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Archivo de junio, 2019

El amigo de Einstein

La lectura del libro Los sueños de Einstein, de Alan Lightman, me ha llevado a querer saber más del personaje que acompaña a Albert Einstein en los interludios de la obra, Michele Besso, un personaje real y uno de los grandes amigos del sabio alemán a lo largo de toda su vida.

 

Michele Besso y sus esposa

Eisntein y Besso se conocieron en el entonces Instituto Politécnico Federal de Zürich, hoy el ETH, cuando Albert era un estudiante. Entró en la Escuela en 1896 graduándose en 1900. En ese tiempo, de hecho hasta 1901, pasó los tres meses de vacaciones escolares en Milán. En esas estancias, pudo continuar su contacto con Michele Besso, un ingeniero seis años mayor que él con el que mantenía interesantes discusiones sobre ciencia.

Einstein consigue su primer empleo en la Oficina de Patentes de Berna en 1902, y puede seguir su amistad con Besso desde 1904 ya que este también se traslada a esa ciudad. La influencia de Besso sobre su amigo no es asunto de conjeturas. En su artículo sobre la relatividad especial en 1905, Zur Elektrodynamik bewegter Körper («Sobre la electrodinámica de cuerpos en movimiento») Einstein incluyó una frase de agradecimiento a su amigo: “En conclusión, debo decir que mi amigo M. Besso me apoyó firmemente en mi trabajo sobre el tema discutido aquí, y que estoy en deuda con él por varias sugerencias valiosas”.

 

Einstein y Besso

No acaban aquí los agradecimientos a su amigo. Unos años después, en una conferencia en Kyoto y rememorando aquellos años, Eisntein decía: “Afortunadamente, un amigo mío que vivía en Berna me ayudó. Hablé varias veces con él sobre este tema, y fruto de estas discusiones, llegó de repente la inspiración.”

Bello también recuerda esos tiempos, y le escribe una carta a Einstein (contestación a otra suya) lo siguiente: “Por mi parte, fui tu público en los años 1904 y 1905; ayudándote a editar tus trabajos sobre los quamta te privé de algo de tu gloria, pero por otra parte, te conseguí en Planck a un amigo”.

Carta de Einstein a Besso

La importancia de esa amistad surgida sobre todo en los contactos milaneses vacacionales, es analizada profundamente en el artículo “Einstein and Besso. From Zürich to Milano”, de Christian Bracco.

El libro de Alan Lightman (y fíjense en este apellido) recoge esas conversaciones sobre la ciencia que, tras trabajar, mantenían Einstein y Bello. Durante las noches, Lightman imagina a un Einstein de ficción que sueña con mundos en los que el tiempo se rige de maneras diferentes. En un mundo, el tiempo se congela en el momento en el que somos más felices, en otro, el tiempo transcurre hacia atrás o bien avanza más rápido en un barrio que en otro. Sueña también qué sucedería si conociéramos el fin del mundo de antemano, si no tuviéramos recuerdos o si no tuviéramos futuro.

Albert y Michele mantuvieron esa amistad toda su vida, y se conservan mucha sde las cartas que se escribían. Cuando Besso muere en 1955, Eisntein escribe una carta a su familia, pocas semanas antes de que el propio Einstein muera. La carta termina con esta frase: “Ahora me ha precedido en la partida desde este extraño mundo. No tiene importancia. Para gente como nosotros, que creemos en la Física, la separación entre presente, pasado y futuro tiene solo la importancia de una, hay que reconocerlo, tenaz ilusión”.

Ojalá Albert y Michele compartan uno de los tiempos imaginados por Lightman que les permita una conversación interminable sobre la ciencia y la vida a orillas del río Aare.

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias).

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Ver para pensar

“En muchos casos, una demostración farragosa puede ser sustituida por una geométrica análoga, tan simple y bella que la veracidad de un teorema es casi vista en una ojeada”, Martin Gardner, 1973

Los Libros de la Catarata, la Federación Española de Profesores de Matemáticas y el Instituto de Ciencias Matemáticas del CSIC continúna su colaboración editorial con un nuevo título de la colección Miradas Matemáticas,  y  esta vez es el turno de Demostraciones visuales en matemáticas. Ver para pensar, de Ana Carvajal Sánchez y José Luis Muñoz Casado.

