. Trabajando con algo de cuidado se puede conseguir que estas proyecciones contengan toda la información del nudo. Así, el problema de ver si dos nudos son equivalentes o no se reduce a estudiar si lo son sus proyecciones.

El matemático alemán Kurt Werner Friedrich Reidemeister (1893 –1971) ideó en 1927 un procedimiento (llamado los movimientos de Reidemeister) que nos permite pasar de una proyección regular de un nudo a otra usando solo los siguientes tres tipos de movimientos sobre partes del diagrama en cuestión:

 

Reidemeister tipo I

Reidemeister tipo II

 

Reidemeister tipo III

El primer movimiento (tipo I) consiste en girar o crear un lazo; el segundo (tipo II) desplaza un trozo de nudo sin que se cruce con otro trozo; y el tercer movimiento (tipo III) consiste en pasar un trozo de nudo sin cruzamientos sobre o bajo un cruce. El resto del diagrama no se modifica.

 

Kurt Reidemeister

Algunos datos sobre Kurt Reidemeister

Reidemester comenzó su carrera matemática en Teoría algebraica de números, bajo la dirección de Erich Hecke, pero tan pronto defendió su tesis su intereés se fue a la geometría diferencial y a la teoría de nudos. En 1923 fue contratado como profesor en la Universidad de Viena (lo que le permitió escapar de la situación empobrecida de la Alemania de postguerra tras el tratado de Versalles y la hiperinflación) , y en 1925 se trasladó a la Universidad de Königsberg. En 1933, su posición pública al régimen nazi le supuso su cese (del que por cierto se enteró leyendo el periódico). Restituido por la presión de sus colegas al gobierno (encabezada por Wilhelm Blaschke) tuvo sin embargo que mantener ocultas sus discrepancias políticas. Tras la guerra y con una estancia en Princeton, fue nombrado profesor en la Universidad de Gotinga hasta su jubilación. Su libro Knoten und Gruppen (1926) es hoy en día un clásico sobre teoría de nudos.

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias).

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