web analytics

Archivo de septiembre, 2020

Dostoievsky y Einstein: la historia que no ocurrió pero que hubiéramos deseado que pasara

En la entrada “Fiódor M. Dostoievski y las geometrías del mal” en Matemáticas y sus fronteras, comentamos como el autor de Los hermanos Karamazov había incluido en su obra varios pasajes sobre las geometrías no euclidianas. La novela se publicó en 1880 y Dostoievski, siempre al tanto de la actualidad, era conocedor de los resultados de Bolyai y Lobachevsky, obtenidos varias décadas antes.

Fiodor M. Dostoievski

 

Albert Einstein, cuya teoría de la Relatividad (la especial en su año mágico, 1905, y la general en 1915), consideraba que esta novela había supuesto una de las influencias más importantes en su pensamiento. Esto decía el sabio alemán: “Aprendí más de Dostoievski que de cualquier otro pensador científico, incluso más que de Gauss” , según el testimonio de su amigo Alexander Moszkowski.

Esta cita ha provocado muchísimas conjeturas sobre su significado. No es para menos, comparar al escritor ruso con el Príncipe de las matemáticas (quién posiblemente conociera la existencia de las geometrías no euclidianas, aunque no lo manifestó para no incomodar a su amigo Farkos Bolyai, padre de Janos Bolyai).

Einstein nació en 1879, y Dostoyevsky escribió esta obra en 1880, unos meses antes de su muerte, y cuando Einstein tenia un año de edad. Además, según las cartas de Einstein al toxicólogo suizo Heinrich Zangger y al físico austríaco Paul Ehrenfest, se sabe que leyó la novela en 1920.

Aparte de algunos intentos atribuidos a Riemann y al celebrado libro de Hertz, había ya físicos anteriores a Eisntein que suponían que las geometrías no euclidianas tenían un significado físico. Y leyendo el pasaje de Dostoyevsky en su totalidad, queda claro que lo que él quería decir es que nuestro cerebro está armado de tal manera que, aun cuando la realidad física fuera no euclidiana, nuestra capacidad de razonamiento lo es. Esto está de acuerdo con la visión de Kant. O sea, el espacio-tiempo Aristotélico (ni siquiera el Newtoniano) es lo que viene ya de fábrica en nuestro cerebro. En otras palabras, si Einstein quisiera acercarse a una chica en un bar para ofrecerle una copa, su razonamiento incluiría solamente los conceptos clásicos de “abajo-arriba”, “adelante-atrás”, “la recta como camino más corto”, “el tiempo absoluto”, y demás. Lo que Dostoyevsky dice es que la capacidad del hombre para entender a Dios (o, como él dice, para crearlo) tiene sus límites, y esos límites incluyen la geometría euclidiana.

Einstein, Habicht y Solovine

Por lo tanto, deberíamos tomarnos muy en serio la cita de Einstein, o sea, puede que ese pequeño párrafo de Los Hermanos Karamazov haya tenido eco en la mente de Einstein, que podría haber sido debatido en la Academia Olympia, club de debate fundado por Einstein, Conrad Habicht y  Maurice Solovine en 1902, y que se reunía muchas veces en su propio apartamento (mucho antes de 1920). No olvidemos que Einstein era un gran lector, y que una de las obras que se leyeron en la Academia Olympia fue El Quijote. Y sucede muchas veces que una palabrita dicha al azar por cualquier persona nos haga ver todo un mundo nuevo, o nos haga abandonar nuestras creencias. O sea, podía haber sido posible que Einstein hubiera tomado esa frase pasajera como una revelación vital, mucho más importante (como se dice que Einstein dijo) que toda la obra matemática de Gauss.

Las evidencias no avalan esta tesis, pero que hermosa hubiera sido esta historia.

__________

Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, Real Academia Galega de Ciencias) y Marcelo Epstein (Universidad de Calgary, Canadá).

Etiquetas:
Categorias: General

Aniara

“Y mientras allí estaba conmovido, yerto de miedo y lleno de inquietud por su estado, el fonóglobo de la mima empezó de pronto a hablarme en el dialecto de la teoría tensorial superior avanzada que usamos la mima y yo en lo cotidiano.”

Aniara, Harry Martinson

Reseñamos hoy un libro muy especial “Aniara”, de Harry Martinson, un poema épico sobre el destino de la humanidad, una obra que a veces se califica de ciencia-ficción, aunque es un poema conmovedor, una de las obras más singulares y emocionantes del siglo XX.