 

Ya hemos reseñado en Matemáticas y sus fronteras los volúmenes que han ido apareciendo desde la puesta en marcha de Miradas Matemáticas, una colección que trata de combinar divulgación y didáctica con el fin de acercar la disciplina tanto a los profesores como a cualquier persona que guste de la ciencia.

En este libro se aborda uno de los temas más populares de las matemáticas, las llamadas demostraciones visuales. Recordemos el dicho de “una imagen vale más que mil palabras”, aunque en este caso, la palabra demostrcaión debe entenderse de una manera más informal: las imágenes ayudan pero no pueden sustituir a la prueba formal sin la que las matemáticas perderían su esencia (Euclides ya nos lo adelantó, veáse la entrada Dibujos que ayudan a probar teoremas).

¿Cuá es la suma de esta serie?

 

Como se dice en la descripción del libro, “las imágenes siempre han sido un poderoso recurso para, entre otras funciones, transmitir información o representar la realidad. En las matemáticas, la realización de esquemas, diagramas, dibujos, etc., sirve para mostrar o ejemplificar complejas ideas matemáticas de forma sencilla. Este libro es una introducción a las llamadas demostraciones visuales en matemáticas. Aunque no son estrictamente demostraciones formales, se trata de imágenes que permiten visualizar con claridad ciertas propiedades o teoremas, comprender y resolver mejor los razonamientos y problemas matemáticos y estimular la generación de ideas.”

Hablamos pues de demostraciones sin palabras, que la imagen lo diga todo. En el libro se traza un recorrido histórico de las demostraciones visuales, que se remontan a la antigua China, la Grecia clásica o la India del siglo XII.

 

El Teorema de Pitágoras ha sido siempre un referente en este tema, ya lo citamos en una anterior entrada, Perigal, el británico que incluyó su demostración del Teorema de Pitágoras en sus tarjetas de visita, pero añadimos ahora este video que nos muestra en un minuto seis demostraciones visuales del teorema

 

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Sobre los autores

Ana Carvajal Sánchez es matemática, especialista en metodología y didáctica de las Matemáticas en las etapas de Educación Infantil, Primaria y Secundaria. Es autora y editora, y compagina su oficio con su actividad de formación a estudiantes y docentes.

Ana Carvajal Sánchez

 

José Luis Muñoz Casado es matemático y posee el título de máster en Investigación matemática. Ha escrito varios libros y artículos en diversas revistas de educación matemática. Coordina la sección “CreoGebra” de la revista SUMA y es el actual presidente de la Sociedad Madrileña de Profesores de Matemática.

José Luis Muñoz Casado

 

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias).

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Karl Pearson, el hombre que estudiaba matemáticas en Cambridge pero leía a Spinoza

Si en la entrada anterior trazábamos una breve reseña de Sir Francis Galton, no podemos menos que hacer lo mismo con su discípulo favorito, Karl Pearson (antiguamente llamado Carl Pearson).

 

Karl Pearson

Karl Pearson nació el 27 de marzo de 1857 en Londres, ciudad en la que falleció eñ 27 de abril de 1936. Es uno de los nombres vinculados aa las aplicaciones de la estadística a la biología y al nacimiento de la bioestadística, aunque con ello tuvo que poner en marcha nuevos conceptos de la propia estadística.

Carl Pearson nació en una familia de clase media-alta, con un hermano mayor que él y una hermana más joven, y ese fue su mombre original, Carl, que luego cambió a Karl a los 23 años, probablemente por admiración hacia Karl Marx. Hasta los nueve años fue educado en su casa, y luego pasó a la University College School de Londres hasta los dieciséis años. Debido a una enfermedad se le asignó un tutor privado que completó su educación, ganando una beca en el prestigioso King’s College, de la Universidad de Cambridge.

