El hombre de los determinantes

Una de las reglas más famosas que recordamos todos del bachillerato es la llamada Regla de Cramer, que nos sirve para resolver sistemas de ecuaciones lineales con unos sencillos cálculos de determinantes de matrices y submatrices.

La regla es muy simple. Si el sistema de ecuaciones (n ecuaciones y n incógnitas) es

A₁₁ x¹ + … + A_1n xⁿ = b₁

A₂₁ x¹  + … + A_2n xⁿ = b₂

……………………………….

A_n1 x¹ + … + A_nn xⁿ = b_n

se puede representar de una manera simple como

Ax = b    (1)

donde A es la matriz formada por los coeficientes de las incógnitas x¹, …, xⁿ y x es el vector representado en forma de columna igual que b (formado por los números b₁, …, b_n) de manera que en la ecuación anterior usamos la regla para multiplicar matrices de filas x columnas.

La regla de Cramer nos dice que las soluciones se obtienen de esta manera tan sencilla

x_i = det A_i / det A

donde A_i  se obtiene de la matriz A sustituyendo la columna i-ésima por los elementos de b. Obviamente, estamos tratando con sistemas regulares en los que la matriz A tiene determinante no nulo.

Este método fue propuesto por el matemático suizo Gabriel Cramer (1704-1752), y fue incluida en si obra Introduction à l’analyse des lignes courbes algébriques. Parece ser que para algunos casos particulares era ya conocida por el matemático escocés Colin Maclaurin.

Hay otra manera de ver la ecuación global (1); bastaría calcular la inversa de la matriz A, sea A^–1, y entonces

X = A^-1 b

nos daría la solución. El cálculo de esta inversa juega un papel decisivo en la demostración de la regla de Cramer.

Mientras que la regla de Cramer es perfecta desde el punto de vista teórico, no lo es tanto a la hora de ponerla en práctica, y es más eficaz el método de eliminación de Gauss. Tengamos en cuenta que para sistemas con un número elevado de ecuaciones e incógnitas necesitamos usar ordenadores.

Gabriel Cramer

Gabriel Cramer fue un joven prodigio, nacido en una familia acomodada en Ginebra. A los 18 años defendió una tesis doctoral sobre la teoría del sonido, y a los 21 estaba opositando para una cátedra de filosofía. Aunque no era el candidato oficial (Amédée De la Rive), él y otros de sus contrincantes, el joven Giovanni Ludovico Calandrini, impresionaron tanto al tribunal por sus conocimientos, que decidieron dividir la cátedra en dos, una de filosofía y otra de matemáticas. Calandrini y Cramer deberían compartir la de matemáticas, lo que así hicieron a satisfacción de todos.

Cramer propuso un cambio muy importante en la enseñanza, usar el francés y no el latín, para conseguir llegar a más personas.

Una de las características de su puesto era que le permitían viajar por Europa, y así pudo visitar a los mejores matemáticos de la época: Johann Bernoulli, Leonhard Euler, Halley, de Moivre, Stirling, Willem ‘sGravesande, Fontenelle, Maupertuis, Buffon, Clairaut, etc. Estos contactos, que siguieron luego por carta, le permitieron estar al día en la frontera de la investigación matemática.

En 1734, Cramer se queda solo en la cátedra de Matemáticas. Desarrolló en todos los años de su vida una actividad muy intensa, publicando sobre temas muy diversos en matemáticas. Una prueba de su prestigio es que el propio Johann Bernouilli le encargó la publicación de sus obras completas, lo que también hizo con las de Jacob Bernouilli, además de editar la correspondencia entre Euler y Johann Bernouilli.

Cramer murió prematuramente. A pesar de su excelente salud, sufrió una caída de un carruaje, y ya no se recuperó; falleció cuando se dirigía al sur de Francia (Provenza), dónde su médico le había recomendado pasar una temporada tranquila y con un buen clima.

La curva del diablo

Cramer se asocia habitualmente a una interesante curva denominada curva del diablo. El nombre alude a la meniscata del centro, muy similar a un juego que fue popular a finales del siglo XVIII, el “diabolo”.

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias).