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Archivo de febrero, 2021

Flaubert y las matemáticas que secan el corazón

Mathématiques: Dessèchent le coeur.

Gustave Flaubert: Dictionnaire des idées reçues (1913)

Gustave Flaubert es un clásico, sin ninguna duda, pero lo que no conoce todo el mundo es que tenía una cierta curiosidad por las matemáticas. Me ha tocado leer recientemente en mi club de lectura El loro de Flaubert, una auténtica obra maestra de Julian Barnes, e investigando un poquito encontré la frase que inicia esta entrada del blog. Pero, ¿por qué este sentimiento sobre las matemáticas?

 

Gustave Flaubert

En una carta que Gustave Flaubert escribe a su hermana Caroline el 16 de mayo de 1841, le plantea un problema matemático:

“Ya que estás estudiando geometría y trigonometría, te voy a plantear un problema: Un barco está en el mar, salió de Boston cargado de algodón, tiene 200 toneladas. Está navegando hacia Le Havre, el mástil principal está roto, hay espuma en el castillo de proa, hay doce pasajeros, el viento sopla del N.S.E., el reloj marca las 3 de la tarde, es Mayo, …. ¿Cuál es la edad del capitán?”

Existe una versión más simple del problema de Flaubert:

“Un capitán posee 26 ovejas y 10 cabras. ¿Qué edad tiene el capitán?”

Las respuestas a este problema han sido de todo tipo, algunas muy ingeniosas tratando de ver la calificación que podría tener el capitán para llevar una carga como esa y de ahí deducir la edad mínima para que tuviese ese permiso. En fin, sabemos que el problema no tiene solución, porque a pesar de dar muchísimos datos, nada está relacionado con la edad del capitán. Esto queda muy claro en la carta original de Flaubert.

No cabe duda que Flaubert tenía sentido del humor. Pero volvamos a la frase inicial y a ese concepto de las matemáticas como una disciplina que “seca el corazón”. Esa frase aparece en el Diccionario de ideas recibidas,  que podría haber sido un apéndice en su obra inconclusa Bouvard et Pecuchet. ¿Era esa la idea que tenía Fluabert sobre las matemáticas?

Bouvard et Pécuchet, por Bernard Naudin, 1923.

Por otra parte, en Bouvard et Pecuchet, Raymond Quenau es el primero en señalar la ausencia de las matemáticas, el único saber ausente. Quenau dice:

“Es curioso constatar que, entre las ciencias que Bouvard y Pécuchet se comprometen a estudiar, las matemáticas son casi las únicas que no aparecen.  Sin embargo, podemos verlos intentando demostrar el teorema de Fermat, asombrados por la afirmación de que la recta es una curva y finalmente escandalizados por la distribución de los números primos.”

Digamos que Flaubert no la stenía en mala consideración si nos atenemos a la definición de Mecánica: Partie inférieure des mathématiques.

En el interesante artículo Le bourdon mathématique de Flaubert , de Francisco González Fernández, se puede encontrar un detallado análisis de lo que Flaubert pensaba de las matemáticas. Parece que no eran materia de su gusto, y así le escribe a su amigo Ernest Chevalier:

“Te escribo esto en en el aula de este buen Padre Gors que está disertando sobre el mayor común divisor, con un aburrimiento sin igual, que me aturde tanto que no puedo entender ni una gota, sólo puedo ver fuego en él.  Le ruego que no se olvide de enviarme sus cursos de matemáticas, física y filosofía.  Es sobre todo el primero el que realmente necesito, tendré que borronear algún papel con números, voy a tener suficiente para matarme…”

Y sigue otro día: “Tengo la ventaja de estar bajo la dirección del padre Gors, que hace raíces cuadradas. ¡Qué importa si es griego o cuadrado, la sopa es lamentable…”

Flaubert es expulsado y debe preparar el bachillerato solo, y se dedica a pedir apuntes de filosfía, física y matemáticas a su amigo, y dice:

“Hago física, y creo que esa parte la haré bien. Pero Todavía quedan esos demonios matemáticos (todavía estoy trabajando en las fracciones, y no conozco la tabla de multiplicar, prefiero la de Jay -un famoso restaurador de Rouen- que el de la multiplicación) y el griego”.

Probablemente lo que Flaubert no soportaba era la manera en que se enseñaban entonces las matemáticas, a las que les faltaba el corazón, lo que permite percibirlas de forma más humana, y por lo tanto, apreciarlas.

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, Real Academia Galega de Ciencias).

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La máquina de Ramanujan

Hace unos días varios medios periodísticos se hacían eco de un desarrollo informático que se decía capaz de generar nuevas conjeturas matemáticas usando la inteligencia artificial, bautizando al proyecto como “la máquina de Ramanujan”.

 

Srinivasa Ramanujan

La información venía de un artículo publicado en Nature:

Raayoni, G., Gottlieb, S., Manor, Y. et al. Generating conjectures on fundamental constants with the Ramanujan Machine. Nature 590, 67–73 (2021),

por varios estudiantes de investigadores del Instituto Tecnológico de Israel (más conocido como el Technion) coordinados por el profesor Ido Kaminer.