Pearson tuvo unos profesores excelentes, algo importante para conseguir una carrera científica exitosa, nada menos que Stokes, Maxwell, Cayley, Burnside y Routh. Pero el joven Carl tenía una mente inquieta y se interesaba tambiñen por la religión y la filosofía, y él mismo decía de aquellos años de formación: “En Cambridge estudié Matemáticas, pero leía las obras de Spinoza”. Es interesante como todos estos grandes científicos que han hecho contribuiciones excepcionales tenían además una excelente formación en humanidades.

Tras sus estudios en Cambridge, finalizados en 1879, se trasladó a Alemania, para estudiar Físca y Metafísica en la Universidad de Heilderberg. Visitó también la Universidad de Berlín, donde estudió Leyes, Historia Medieval, Lieratura Alemana. De hecho, cuando volvió a Inglaterra, la Universidad de Cambridge le ofreció un puesto de profesor en Literatura Alemana. Una de sus obras es The New Werter, influenciado por la obra de Goethe. Además de todo esto, se dedicó a estudiar Derecho, aunque no ejerció nunca como abogado. En 1885, obtiene un puesto de catedrático de matemáticas en University College, donde se gana una fama de buen profesor aunque algo heterodoxo. Una de sus publicaciones de la época es la terminación de un libro de Clifford, The Common Sense of the Exact Sciences, y otro de Todhunter, History of the Theory of Elasticity.

A la vez, sigue interesado en la ética e historia del cristianismo. En 1885 fundó el Club de Hombres y Mujeres, un foro de debate, en el que conoce a la quería su esposa, Maria Sharpe, con la que tuvo tres hijos. María murió en 1928 y al año siguiente Karl se casó con una colega de la universidad, Margaret Child.

 

Distribución Chi cuadrado

Y es en 1890, con 33 años y sin haber nunca estudiado la estadística. Y este interés es debido a Francis Galton, quien publica su libro Natural Inheritance en 1889. A esto se le añade la llegada de un nuevo profesor a su universidad, Weldon, un zoólogo. Pearson, animado por Weldon, se interesa por las matemáticas que describen los procesos de la herencia y la evolución, y publica una serie de artículos sobre el análisis de regresión, coeficiente de correlación e introduce el test del chi-cuadrado.

En este video se puede ver precisamente una explicación de la distribución chi cuadrado:

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En la entrada sobre Galton, El matemático que quiso medir la inteligencia, contamos que la revista Biometrika fue fundada por Galton, Weldon y Pearson. La historia detrás de esta fundación merece conocerse. Pearson presentó un artículo la Royal Society, pero los biólogos de la Academia no gustaron mucho de su análisis matemático y lo rechazaron. Fue entonces cuando Weldon le sugirió crear su propia revista, y así nació Biometrika.

Karl Pearson en 1910

Galton le puso a cargo de su oficina para la eugenesia, y a ella unió su Laboratorio de Biométrica, así que formando así el Departamento de Estadística Aplicada de la University College. Su admiración por Galton hizo que a su muerte en 1911, Pearson se propuso hacer su biografía en forma de tres volúmenes publicados en 1914, 1924 y 1930, libros para cuya impresión Pearson tuvo que poner su propio dinero.  La eugenesia tuvo una fuerte implantación en los tiempos de Galton y Pearson, apoyada por muchos científicos e intelectuales, y que en gran medida asumió el nazismo. La idea de  la selección artificial de seres humanos hoy en día está abandonada. De hecho, muchas de las afirmaciones de Galton o Pearson sobre el tema causarían hoy en día un escándalo público.

Les dejamos con un breve video sobre Karl Pearson

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias).

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El matemático que quiso medir la inteligencia

Uno de los grandes nombres en la historia de la Estadística es Sir Francis Galton, nacido el 6 de febrero de 1822 en Sparkbrook (Birmingham), y fallecido el 17 de enero de 1911 en Haslemere, Surrey. Trazaremos en esta entrada una breve reseña de su vida y obra.

