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Archivo de abril, 2019

Dibujos que ayudan a probar teoremas

“Mamá ya está pintando otra vez”, era la frase habitual de Anahita, la hija de Maryam Mmirzakhani cuando veía a su madre en el suelo, haciendo intrincados dibujos de esferas con asas, toros, etc., en grandes hojas de papel.

Maryam Mirzakhani

Lo que hacía Maryam es lo que hacemos muchos matemáticos cuando tratamos de probar un teorema. Intentamos representarlo de forma gráfica para hacernos una idea de por donde pueden ir los tiros. Si tenemos papel a mano, lo usamos y emborronamos docenas de hojas (visite un despacho de matemático y lo podrá comprobar). Pero si tenemos una pizarra a mano, el gozo es mayor, porque la tiza permite dibujar una y otra vez porque, para comenzar de nuevo, solo hace falta borrar. Incluso, cuando no tenemos nada a mano, hacemos dibujos imaginarios con nuestros dedos en el aire como si ese conjuro fuese suficiente para convertir las moléculas flotantes en figuras.

Un caso extremo y célebre es el de Arquímedes, muerto por un soldado romano en el sitio de Siracusa, cuando le dijo “No toques mis círculos”, refiriéndose a los que había dibujado en la arena. Ya ven, el matemático dispuesto a morir por su obra efímera.

 

Pero el dibujo que nos ayuda a encaminar nuestros razonamientos no puede sustituir a la prueba formal del resultado que perseguimos. Ahí, los símbolos de las ecuaciones que vamos pergeñando, “las cuentas” que hacemos simbólicamente, son las que finalmente nos permiten llegar a colocar el QED (“Quod Erat Demonstrandum”).

Hay dibujos mucho más sofisticados, los que permiten conseguir los programas informáticos que simulan las ecuaciones del modelo que estamos manejando. Y en este caso, la precisión es grande y podemos acercarnos mucho a una especie de demostración visual: por ejemplo, la curva parece que se comporta de esta manera lo que sugiere que el resultado que queremos probar es cierto. Aún así, esto no es una prueba formal.

Hay muchas demostraciones llamadas “visuales”, porque prueban un resultado de manera gráfica. Cubren todo el panorama histórico de la humanidad, y una de las preferidas es el teorema de Pitágoras, como la contenida en esta estatua:

Fotografía de “Matemáticas visuales”

Pero ni estas satisfacen la que podíamos llamar “la prueba del algodón matemático”. Porque ya nos enseñó Euclides que partiendo de unas hipótesis, y suponiendo ciertos unos axiomas evidentes e indemostrables, es el razonamiento lógico el único que nos lleva al resultado deseado. Eso sí, los matemáticos seguiremos por los siglos venideros haciendo nuestros dibujitos.

 

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias).

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¿Pueden las matemáticas contribuir a ganar unas elecciones?

Navegando me he encontrado con esta noticia, Los partidos quieren tus datos. Este artículo nos alerta de la capacidad de los partidos políticos para usar datos de los ciudadanos y enviar propaganda electoral vía redes sociales y aplicaciones de mensajería. Su autora, Gemma Galdon, lidera una consultoría  sobre el impacto social, ético y legal del desarrollo tecnológico, y relata su preocupación ante el uso que se pueda dar de nuestros datos con la finalidad de moldear opiniones y con ello dirigir el voto en una dirección determinada. Gemma Galdón alerta ante “incentivos perversos, orientados a hacer rentable, económica o políticamente, la desprotección de datos”.

Gemma Galdon Clavell

La publicación  de Gemma me ha recordado el libro de Cathy O’Neil, Armas de destrucción matemática (Cómo el big data aumenta la desigualdad y amenaza la democracia), que recientemente pasó por mis manos. Cathy O´Neil es matemática (se graduó en Berkerley  y se doctoró en Harvard). Aburrida de la vida académica, pasó a la empresa un poco antes de la crisis del 2008, siendo allí testigo del uso de las matemáticas en el mundo financiero y en las empresas de marketing. Desilusionada con esta actividad e involucrada  en movimientos sociales como Occupy Wall Street, lleva un blog (mathbabe, Exploring and venting about quantitative issues) donde se pregunta qué es lo que un matemático puede hacer para que el mundo sea un poco mejor.

