Archivo de noviembre, 2018

Polinomios de nudos, o la historia del matemático que entraba en su despacho por la ventana

El grupo de un nodo no es el único invariante que se puede definir en teoría de nudos. Hoy nos centraremos en los polinomios de nudos, que son polinomios cuyos coeficientes contienen información preciosa del nudo en cuestión.

James Alexander

Algunos de estos polinomios gozan de una merecida fama. El primero de ellos es el llamado polinomio de Alexander, ya que fue propuesto por el matemático norteamericano James Waddell Alexander II (1888-1971) en 1923. James Alexander formó parte de la élite topológica de Princeton (con Oswald Veblen y Solomon Lefschetz, por ejemplo) de hecho fue uno de los primeros matemáticos contratados en el Instituto de Estudios Avanzados. Provenía de una importante familia en Princeton, y como curiosidad, diremos que su gran afición era el montañismo, escalando cimas en los Alpes franceses y suizos y en las Montañas Rocosas. Pero esa afición le llevó también a escalar a menudo los edificios del campus, y, todos en el campus conocían que para entrar en su despacho en el último piso del edificio de matemáticas (el famoso Fine Hall) prefería la ventana y no la puerta.

 

El edificio Fine Hall de Princeton, sede de su Departamento de Matemáticas

Alexander fue perseguido por sus ideas socialistas durante la caza de brujas organizada por el senador Joseph McCarthy, y desapareció durante los últimos años de su vida, sometido a reclusión, aunque firmó en 1954 la carta de apoyo  a Robert Oppenheimer.

Ya habíamos comentado que Alexander, en colaboración con Garland Briggs, había encontrado los mismos resultados que Kurt Reidemeister. De hecho, es uno de los grandes pioneros en el desarrollo de las teorías de homología y cohomología.

Nudo trébol

Recordemos como calculó Alexander el polinomio de un nudo. Se considera su diagrama (orientado), tal y como explicamos en una entrada anterior; y suponemos que hay n cruces. El diagrama divide el plano en n+2 regiones, y entonces se construye lo que se llama una matriz de incidencia, que será una matriz de n filas y n+2 columnas. La componente que corresponde a una región y a un cruce dados será: 0 si la región no es adyacente al cruce; en otro caso, usaremos estas reglas, teniendo en cuenta la posición de la región vista desde el arco entrante pasando por debajo del otro arco del cruce:

A la izquierda antes del cruce: -t

A la derecha antes del cruce 1

A la izquierda después del cruce: t

A la derecha después del cruce: -1

Se eliminan ahora las columnas (2) correspondientes a regiones adyacentes, nos queda una matriz n x n, y calculamos su determinante: ese es el polinomio de Alexander (salvo alguna renormalización).

Por ejemplo, el ppolinomio de Alexander del trébol es

t + t -1 – 1

Por cierto, en este enlace se puede ver como construir un nudo de trébol. Y este video nos enseña como calcular el Polinomio de Alexander de un nudo

Imagen de previsualización de YouTube

El polinomio de Alexander del nudo trivial (no está anudado) es 1, pero hay nudos no triviales que también tienen polinomio de Alexander 1, así que no es un invariante completo.

John Conway

Unos 60 años del descubrimiento de Alexander, el matemático John Conway introdujo una nueva versión, creando un polinomio que se obtiene de una manera algorítmica muy sencilla. En realidad, este polinomio no era más que el de Alexander tras un cambio de variable, y hoy se conoce como polinomio de Alexander-Conway. Este es el polinomio de Conway del trébol

z 2 + 1

El siguiente paso en esta historia es el llamado polinomio de Jones, en 1984, que da inicio a la llamada teoría combinatoria de nudos. Pero esa es otra historia.

___

Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias).

Etiquetas: ,
Categorias: General

Invariantes de nudos: el grupo de un nudo

Seguimos hablando de nudos en Matemáticas y sus fronteras, y hoy nos toca hacerlo de los invariantes que se pueden asociar a un nodo y de cómo éstos ayudan a su clasificación.

Nudos (Matemateca (IME/USP)/Rodrigo Tetsuo Argenton)

 

La noción de un invariante de nudos es sencilla: se trata de una cantidad (u objeto matemático) que es la misma para nudos equivalentes, de manera que dos nudos que posean los mismos invariantes serían indistinguibles desde el punto de vista de la topología.

Uno de estos invariantes es el llamado grupo del nudo, que no es más que el grupo fundamental del complementario del nudo en el espacio euclidiano.

Para fijar ideas, recordemos lo que es el grupo fundamental de un espacio. Dado un espacio (pensemos en la superficie de una esfera para fijar ideas), podemos considerar un punto y todos los lazos que comienzan y terminan en se punto. Ahora estableceríamos una relación de equivalencia entre esos lazos: dados dos cualesquiera, L y L’, se dicen equivalentes si se puede deformar uno en el otro de una manera continua (esto se manifiesta matemáticamente como  la existencia de una homotopía que deja fijos inicio y final y va recorriendo parametrizada de 0 a 1 una familia de lazos Lt tales que para t=0, L0 es L, y para L1 estaríamos con L´. La figura a continuación nos ayudará a hacernos una idea intuitiva.

En el espacio de la derecha todos los lazos son equivalentes, pero no en el de la izquierda, ya que le hemos quitado un trozo al espacio

Como complemento histórico, digamos que la palabra homotopía fue utilizada por primera vez por el matemático germano-americano Max Wilhelm Dehn (famoso por haber resuelto el tercer problema de Hilbert, el primero de los 23 en ser resuelto), y el matemático danés Poul Heegaard. Dehn  y Heegard escribieron en 1907 el primer libro sobre topología combinatoria.

Además, dos lazos se pueden multiplicar, porque basta componerlos y reparametrizarlos, y esta operación es respetada por la homotopía, de manera que las clases de equivalencia de los lazos (es decir, dado un lazo consideramos todos los que son equivalentes a él) se pueden multiplicar. Y esta operación dota a la colección de clases equivalentes de lazos de una estructura algebraica, de grupo precisamente. La notación es esta: si X es el espacio y x el punto que consideramos, entonces

Π(X, x)

denotará lo que llamamos grupo fundamental de X con base el punto x. El elemento neutro para este grupo es la clase del lazo constante x. Un resultado importante es que este grupo es el mismo si dos espacios son homeomorfos (recordemos la definición en la entrada anterior). Otro es que si dos puntos cualesquiera de nuestro espacio se pueden unir por una curva, entonces los grupos fundamentales en esos puntos serán isomorfos (algebraicamente idénticos).

En este video se puede encontrar un curso introductorio a la topología algebraica en el que se explica de una manera muy gráfica la construcción del grupo fundamental de un espacio

Imagen de previsualización de YouTube

Por ejemplo, si seguimos pensando en la superficie de una esfera, veremos que cualquier lazo de puede deformar al propio punto de una manera continua, así que su grupo fundamental constará solo del elemento neutro. Si calculamos el grupos fundamental de un círculo, veremos que es el grupo de los números enteros, ya que podemos dar vueltas en uno u otro sentido desde un punto dado, o quedarmos todo el tiempo en ese punto.

La construcción del grupo fundamental es uno de los grandes logros matemáticos, porque sirve para asociar un objeto algebraico (fácil de manipular) a un objeto topológico (muy difícil de controlar), y es parte de lo que se ha dado en llamar Topología Algebraica.

El concepto se debe al gran matemático francés Henri Poincaré, quién lo definió en 1895 en su artículo “Analysis situs” (por cierto, Analysis situs era el antiguo nombre por el que se conocía a la topología).

Wilhelm Witinger

Si queremos usar los grupos fundamentales para diferenciar nudos, debemos desarrollar un método para calcularlos. La clave la dio el matemático austríaco Wilhelm Wirtinger (1865-1945). Supongamos que nuestro nudo N tiene n arcos y m cruces, y consideramos en cada cruce la llamada relación de Wirtinger (que viene dada por un productos de arcos teniendo en cuenta si los cruces son positivos o negativos). Entonces Wirtinger probó que el grupo del nudo está determinado por los arcos a1, …, an y las relaciones r1, …, rm (técnicamente, es el grupo libre generado por los arcos cocientado por el menor subgrupo normal que contiene las relaciones).

Otro instrumento importante para calcular grupos de nudos lo ofrece el teorema de van Kampen, que permite calcular el grupo fundamental de un espacio si se descompone adecuadamente en espacios más sencillos de los que conocemos su grupo fundamental. En próximas entradas seguiremos escribiendo sobre este apasionante tema.