 

Francis Galton

La familia de los Galton eran cuáqueros, dedicados a la fabricación de armas y a la banca, emparentados con la familia de los Darwin, dedicados estos a la medicina y a la ciencia. Francis Galton fue un niño prodigio, que dominaba las lenguas clásicas y aritmética a los cinco años. Comenzó los estudios de medicina pero se cambió enseguida a los de matemáticas en el Trinity College, de la Universidad de Cambridge, desde 1840 hasta 1844. Aunque al finalizar quiso volver a la Medicina, la muerte de su padre que le legó una considerable fortuna, le llevó a no depender más de una profesión. Fue entonces cuando se desató su pasión viajera. Como viajero, Galton cosechó muchos éxitos, y fue premiado por la Royal Geographical Society y por la Sociedad Geográfica francesa por sus contribuciones cartográficas.

Su trayectoria vital presenta dos etapas bien diferenciadas. En la primera, estuvo entretenido en la exploración del continente africano, escribiendo sobre sus viajes, y dedicado a la geografía y la meteorología. Su segunda etapa comienza cuando lee la obra de su primo Charles Darwin, El Origen de las Especies. Impresionado por la teoría de la evolución, comienza a interesarse en los factores que determinan la inteligencia y la personalidad, que a su entender, deben tener una gran componente hereditaria. Y así se dedica al estudio de la antropometría, el papel de la psicología, promueve la eugenesia, y para hacer todo esto, funda lo que ahora se llama Biometría, e inventa dos de los instrumentos esenciales de la Estadística, la correlación y el análisis regresivo. Es esta segunda etapa la que lo consagró en el mundo de la ciencia, y especialmente, en el de la Estadística.

 

Diagrama de correlación de Galton, 1875

Galton estudiaba muchos aspectos de los seres humanos, desde las características mentales hasta las faciales y los dibujos de las huellas dactilares. Su pregunta era como intervenían la herencia y el ambiente en la formación de una persona. Esto le llevó a recolectar una enorme cantidad de datos que después debía tratar estadísticamente. Publicó sus hallazgos en el libro Hereditary Genius, en 1865, en el que defendía que el genio es fundamentalmente una cuestión de herencia.

 

Trabajando en varios experimentos con semillas de guisantes, Galton define lo que en principio llamó reversión, y luego regresión, aunque no llegaba a entender completamente las matemáticas encerradas en el concepto. En el siguiente video se explica la llamada regresión a la media.

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En 1884-85 se celebró en Londres la International Health Exhibition, y Galton diseñaltura, peso, medidas de personas: pletamente las matemen el que defendue le legregunta era como intervendad, que a su entender,ó un laboratorio para realizar medidas de personas: altura, peso, fuerza. Siguió haciendo progresos con la noción de regresión, y es cuando surge además la noción de correlación. Por cierto que este laboratorio continuó después el trabajo y se convirtió en el Laboratorio Biométrico de otro gran nombre de la Estadística, Karl Pearson en la University College.

Francis Galton y Karl Pearson

En 1889 Galton publicó otra obra, Natural inheritance, en la que trataba los conceptos de correlación y regresión.  Este libro tuvo una enorme influencia Karl Pearson, como él mismo confiesa.

Galton recibió muchos honores por todos estos trabajos, el más notable, su nombramiento de caballero en 1909. Recibió también la Medalla Real de la Royal Society, y la Medalal Darwin y la Medalla Copley de esta misma sociedad. Pero también la Medalla Huxley del Anthropological Institute y la Medalla Darwin-Wallace de la Linnean Society.

Uno de las herencias de Galton es Biometrika, revista de referencia en el mundo de la Estradística, fundada en 1901 por Francis Galton, Karl Pearson y Raphael Weldon para promover el estudio de la biométrica.

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias).

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Las matemáticas, las pruebas de acceso a la universidad y un falso debate

Un examen de Matemáticas en la Comunidad Valenciana en la llamada ahora Evaluación para el Acceso a la Universidad (EvAU) (antiguamente conocidas como Selectividad) ha servido de detonador de una protesta estudiantil por la aparente dificultad de la misma. Como me he visto implicado en este tema y la mejor manera de hacer llegar el mensaje que quería enviar es hacerlo por uno mismo, aquí van algunas reflexiones.

 

En este artículo en El País: La dificultad del examen de Matemáticas de Selectividad origina una queja masiva en Valencia se explica con detalle como ha ido creciendo la polémica. Y también en este otro en El diario.es: Este es el examen de Matemáticas II de la selectividad valenciana que ha desatado una ola de quejas por su dificultad. Un alumno, Rubén García Ferrer, a través de la plataforma Change.org, ha iniciado una campaña de recogida de firmas con este texto: “Buscamos soluciones ante el examen más difícil de matemáticas II de selectividad de la Comunidad Valenciana. Se trata del examen más difícil de todos los años. Exigimos una solución ya.”que lleva recogidas casi 42.000 firmas a la hora de publicar esta entrada en Matemáticas y sus fronteras.

Imágenes extraídas de eldiario.es

El pasado 5 de junio, contactaron conmigo desde El Español para conocer mi opinión, y al día siguiente, para mostrar la mayor o menor dificultad del citado examen, se acercaron al Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT) para ver sobre un encerado como se podían resolver los problemas planteados en l aprueba. El resultado fue un artículo que el medio tituló Así resuelve en 40 minutos el examen de Matemáticas de Selectividad un doctor del CSIC. Debo decir que los periodistas (todos) buscan titulares que enganchen a los lectores potenciales, y a veces se carga el mensaje en lo que pueda causar más impresión a primera vista. No puedo culparlos, porque el abc de la divulgación te dice que el título de una conferencia o de una entrad de un blog son cruciales para atraer la atención, y así lo suelo hacer en este mismo blog.

Que yo haga ese examen en 40 minutos, o que mi colega y admirado Miguel Ángel Morales, en su estupendo blog Gaussianos confiese hacerlo en 37 minutos (veáse Sobre la polémica por el examen de la PAU 2019 en la Comunidad Valenciana) no tiene la mayor importancia, porque no se trata de hacer ninguna competición matemática, es completamente irrelevante.

Pero sí es muy relevante que este hecho nos sirva para reflexionar si estas pruebas de acceso están funcionando como deberían, si están consiguiendo el objetivo que persiguen (si es que éste está bien definido, porque uno a veces lo tiene que poner en duda), o si es mejor que estas pruebas sean comunes a toda España o que cada Comunidad Autónoma haga las suyas, si los temarios se dan o no se dan al completo, o si estos temarios que se recogen en el BOE en el Real  Decreto  1105/2014,  de  26  de  diciembre,  por  el  que  se  establece  el  currículo básico de la Educación Secundaria Obligatoria y del Bachillerato  que consta de 378 páginas responde a las necesidades o a lo mejor nos bastaba con algo más sencillo y entendible por el ciudadano, … en fin, son muchas las cuestiones que deberíamos debatir más allá de la mayor o menor dificultad de un examen en concreto.

Porque los destinatarios de este examen no están buscando solo aprobarlo (de hecho, los porcentajes de aprobados en estas pruebas superan el 90%), sino conseguir la nota más alta posible, porque esta va a condicionar no si estudiarán o no una carrera universitaria, sino si podrán cursar la que a ellos les gustaría. Y esa es la causa de la protesta.

Desde ya, afirmo que soy partidario de una prueba única, diseñada por comités en los que haya una participación paritaria de profesores de universidad y profesores de secundaria, que se vigile (para eso deberían estar los inspectores) que se cumplan los temarios, que las calificaciones en los diferentes centros no estén sesgadas (de nuevo, la inspección), de manera que se pueda hablar de una prueba en la que todos compitan en pie de igualdad.

Leo con preocupación la opinión sobre el tema del recién elegido Presidente de la CRUE: “Es un tema que sale siempre en esta época. Son ganas de crear mayor crispación y nerviosismo a las familias. Sobre todo, cuando hablamos de carreras como Medicina, donde entrar o no es cuestión de décimas. Es meter ruido en el sistema.”

Espero que siga el debate, que no se quede esto en una mera anécdota, al menos esa era mi intención cuando acepté expresar mis opiniones.

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias).

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