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Archivo de noviembre, 2019

De cómo el demiurgo construyó el universo con triángulos

“Demos a la  tierra la figura cúbica. La tierra es, en efecto, el más noble de los cuatro cuerpos (elementales) y el más capaz de recibir una forma determinada;  y estas cualidades suponen en el cuerpo que las tiene, las bases más firmes. Ahora bien, entre  los triángulos, que desde el principio distinguimos, los  que tienen los lados iguales tienen una base naturalmente más firme que los que los tienen desiguales; y de las dos figuras planas que ellos forman, el tetrágono equilátero es una base más estable que el triángulo equilátero;  porque así en sus partes como en su totalidad, está más sólidamente  constituido. No nos separamos, pues, de lo probable al atribuir esta forma a la tierra.”

Platón: “Timeo”, 360 a.C.

 

Demiurgo es una palabra de origen griego (δημιουργός, dēmiourgós), el ‘creador’. La definición de la Real Academia Española contiene dos acepciones: 1. m. Fil. En la filosofía platónica, divinidad que crea y armoniza el universo; y 2. m. Fil. En la filosofía de los gnósticos, alma universal, principio activo del mundo. Pero en sus orígenes, demiurgo es el artesano, y es Platón quien, en el Timeo, usa filosóficamente este nombre para referirse al artesano que construye el universo. El demiurgo parte del caos y lo ordena para construir el mundo, como un artesano crea una vasija a partir de un montón de barro.

 

Una representación del demiurgo

El demiurgo construye una copia del mundo ideal, y esa copia está basada en los elementos esenciales: el fuego, la tierra, el agua y el aire. Y estos elementos están compuestos de otros, precisamente los triángulos. Y no cualesquiera triángulos: los rectángulos isósceles y los rectángulos escalenos donde la hipotenusa es el doble del cateto más pequeño. Es decir, una escuadra y un cartabón.

Al universo el demiurgo le da la forma más perfecta: “Así, pues, dio  al mundo la forma de esfera, y puso por todas partes los extremos a igual distancia del centro, prefiriendo así la más perfecta de las figuras y la más semejante a ella misma; porque pensab que lo semejante es infinitamente más bello que lo desemejante.” Pero la forma de los elementos, aunque variada, tiene que ser también hermosa. Por lo tanto, usará los sólidos platónicos o pitagóricos. Así, a la tierra le corresponde la forma del cubo, y los lados de un cubo son cuadrados que se pueden formar uniendo dos triángulos rectángulos equiláteros.

De la misma manera, el fuego asume la forma del tetraedro, el agua el icosaedro, y el aire lo conformará el octaedro. Estos tres sólidos tienen como caras triángulos equiláteros, pero un triángulo equilátero se obtiene uniendo dos rectángulos escalenos con ángulos de 30º y 60º  (cartabones).

Se cree que fue Empédocles (480 –430 a.C.) quien por primera  vez asoció el cubo, el tetraedro, el icosaedro y el octaedro a la tierra, el fuego, el  agua  y  el  aire,  respectivamente. Y Platón lo recogió más tarde en el Timeo. Además, incluyó el dodecaedro, que formaba la sustancia de la que estaban hechas las estrellas y el firmamento, que debería ser ajena a las que confortmaban la Tierra. Así, el dodecaedro era la quintaesencia, el éter.

Los griegos estudiaron los sólidos platónicos y algunas fuentes sugieren que Pitágoras fue su descubridor. Se supone que solo conocía el tetraedro, el cubo y el dodecaedro, y fue más tarde Teeteto, contemporáneo de Platón, quién descubrió el octaedro y el icosaedro y dio una descripción matemática y la primera prueba de la no existencia de otros polígonos convexos regulares. Como sabemos, esta priueba descansa en la llamada fórmula de Euler que relaciona el número de caras (C), aristas (A) y vértices (V):

C + V = A + 2

Siglos más tarde, en su obra, Mysterium Cosmographicum, publicada en 1596, Johannes Kepler propuso su modelo de Sistema Solar basado en los cinco sólidos platónicos. Se incluían unos en otros separados por esferas. Eran seis esferas que se correspondían a los seis planetas conocidos en ese momento: Mercurio, Venus, Tierra, Marte, Júpiter y Saturno. Este modelo estaba inspirado en las ideas platónicas.

 

Terminamos con la conocida cita de Galileo Galilei sobre el lenguaje del universo, que confirma el buen trabajo de nuestro demiurgo matemático.

“La filosofía está escrita en este vasto libro que continuamente se ofrece a nuestros ojos (me refiero al universo), el cual, sin embargo, no se puede entender si no se ha aprendido a comprender su lengua y a conocer el alfabeto en que está escrito. Y está escrito en el lenguaje de las matemáticas, siendo sus caracteres triángulos, círculos y otras figuras geométricas, sin las cuales es imposible entender una sola palabra; sin ellos sólo se conseguiría vagar por oscuros laberintos.”

Il Saggiatori, VI, 232, año 1623

NB. Agradezco a mi colega José Ignacio Extremiana (Universidad de La Rioja) por llamar mi atención al diálogo de Platón y la intervención del demiurgo.

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, Real Academia Galega de Ciencias).


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Una mirada distinta de las matrices

Miradas Matemáticas, el proyecto que surgió de la colaboración entre el Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT), la Federación Española de Profesores de Matemáticas (FESPM) y la editorial Catarata, se va afianzando, y es un orgullo para todos nosotros presentar su décima entrega, este estupendo libro de Mireia López Beltrán y Pura Fornals Sánchez, “Una mirada distinta de las matrices”.

 

“Una mirada distinta de las matrices”, que lleva como subtítulo, “Viajes, retos y magia”, es un recorrido por una de las nocienes más relevnates en el mundo de las matemáticas, las matrices. Una matriz es una ordenación de números o letras dispuestos en foilas y columnas. Aunque las matrices surgieron conceptualmente más tarde que los determinantes, con los que están emparentadas de manera indisoluble, su interés no se queda solo en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales que aprendimos en la escuela secundaria.

Así, el libro se divide en cinco capítulos. El primero comienza con la teoría de grafos y como las matrices ayudan a su comprensión, y llega a las aplicaciones a la World Wide Web y la ordenación de páginas web de buscadores como Google y su PageRank. Se cuenta en el segundo capítulo el uso de las matrices en el tratamiento de imágenes y las aplicaciones en criptografía. El capítulo 4 se dedica a cuestiones más lúdicas como la construcción de cuadrados latinos, pero también al uso de los mismos en el diseño de experimentos. Finalmente, en el capítulo 5 nos reencontramos con los determinantes y las soluciones de los sitemas de ecuaciones.

Como en todos los libros se la colección, se incluyen reseñas sobre los diferentes personajes que han contribuido a desarrollar la teoría de matrices, y que ayudan a colocar el correspondiente contexto histórico. Además, se insertan en cada capítulo una serie de ejercicios, de manera que la lectura sea no solo amena sino interactiva.

 

Sobre las autoras

Mireia López Beltrán

Es licenciada en Matemáticas por la Universitat de Barcelona (UB) y doctora en Didáctica de las Matemáticas por la Universitat Autònoma de Barcelona (UAB). Profesora de educación secundaria, trabaja en el Instituto de Ciencias de la Educación de la Universitat Politècnica de Catalunya (UPC). Es autora de diferentes artículos en didáctica de las matemáticas y coordinadora del proyecto Estalmat-Catalunya.

Mireia López Beltrán

 

Pura Fornals Sánchez

Es Catedrática de educación secundaria. Licenciada en Matemáticas por la Universitat de Barcelona (UB), da clases en el instituto Francesc Macià de Cornellá de Llobregat. Presidenta del MMACA (Museu de Matemàtiques de Catalunya) y profesora del proyecto Estalmat-Catalunya y Anem x + Matemàtiques. Es autora de diferentes artículos y publicaciones y formadora de profesorado sobre el uso de materiales manipulativos en el aula.

Pura Fornals Sánchez

Finalmente, incluimos la página web de la colección https://www.catarata.org/libro/una-mirada-distinta-de-las-matrices_99964/ en donde los interesados encontrarán detalles para poder adquirir no solo este libro sino también los otros 9 de la colección.

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias).

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La masacre de Concordia

Este título es el que usaron los medios de comunicación canadienses para calificar los hechos que hoy vamos a recordar en Matemáticas y sus fronteras, pero también podríamos haber dicho que es la consecuencia de las malas prácticas académicas y el abuso de poder.

 

Valery Fabrikant

El 24 de agosto de 1992, un hombre armado abrió fuego en el noveno piso del Edificio Henry F. Hall ocasionando la muerte de cuatro profesores así como heridas a una secretaria. Este hombre era el profesor de Ingeniería Mecánica, Valery Fabrikant, que fue arrestado y sometido a juicio y condenado. Pero, ¿cuáles fueron las causas que lo llevaron a tomar esta tremenda e injustificable acción?

Digamos en primer lugar que Valery Fabrikant era un emigrado de la entonces Unión Soviética, un brillante ingeniero que había tenido muchas dificultades en su país por sus ideas poco ortodoxas con el régimen. Tras una larga historia de desencuentros con las autoridades soviéticas, tomó la decisión de emigrar a Canadá en 1979. También se ha dicho que su trayectoria problemática en la URSS era causada por su carácter, arrogante e intolerante. Fabrikant fue investigado por la KGB y debido quizás a su brillantez intelectual, se le permitió continuar trabajando en diferentes empleos a pesar de sus ideas.

Universidad de Concordia

Fabrikant recibía en Concordia un trato desigual. Su salario era más bajo, y sus solicitudes de empleo fijo (el “tenure”) fueron desatendidas. Las promesas de sus colegas no se cumplían, mientras que algunos firmaban sus investigaciones y recibían méritos por el trabajo que era fundamentalmente debido a Fabrikant. Una prueba de esto es que el Natural Sciences and Engineering Research Council (NSERC) de Canadá congeló los proyectos de investigación de los tres investigadores a los que había acusado Fabrikant; dos de ellos recibieron una suspensión temporal.

 

Fabrikant fue sentenciado a cadena perpetua, condena que cumple en al Archambault Institution in Sainte-Anne-des-Plaines, en Quebec. A sus 79 años, Fabrikant sigue trabajando, y en la afiliación de sus artículos de investigación se encuentra esta:

Prisoner #167932D, Archambault Jail Ste-Anne-des-Plaines, Canada.

Fabrikant trabaja en la teoría de la elasticidad, un campo entre la matemática aplicada y la ingeniería, y su perfil en Google Scholar da cuenta de sus resultados. Su carácter difícil convirtió su juicio en un auténtico circo: despidió a diez abogados, se defendió finalmente a sí mismo, insultó a expertos y jueces. Una vez en prisión, continuó con sus protestas, llegando a ser declarado un querulante (“vexatious litigant”) por la Corte Federal de Apelaciones, lo que limita sus posibles demandas judiciales. También se le denegaron las salidas temporales, ni siquiera acompañado.

Fabrikant, en 1992 en el tribunal

La masacre de Concordia llevó a que la universidad creara dos comités para estudiar los hechos acaecidos. La primera investigación fue coordinada por John Scott Cowan (Universidad de Ottawa), y el informe es conocido como “Lessons from the Fabrikant Files”, y también como “Informe Cowan”. El segundo lo dirigió Harry A. Arthurs (Universidad de York), y el informe se conoce como “ Integrity In Scholarship” y tambien el “Arthurs Report”.

El objetivo de ambos informes era estudiar los hechos, revisando el historial académico de Fabrikant, y analizando las acusaciones que este había hecho de sus colegas. Una consecuencia de este asunto fue el análisis de las políticas internas y los procedimientos relacionados con la ética de la investigación, y la consiguiente puesta en marcha de iniciativas para mejorar estos temas. También la Universidad de Concordia se unió a la lucha por el control de armas en los ámbitos universitarios.

La historia de Fabrikant arroja una leción sobre la ética académica que debe imperar en cualquier centro de investigación. Las autoridades académicas deben estar atentas a que un problema naciente no se convierta en un auténtico infierno para un individuo y todo el entorno. Las universidades y OPIS suelen tener Códigos de Ética y Comités de Ética que velan por el cumplimiento de esos códigos. Prestemos la atención debida para no tener que lamentar después males mayores, como ocurrió con el caso de Valery Fabrikant.

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias).

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Y me llevo una

Tengo un maravilloso libro en mis manos, y lo es por dos razones: una edición como hacía tiempo no veía en un libro de matemáticas, y un contenido extraordinario escrito no sólo bien, sino con un amor por las matemáticas y la educación ejemplares.

El libro se titula “Y me llevo una”, y su autor es un matemático bien conocido en los ámbitos de la divulgación, Joseángel Murcia, que muchos conocerán por su alias en redes sociales “Tocamates”. Joseángel es licenciado en Matemáticas por la Universidad de Murcia, profesor asociado en la Facultad de Educación de la Universidad Complutense de Madrid, formador de maestros y asesor del método Smartick. Una persona dedicada a las matemáticas y a su enseñanza.

 

Joseángel Murcia

Según cuenta él mismo, el nacimiento de sus hijas le hizo preguntarse acerca de cómo aprenden los niños y por qué lo que en inicio es juego, vivencia y pasión acaba siendo rechazado por muchos. Esta inquietud impregna todas las páginas de este libro. Joseángel se ha hecho famoso por su blog Tocamates, desde donde propone problemas de matemáticas. Es un asiduo colaborador en periódicos y radio.

 

El libro comienza con un prólogo dedicado a la raíz cuadrada y termina con un epílogo sobre el logaritmo del producto (fórmula sobre la que cuenta una divertida anécdota de su época escolar). Entre medias, ocho capítulos en los que trata de los problemas de trenes y de como las soluciones no son siempre únicas, de las operaciones, números primos, el infinito, en fin, un recorrido por las matemáticas contado de una manera amena y divertida; un libro de los que se leen casi solos, en el que te deslizas por las páginas casi sin darte cuenta.