 

 

Las influencias científicas en el poema de Martinson impregnan toda la obra. Por ejemplo, el espacio curvado por la materia de la teoría general de la relatividad de Albert Einstein inspira su imagen como “un tazón de cristal”,  y el mismo autor confesó la influencia de otro físico notable como Paul Dirac.

Estamos hablando de probablemente la obra cumbre de un poeta que no es un cualquiera. Puede que no sea tan conocido en España, pero Martinson recibió el Premio Nobel de Literatura en 1974. Un Nobel controvertido, porque él era miembro de la Academia Sueca, el primer académico procedente del mundo del proletariado, tal y como le solían calificar.

 

Harry Martinson

Martinson tenía otra influencia además de la ciencia, el mar. Durante su atribulada vida: huérfano de padre a los seis años, en una familia de siete hermanos, abandonados por su padre, pasó a ser adptado por varias familias campesinas que lo obligaron a trabajar duramente aparte de maltratarlo. No es de extrañar que a los dieciséis años se enrolara como navegante durante seis años sucesivamente en diecinueve barcos. De la ciencia y su experiencia marinera, surge Aniara, una navegación por el espacio exterior durante quince mil años.

Con su familia

Al leer Aniara he vislumbrado muchos contenidos matemáticos y reproduciré algunos de ellos. El principal problema para reconocerlos es que Martinson ha creado una rima interna que no puede traducirse a otros oidiomas, a la vez que ha inventado un gran cantidad de neologismos. Así que la traducción del original sueco, versificado en pentámetros yámbicos, a los que se añaden pentasílabos, endecasílabos, alejandrinos, siempre en forma consonante. La traductora ha optado finalmente por una versión en prosa, que así y todo, conserva un ritmo espectacular.

El argumento es conocido en las novelas de ciencia-ficción: Aniara es el nombre de la nave espacial (la golgondra) cuya misión es transportar a Marte a los últimos supervivientes de una Tierra devastada por una explosión nuclear. Después de una colisión con un asteroide, la nave se sale del sistema solar y queda eternamente perdida en el espacio sin fin. La nave está regida por la Mima (¿una inteligencia artificial?) que muere durante el viaje. El narrador, el Homero espacial, va contando todo lo que va sucediendo hasta el verso final.

 

Dibujo de Harry Martinson

 

Creo que Aniara merece que algunos matemáticos suecos lo leyeran y buscaran las matemáticas que contienen, que en la traducción apenas se intuyen. Aquí van unos fragmentos:

Se agazapaban allí técnicos de todos los ramos que representaban la cuarta teoría tensorial, en tanto que los que mancillan el pensamiento puro se cubrían de gloria.

Sin embargo, como también para nosotros eran ajenos los tonos de aquella lengua tan alejada del país de las fórmulas, muy poco comprendíamos de las lecciones con las que quisimos tenderles una mano.”

Poema 31

 

“Pero aquí, fatalmente sujetos como estábamos al curso impuesto por la ley de la hipérbola, no podía desembocar su descubrimiento en nada fructífero, solo en un teorema que Isagel formuló con brillantez, pero que estaba condenado a venir con nosotros lejos, cada vez más lejos, hacia Lira, hasta desaparecer.”

Poema 39

 

“Un filósofo de la teoría numérica de conjuntos, y místico de la escuela alefnumérica, suele presentarse en la central Gopta con un cuestionario cumplimentado, se inclina discretamente ante Isagel, la lúcida, y se adentra luego en silencio en Aniara.

Isagel, que ve apropiada las cuestiones, coge el puñado de fórmulas y las codifica para la tercera posición racional de la mesa goptiana.

Y, transformado ya el grupo de fórmulas y una vez gopteada cuidadosamente la clase tensorial, las trasvasa al carro goptiano, antes de enjaezar a Robert, el ayudante espacial, el fiel rocín de nuestra liga de cerebros, para el arrastre de la carga de conjuntos numéricos.

Cuando el filósofo de conjuntos numéricos vuelve, Isagel le dice la verdad: que, a pesar de los muchos afanes de Robert, no hay gopta capaz de dar respuestas.

Y el señor Conjunto Numérico (así lo llamamos) , se inclina triste, humilde y silencioso y se aleja discretamente por las galerías de Aniara.”

Poema 47

 

En 2018 Aniara fue llevada al cine, con división de opiniones. Aquí pueden ver el trailer

 

Imagen de previsualización de YouTube

También se transformó en una ópera estrenada el 31 de mayo de 1959 en Estocolmo.