Cathy O’Neil


O´Neil narra en su libro en su libro como el equipo de Obama contrató, en las elecciones de 2011, “expertos en estadística, aprendizaje automático, minería de datos, análisis de textos y análisis predictivo para trabajar con grandes volúmenes de datos y ayudar a orientar la estrategia de las elecciones”, tal como anunciaban en LinkedIn. El desempeño de este equipo fue el de detectar “tribus” de gente uniforme en sus valores y prioridades para “movilizarlos hacia objetivos específicos, como votar, organizar o recaudar fondos”.  Barack Obama ganó estas elecciones presidenciales por 4 puntos de diferencia con respecto al segundo, Mitt Romney  (unos 5 millones en votos) pero fue en la recaudación donde mayor fue la diferencia. Obama recaudó 720 millones de dólares por 450 de Romney, y esa diferencia fue en gran medida debida a la movilización de pequeños donantes: 235 millones Obama por 80 de Romney (la información se puede ver en OpenSecrets).

El análisis de datos combinado con el envío de mensajes en redes sociales o sistemas de mensajería se ha ido utilizando en posteriores procesos electorales: presidenciales estadounidenses de 2016, Brexit, presidenciales francesas 2017, presidenciales brasileñas,… Y ahora los partidos en España seguro que están en disposición  de utilizarlas en estas próximas elecciones. En primer lugar, han modificado la Ley para que ellos puedan recopilar, de páginas web y otras fuentes de acceso público, los “datos personales relativos a las opiniones políticas de las personas en el marco de sus actividades electorales”.  Con estos datos se agrupan los individuos en “diferentes  pequeñas tribus” a las que luego trasladarles el mensaje adecuado y en el momento propicio mediante algoritmos de aprendizaje inmediato. Estas tribus se hacen buscando correlaciones  entre los datos de las actividades de diferentes actividades de  las personas. ¿Qué datos? Tus compras, tus movimientos, tus lecturas, tus búsquedas, tus mensajes, tus amigos, tus compañeros de trabajo, tu familia…

Todo tipo de datos es susceptible de ser adquirido por una empresa especializada en empaquetar datos, porque se lo hemos permitido con sus cookies.  Estos datos se pueden agrupar de forma apropiada para el uso del interesado, en este caso, los partidos políticos. Así, tras un buen análisis de datos se puede detectar las tribus de personas indecisas con posibilidad de orientar su voto hacia el objetivo de ese partido. En definitiva, en esta campaña donde unos pocos votos te pueden hacer ganar o perder un escaño en muchas provincias, y que esos escaños te pueden proporcionar el gobierno, los partidos están utilizando todas las herramientas disponibles.

Seguro que ya has recibido o vas a recibir algún mensaje con intención de que orientes tu voto.

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Rafael Orive Illera (Profesor de la Universidad Autónoma de Madrid e investigador del Instituto de Ciencias Matemáticas)

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La topología del ADN

En una entrada previa en Matemáticas y sus fronteras, La vida anudada, comentamos el papel de la Teoría de Nudos en la biología, y muy concretamente, en el estudio del ADN (Ácido Desoxirribonucleico) y las proteínas. Profundizamos ahora en este tema.

Molécula de ADN

Como sabemos ahora, el ADN tiene una forma de doble hélice, como una escalera de caracol donde los lados son cadenas de azúcares (desoxirribosa) y fosfatos conectadas por puentes o escalones, formados por bases nitrogenadas. Esta estructura confiere una gran estabilidad a la molécula (esencial porque en el ADN se guarda la información genética del individuo), y fue descubierta en 1953 por James Watson y Francis Crick, lo que les valió el Premio Nobel de Fisiología o Medicina en 1962 (premio que no contó con la química Rosalind Franklin, cuyas contribuciones al desciframiento de la doble hélice fueron muy importantes). Con cada azúcar se encuentran una de estas cuatro bases: adenina, citosina, guanina y timina, denotadas con la sletras A, C, G y T, respectivamente, de manera que se enlazan por pares: A con T, C con G. Estas bases son las que codifican de una manera que podríamos decir algebraica las instrucciones que permitirán la formación de proteínas y ARN, el llamado ADN mensajero. Una estructura maravillosamente simple pero que a la vez permite una enorme complejidad.

Este enrollamiento impide el acceso a la información a menos que se actúe sobre la doble hélice para separar las hélices. Si las dos hebras del ADN no estuvieran entrelazadas, sería fácil separarlas simplemente empujando cada una en una dirección diferente.  Pero no es así, y lo que ocurre en las bacterias y las células eucariotas es que una de las hebras se enrolla sobre la otra, de manera que forman un círculo. El número de enlace se obtiene sumando las intersecciones de una de las hebras con la superficie virtual que genera la otra. Vemos inmediatamente que este número no varía aunque se deforme la molécula, y que la única forma de cambiarlo es rompiendo enlaces, bien en una u otra hebra o las dos a la vez.

En este video se describen con claridad todos estos conceptos

Imagen de previsualización de YouTube

Digamos también que debido a la longitud de la molécula (casi 1 metro en el genoma humano), y hay que empaquetarlo dentro del núcleo de una célula, un espacio muy reducido, el grado de enrollamiento es muy alto, lo que en inglés se denomina supercoiling. Para hacerse una idea, podemos pensar en el cable del teléfono, que es una estructura uniforme en un principio pero que si lo usamos mucho, puede enrollarse de una manera muy compleja (veáse la imagen).

Y eso es lo que logran estas enzimas, las topoisomerasas, que pueden cortar y pegar en las dos hélices, con lo que la molécula se desenrolla y permite el acceso a la información determinada por las bases (pensemos que estas son los escalones interiores). Cuando se termina el proceso, las enzimas lo dejan todo como estaba, la molécula tiene la misma composición química que al principio, pero lo que ha cambiado es la topología.

Podemos introducir dos parámetros en el ADN con información topológica: el enroscamiento (twist) y el retorcimiento (writhe). El enroscamiento nos da el número de giros de la hélice, mientras que el retorcimiento mide cuantas veces la doble hélice se cruza sobre si misma; esa última puede ser positiva o negativa. Por supuesto, la suma de ambos números nos da el número de enlace. Aunque estamos simplificando notablemente este cálculo, las matemáticas detrás de ello son algo más complejas.

 

James C. Wang

Las topisomerasas modifican pues el número de enlace, lo pueden aumentar o disminuir. Estas enzimas fueron descubiertas por James C. Wang, un bioquímico de origen chino, profesor de la Universidad de Harvard, en la década de 1970. Hay dos tipos de topoisomerasas; las de tipo I rompen una hebra y hace pasar la otra por el hueco, incrementando el número de enlace o disminuyéndolo una unidad (en esencia, convierten los twists en writhes) . Las de tipo II, rompen las dos hebras y conecta cada una con la suya, incrementando así el número de enlace en dos unidades. En este video se puede ver lo que hacen una y otra

Imagen de previsualización de YouTube

La actividad de las toposiomerasas es fundamental en temas como la replicación, que sería imposible sin ellas. Por ejemplo, sin la acción de las topoisomerasas de tipo I, la molécula de ADN podría incrementar su enrollamiento y romperse, lo que sería fatal para la célula. Por su parte las de tipo II tienen como principal misión simplificar la topología.

Estructura tridimensional de la proteína TOP2A

Hay más tipos de topoisomerasas relacionadas con moléculas de ADN que no tienen esa forma circular, pero que están “atadas” por ejemplo a la pared celular

Otro tema en el que se toca otra área de las matemáticas tienen que ver con la energía. El eje de la doble hélice está usualmente curvado, no forma una línea recta. Esto produce un almacenamiento de energía que puede ser utilizada en las operaciones que se producen en la célula. Este es un tema que se trata en la Teoría de Elasticidad de los medios continuos.

La conclusión es que la Teoría de Nudos, rama de la Topología, es crucial para el estudio de la biología de la célula. De hecho, ya se utiliza el conocimiento de la labor de las topoisomerasas para diseñar medicamentos y antibióticos. Y no es la única rama de las matemáticas que interviene en la comprensión de los fenómenos biológicos, y el uso de este conocimiento para mejorar nuestra vida.

Dorothy Buck

Un ejemplo lo podemos encontrar en la matemática Dorothy Buck, profesora en la Universidad de Bath y co-directora de su Centro de Biología Matemática, que realizó sus tesis doctoral con la supervisión de un matemático y un microbiólogo. Buck se dedica precisamente a estudiar como el conocimiento matemático de la estructura topológica del ADN y la acción de las topoisomerasas ayuda a fabricar esos medicamentos.

¡Ojalá que cada vez haya más matemáticos como Dorothy interesados en aplicar sus conocimientos a la biología en compañía de los biólogos!

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias).

 

 

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William Sealy Gosset, el cervecero que revolucionó la Estadística

Si es usted un estudiante de Estadística o usa esta disciplina para su trabajo, no le sonará el nombre de Gosset, pero si el de Student. Explicaremos en esta entrada que ambos eran la misma persona y por qué Gosset se vió obligado a usar un seudónimo.

William Sealy Gosset

William Sealy Gosset nació el 3 de junio 1876 en Canterbury. Tras asistir a la escuela, se matriculó en el New College de la Universidad de Oxford, para seguir estudios de ciencias naturales y matemáticas. Tras graduarse, comienza su trabajo como químico en la famosa cervecería de Arthur Guinness en Dublín. Su ocupación era mejorar la cerveza, mediante experimentos y desarrollando medidas estadísticas. Gosset fue un autodidacta, aunque durante los años 1906 y 1907 realizó estudios en el laboratorio de uno de los padres de la Estadística moderna, Karl Pearson, con quien siempre mantuvo una excelente relación.

Pearson le ayuda en la parte matemática de los primeros artículos de Gosset, sin apreciar todavía la importancia de los mismos. Gosset experiemntaba con muestras pequeñas, y no con una enorme cantidad de ellas, como se hacía entonces (Pearson en particular). Es en 1908 cuando Gosset publica un artículo hoy considerado seminal, The probable error of a mean

Lo hace en la revista Biometrika, fundada en Oxford en 1901 por Francis Galton, Karl Pearson y Raphael Weldon para fomentra el estudio de la biométrica, siendo hoy en día una revista de referencia. El artículo está firmado por Student, así, sin más detalles. Las razones de este anonimato está en los directores de la cervecera Guinnes, que querían mantener en secreto todos los detalles de la producción, fuera del alcance de la competencia. Había habido en el pasado una filtración y de ahí la imposición a los empleados de no publicar resultados de investigación que los relacionara con Guinnes ni con la cerveza. Gosset mantiene este anonimato, de manera que la hoy llamada distribución t de Student debería ser conocida como distribución t de Gosset.

Es otro de los fundadores de la Estadística, Ronald A. Fisher, quien se da cuenta de la importancia del método desarrollado por Gosset (alias Student) para cuando solo se cuenta con muestras pequeñas.

Gosset también comenzó a investigar sobre posibles variaciones del cultivo a fin de lograr cosechas robustas, ressitentes a los cambios de suelo y clima. Así, contribuyó a crear un campo fundamental que hoy se conoce como “diseño de experimentos”, clave para la industria farmacéutica, por citar una de sus aplicaciones más relevantes.

En 1935, Gosset se trasladó a Londres para hacerse cargo de segunda fábrica de Guinnes, falleciendo  de un ataque al corazón el 16 de octubre de 1937.

Citaremos algunas anécdotas que ilustran su carácter. En 1934 tuvo un accidente de coche; según parece “chocó con una farola en un camino recto, por mirara hacia abajo y colocar algunas cosas que llevaba encima”. Aprovechó los tres meses en la cama para dedicarse por entero al estudio y la investigación de la Estadística.

Uno de sus amigos íntimos decía que “era muy amable y tolerante, totalmente desprovisto de malicia. Rara vez hablaba de asuntos personales, pero cuando lo hacía su opinión valía la pena escucharla, y no era en lo más mínimo superficial.”

Su modestia era tal que a un admirador de su trabajo le tuvo que decir: “Fisher lo hubiera descubierto de todas maneras”.

 

Para honrar su memoria, la fábrica Guinness  colocó una plaza conmemorativa en su sede central, que los visitantes amigos de la cerveza pueden contemplar en Dublín.

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias).

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