 

Cristina Daura

Pero además este libro está ilustrado por una de las mejores ilustradoras actuales, Cristina Daura. He aquí una breve biografía tal cual se reproduce en el propio libro: “Después de estudiar Ilustración en La Massana, complementa  sus  estudios  en  el  Maryland  Institute  College  of  Art  (Baltimore).  Un  día  decide  concentrarse  en  lo  que  en  el  fondo  le  hacía  ilusión:  dibujar  cómics  e  ilustrar  a  su  estilo.  Actualmente  trabaja  para  prensa  de  todo  el  mundo, grupos de música, libros y algunas cosas más. Se ha dicho que sus ilustraciones juegan entre una estética «infantil»  y  con  la  perversidad  de  alguien  que  no  acaba de estar bien de la cabeza. El cómic y el arte fauvista podrían ser sus mayores influencias. Eso y mucha televisión. Considera estar feliz, pero de vez en cuando vuelve a caer en una espiral de autoflagelación”.

Solo diré que la imagen que ilustra la historia de los puentes de Königsberg con ese Euler “cíclope” me ha conquistado para siempre.

En resumen, agradecer a Nórdica Libros y Capitán Swing por esta excelente edición, y al tándem Joseángel Murcia y Cristina Daura su coordinación. Estamos ante un libro al que le auguro un largo recorrido, y que muestra que las matemáticas han entrado en el mercado editorial por la puerta grande.

Aquí os dejo al autor en un charla TED con un título sugerente: “Me gustan los problemas”

Imagen de previsualización de YouTube

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias).

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Los marcianos húngaros

Hubo un grupo de matemáticos y físicos que emigraron en la primera mitad del siglo XX de Hungría a los Estados Unidos, y que fueron conocidos como “Los marcianos”. Vamos a recordar en esta entrada su historia.

Leo Szilard

¿De dónde viene ese nombre? El culpable es Leó Szilárd, el físico que concibió la reacción nuclear en cadena, y quién escribió la famosa carta  (también firmada por Albert Einstein) dirigida al presidente de los Estados Unidos Franklin D. Roosevelt en agosto de 1939, que desembocó en el desarrollo del Programa Manhattan. Szilárd bromeaba diciendo que los húngaros eran como marcianos. A la pregunta de que no había evidencias de vida alienígena (la famosa paradoja de Enrico Fermi, si hay tantos posibles mundos en el universo, ¿dónde están sus habitantes?) contestó que ya estaban entre nosotros, pero que se llamaban a sí mismos, húngaros.

La lista del grupo era la siguiente (aunque se podría a ampliar con unos cuantos nombres más): Paul Erdős, Paul Halmos, Theodore von Kármán, John G. Kemeny, John von Neumann, George Pólya, Leó Szilárd, Edward Teller y Eugene Wigner, una colección de auténticos genios. Su manera de hablar inglés, con un marcado acento húngaro, su ininteligible idioma natal, y su increíble valía intelectual, hizo que el nombre cuajara. Se decían descendientes de una avanzada marciana que aterrizó en Budapest en 1900.

Estos “marcianos” emigraron de Hungría, unos antes de la Segunda Guerra Mundial y otros después, buscando mejores condiciones de vida, unos huyendo de los nazis alemanes y otros de los comunistas soviéticos. El gran beneficiado de esta emigración fue sin duda alguna Estados Unidos, que consiguió hacerse con científicos de talla extraordinaria, que no solo conocían una disciplina, sinoq ue transitaban entre varias con una creatividad vista pocas veces.

Theodore von Kármán y John von Neumann

En el libro The Martians of Science, István Hargittai, cuenta la histpria colectiva de cinco de ellos: Theodore von Kármán, John von Neumann, Leó Szilárd, Edward Teller y Eugene Wigner. Los cinco eran de Budapest, de familias judías de clase media-alta, educados en escuelas excelentes, asistieron a universiades de corte técnico, completaron sus estudios en Alemania, y emigraron a Estados Unidos. En cuanto a sus edades: el mayor era Von Kármán (1881); después. Szilárd nacido en 1898, Wigner en 1902, von Neumann en 1903 y Teller en 1908.

A principios de los años 1930, visto el antisemitismo nacido tras la Primera Guerra Mundial, decidieron emigrar. No es de extrañar que luego tuvieran un papel destacado en la Segunda Guerra Mundial y en la guerra fría.

Para cerrar este primer capítulo marciano, digamos que varios de ellos dieron nombre a cráteres lunares: Szilard, Von Neumann y Von Kármán, y este último tiene también su cráter marciano.

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias).

 

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