___

Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias).

Guardar

Guardar

Etiquetas: , ,
Categorias: General

Clasificando nudos

Seguimos hablando de nudos en Matemáticas y sus fronteras. Decíamos en la entrada anterior que el interés por los nudos decayó al probarse que las teorías que trataban de explicar con ellos el mundo atómico no se sustentaban a tenor de los nuevos descubrimientos sobre la inexistencia del éter y la aparición de la mecánica cuántica. Pero los matemáticos sí seguían interesados en el tema.

Los topólogos se sintieron fascinados por estos objetos matemáticos. Y una de las cuestiones claves es la de su clasificación, es decir, ¿cuándo podemos decir que dos nudos son equivalentes? Por ejemplo, los dos nudos que exhibimos arriba. Es un tema sutil, porque dos nudos pueden aparecer como muy diferentes pero ser idénticos desde el punto de vista topológico.

Para precisar estas ideas, vayamos a una primera definicíón de equivalencia. Dos nudos N1 y N2 se dirán equivalentes si existe un homeomorfismo

h : R3 —> R3,

que preserva la orientación del espacio y que transforma un nudo en el otro, es decir h(N1) = N2. Digamos que un homeomorfismo es una transformación que que es continua y que tiene inversa y ésta también es continua. La continuidad refleja que preserva en un cierto sentido que se puede precisar matemáticamente la cercanía de los puntos del espacio. Sobre la orientación, decir que hay dos posibles en R3 y h las debe preservar, es decir, no puede convertir una en la opuesta.

Existe otra definición de equivalencia en la que los dos nudos son equivalentes si existe una familia parametrizada de homeomorfismos por un parámetro t entre 0 y 1 que transforma el primer nudo en el segundo (esta familia es lo que se llama una homotopía). Sin embargo, esta definición y la primera son equivalentes. En cualquier caso, resulta complejo y arduo usar directamente estas definiciones.

Diagramas de nudos

Decíamos en una entrada previa que una manera de tratar con los nudos era proyectarlos en un plano y trabajar con esas proyecciones. Una manera de verlo es pensar que ponemos un foco de luz sobre el nodo tridimensional y vemos su sombra en una pared. Habrá intersecciones que se corresponden con los cruces del nodo. Trabajando con algo de cuidado se puede conseguir que estas proyecciones contengan toda la información del nudo. Así, el problema de ver si dos nudos son equivalentes o no se reduce a estudiar si lo son sus proyecciones.

El matemático alemán Kurt Werner Friedrich Reidemeister (1893 –1971) ideó en 1927 un procedimiento (llamado los movimientos de Reidemeister) que nos permite pasar de una proyección regular de un nudo a otra usando solo los siguientes tres tipos de movimientos sobre partes del diagrama en cuestión:

 

Reidemeister tipo I

Reidemeister tipo II

 

Reidemeister tipo III

El primer movimiento (tipo I) consiste en girar o crear un lazo; el segundo (tipo II) desplaza un trozo de nudo sin que se cruce con otro trozo; y el tercer movimiento (tipo III) consiste en pasar un trozo de nudo sin cruzamientos sobre o bajo un cruce. El resto del diagrama no se modifica.

 

Kurt Reidemeister

Algunos datos sobre Kurt Reidemeister

Reidemester comenzó su carrera matemática en Teoría algebraica de números, bajo la dirección de Erich Hecke, pero tan pronto defendió su tesis su intereés se fue a la geometría diferencial y a la teoría de nudos. En 1923 fue contratado como profesor en la Universidad de Viena (lo que le permitió escapar de la situación empobrecida de la Alemania de postguerra tras el tratado de Versalles y la hiperinflación) , y en 1925 se trasladó a la Universidad de Königsberg. En 1933, su posición pública al régimen nazi le supuso su cese (del que por cierto se enteró leyendo el periódico). Restituido por la presión de sus colegas al gobierno (encabezada por Wilhelm Blaschke) tuvo sin embargo que mantener ocultas sus discrepancias políticas. Tras la guerra y con una estancia en Princeton, fue nombrado profesor en la Universidad de Gotinga hasta su jubilación. Su libro Knoten und Gruppen (1926) es hoy en día un clásico sobre teoría de nudos.

___

Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias).

Etiquetas: , ,
Categorias: General