El libro está publicado en 2015 por Gallonero en una cuidada edición que inclye un mapa indicando el trayecto de la nave.

___________

Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, Real Academia Galega de Ciencias).

Etiquetas: ,
Categorias: General

El medallista Fields que amaba el rugby

Cuando Vaughan Jones tenía 5 años, hizo su primer descubrimiento matemático: “Estaba aprendiendo la tabla de la suma y me di cuenta de que si uno más uno es igual a dos, entonces 100 más 100 debe ser igual a 200 – algo que la gente desde entonces me ha dicho que era un paso no trivial para un niño de 5 años”.

 

Nos enteramos con tristeza del fallecimiento de Sir Vaughan Frederick Randal Jones, uno de los matemáticos más brillantes de nuestros tiempos, ganador de la medalla Fields de 1990 por sus sensacionales descubrimientos en álgebras de von Neumann y teoría de nudos. Esta entrada está dedicada a honrrar su memoria.

 

Vaughan Jones

Vaughan Jones nació en Gisborne, Nueva Zelanda, el 31 de diciembre de 1952. Su infancia y juventud transcurrieron en su país natal. Tras cursar sus estudios en la Universidad de Auckland, se trasladó a Ginebra con una beca suiza, donde realizó su tesis doctoral, defendida en 1979, bajo la dirección de uno de los grandes matemáticos suizos, André Haefliger. Su tesis fue galardonada con el Premio Vacheron Constantin. En 1980 se trasladó a la Universidad de California en Los Ángeles, y después en la Universidad de Pennsylvania. En 1985 fue nombrado profesor de nuevo en la Universidad de California, esta vez en Berkeley.

En su laudatio en el ICM de Kyoto, Joan Birman dijo que:

En 1984 Jones descubrió una sorprendente relación entre las álgebras de von Neumann y la topología geométrica. Como resultado, encontró un nuevo polinomio invariante para nudos y enlaces en el espacio tridimensional. Su invariante había pasado completamente desapercibido para los topólogosfa, a pesar de la intensa actividad en áreas estrechamente relacionadas durante los 60 años anteriores, y fue una completa sorpresa…

Sobre su manera de trabajar, Birman añadió:

Su forma de trabajar es informal, animando al intercambio libre y abierto de ideas. En los últimos años, Jones escribió cartas a varios matemáticos describiendo sus trabajos, pero no se sentía todavía preparado para enviarlos a publicar a una revista.

Esto no es habitual en un científico, siempre preocupados por la prioridad en los descubrimientos.

El trabajo de Jones es realmente espectacular. Su motivación era el deseo de entender la estructura matemática de dimensión infinita de la Mecánica Cuántica, así que estudió la estructura de las álgebras de operadores introducidas por John von Neumann, que en ese tiempo estaba dando resultados muy notables bajo la batuta de Alain Connes. Jones construyó un índice que comparaba una álgebra y una subálgebra, índice finito, probablemente la primera cantidad finita que comparaba dos cantidadess infinitos. Ese “índice de Jones” provocó una auténtica revolución en el campo de la teoría de operadores. Jones, además, partiendo de este descubrimiento, fue capaz de asociar un polinomio a un nudo (llamado ahora polinomio de Jones), que servía para distinguir entre nudos, uno de los problemas más relevantes en teoría de nudos. Estos resultados tuvieron también una gran influencia en la Teoría Cuántica de Campos.

Jones desarrolló a lo largo de su vida una serie de servicios a la comunidad como la Vicepresidencia de la Unión Matemática Internacional (2014-2017), o su participación en el Comité de Programa del ICM de Madrid en 2006 (donde tuve ocasión de conocerle). Además de la medalla Fields, ha recibido muchos reconocimientos: académico de la Royal  Society, de la Academia de Ciencias de EE.UU, de la American Mathematical Society, entre muchos otros. Sus dos grandes pasiones, además de las matemáticas, fueron el windsurf y el kiteboarding.

Tras su fallecimiento eeste 8 de septiembre, su escuela de Nueva Zelanda, la Auckland Grammar School en la que estudió desde 1966 a 1969, decidió que su bandera ondeara a media asta para honrar al que ha sido el matemático más brillante de la historia de Nueva Zelanda.

Vaughan Jones causó sensación en el Congreso Internacional de Matemáticos de 1990 en Kyoto, al presentarse para su conferencia plenaria como medallista Fields con su camiseta de los All Blacks de Nueva Zelanda. En el ICM de 2018 en Río de Janeiro, los organizadores hicieron circular este montaje que recordaba el hecho así como su trabajo.

 

Les dejamos con una entrevista con Vaughan Jones

Imagen de previsualización de YouTube

___________

Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, Real Academia Galega de Ciencias).

Etiquetas: , , , ,
Categorias: General

El último secreto del dodecaedro

He leído en Quanta Magazine, esa espectacular revista digital de matemáticas (pero también con contenidos de Física, Biología y Ciencias de la Computación) un artículo que me ha llamado la atención y cuyo contenido me gustaría compartir con los lectores de Matemáticas y sus fronteras. La lectura del mismo me ha llevado, como ocurre siempre en estos casos, a investigar los resultados que allí se reflejan.

Dodecaedro

El artículo de Quanta Magazine se titula Mathematicians Report New Discovery About the Dodecahedron, y lo firma Erica Klarreich. Recoge, de una manera sensacional, los resultados de estos dos artículos A Trajectory from a Vertex to Itself on the Dodecahedron de los matemáticos, Jayadev S. Athreya y David Aulicino, y este otro, Platonic solids and high genus covers of lattice surfaces, de Jayadev S. Athreya, David Aulicino y W. Patrick Hooper. Athreya es profesor en la Universidad de Washington, Aulicino trabaja en el Brooklyn College, y Hooper en el City College de Nueva York.

Jayadev S. Athreya

David Aulicino

Pat Hooper

 

El resultado que han obtenido ha sorprendido al colectivo matemático, ya que pocas novedades desconocidas se podían esperar de los dodecaedros.

Los cinco sólidos platónicos

Como sabemos, se pueden construir polígonos planos regulares de cualquier número d elados, no hay ninguna limitación. Pero no es así cuando nos pasamos al mundo tridimensional. Solo se pueden construir cinco poliedros con caras iguales y que sean polígonos regulares: tetraedro ( 4 triángulos equiláteros), cubo o hexaedro (6 cuadrados), octaedreo (8 triángulos equiláteros), dodecaedro (12 pentágonos regulares) y el icosaedro (20 triángulos equiláteros). La razón está en la fórmula de Euler C+V = A+2 (el número de caras más el número de vértices debe ser dos unidades mayor que el número de aristas).

Esta sorprendente realidad ha dado lugar a que estos sólidos, llamados a veces platónicos, sean objeto de supuestas propiedades mágicas o esenciales, como hemos ya comentado en otras entradas de este blog (veáse por ejemplo De cómo el demiurgo construyó el universo con triángulos).

Jayadev S. Athreya, David Aulicino y W. Patrick Hooper se han estudiado el siguiente problema sobre los sólidos platónicos:

Partiendo de un vértice en uno de ellos, ¿se puede trazar una trayetoria recta de manera que se vuelva al vértice de partida sin pasar por ninguno de los otros vértices?

Lo primero a dilucidar es lo que se entiende por una línea recta, y es esto: Una trayectoria en línea recta en la superficie de un poliedro es una línea recta dentro de una cara que se extiende únicamente sobre un borde de modo que cuando las caras adyacentes se aplanan la trayectoria forma una línea recta en el plano.

La respuesta es negativa (así se consideraba al menos) en todos los casos excepto en el dodecaedro, que hasta ahora era desconocido. La demostración ha requerido el uso de modernas técnicas geométricas así como de computación. Primero, Athreya y Aulicino, en su paper publicado en The Amer. Math. Monthly, probaron la existencia de un tal camino, y después con Hooper, elaboraron una teoría completa.

La idea fue considerar los desplegables o desarrollos de los sólidos platónicos. Como vemos en estas figuras,

 

se convierten en una red o grafo plano a partir del cuál, usando las identificaciones adecuadas, se reconstruyen los sólidos. Es algo que los estudiantes trabajan en las escuelas. Estos retículos poseen cada uno de ellos unas curvas de Teichmüller cuyas topologías calcularon. La curva de Teichmüller del dodecaedro desplegado tiene el género 131 con 19 singularidades cónicas y 362 cúspides. Esto les permite obtener que hay 31 maneras diferentes de conectar vértices por trayectorias rectilíneas (en realidad, geodésicas).

En este video, Jayadev S. Athreya explica sus resultados de una manera muy clara, lo recomiendo encarecidamente

Imagen de previsualización de YouTube

En esta página web creada por David Aulicino, puede usted visualizar todas esas trayectorias de las que hablamos

___________

Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, Real Academia Galega de Ciencias).

Etiquetas: ,
Categorias: General