 

Ido Kaminer

En su página web, los creadores de la “máquina de Ramanujan” dicen:

“Constantes fundamentales como e y π son omnipresentes en diversos campos de la ciencia, como la física, la biología, la química, la geometría y la matemática abstracta. Sin embargo, desde hace siglos las nuevas fórmulas matemáticas que relacionan las constantes fundamentales son escasas y suelen descubrirse esporádicamente por intuición o ingenio matemático.”

Los autores sostienen que la Máquina de Ramanujan ha descubierto docenas de nuevas conjeturas. Conjeturas aquí son entendidas como fórmulas matemáticas que implican a esas constantes. Y lo que proponen a la comunidad matemática es tan simple como esto: aquí tienen las fórmulas, ahora ustedes lo tienen que probar. Y también invitan a desarrollar nuevos algoritmos. La zanahoria es que si usted prueba una de esas nuevas fórmulas o desarrolla nuevos algoritmos a partir de los suyos, la fórmula o el algoritmo llevará su nombre.

Srinivasa Ramanujan

Pero no todo parece tan idílico y han comenzado a surgir dudas y en algún caso, críticas muy duras. Por ejemplo, el matemático John Carlos Baez (Universidad de California en Riverside) publicó en su cuenta de twitter:

“Aquí están algunas de las fórmulas descubiertas por este algoritmo.  Será divertido ver lo que dirán los expertos en fracciones continuas de tipo Ramanujan. ¿Son consecuencias fáciles de resultados conocidos, o se necesitarán nuevas ideas para demostrarlos?”

 

Digamos que la historia no es reciente, este tuit es del 3 de julio de 2019. El blog Persiflage era muy duro en una entrada del 7 d ejulio de 2019:

“La idea de intentar automatizar los métodos para encontrar identidades es interesante. Pero si se quiere afirmar que se ha encontrado algo nuevo, se requiere alguna justificación. Para empezar, debería esperarse que al menos hicieras una búsqueda superficial en la literatura. ¿Tal vez incluso debería consultar a un experto? Si los autores se hubieran contentado con ser más modestos con sus afirmaciones, explicando simplemente que la automatización era su principal objetivo, y que sólo esperaban utilizar estas ideas para hacer nuevos descubrimientos, no habría tenido ningún problema con su artículo. Por supuesto, nadie se habría enterado del artículo.”

Y llegaba a calificar todo esto de un montaje y un fraude. Pero más recientemente, las críticas ya no son tan duras y el 11 de febrero de 2021 decía:

“No tenía intención de volver a hablar de la Máquina de Ramanujan, pero en los últimos días ha habido un aluvión de (intentos de) comentarios trolls en ese post, así que después de echar un breve vistazo a la última versión, he pensado en ofreceros mis actualizaciones. (Lo prometo por última vez). Probablemente lo más bonito que tengo que decir sobre el documento actualizado es que es mejor que el original. Mis quejas sobre el tono del documento siguen siendo las mismas, pero no creo que sea necesario que las repase aquí. En cuanto al mérito intelectual, creo que vale la pena hacer las siguientes observaciones. En primer lugar, sólo me refiero a las contribuciones a las matemáticas. En segundo lugar, lo que cuenta como una nueva conjetura no es realmente tan obvio como parece.”

Estaremos atentos a los posibles desarrollos de esta “máquina de Ramanujan” y el futuro próximo dirá si estamos ante un Ramanujan digital que como el original, deducía fórmulas que dejaron estupefactos a los matemáticos británicos. De momento, el creador del proyecto, Ido Kaminer, dice:

“Nuestros resultados son impresionantes porque al ordenador no le importa si demostrar la fórmula es fácil o difícil, y no basa los nuevos resultados en ningún conocimiento matemático previo, sino sólo en los números de las constantes matemáticas. En gran medida, nuestros algoritmos funcionan de la misma manera que el propio Ramanujan, que presentó resultados sin pruebas. Es importante señalar que el propio algoritmo es incapaz de demostrar las conjeturas que ha encontrado: en este punto, la tarea queda a cargo de matemáticos humanos”.

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, Real Academia Galega de Ciencias).


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Alexandre Vandermonde, un polímata en la Revolución Francesa

“El oído del virtuoso no demuestra nada cuando se trata de precisión matemática…”

Alexandre Vandermonde

Alexandre-Théophile Vandermonde nació en París el 28 de febrero de 1735. Su padre, Jacques-François Vandermonde, era cirujano mayor en la Compañía de Indias en Macao, donde contrajo matrimonio y nació su hijo Charles. A su vuelta a París, viudo, contrajo un segundo matrimonio del que nació Alexandre.

Declaración de los Derechos del Hombre y el Ciudadno en la Revolución Francesa

Si Charles siguió la carrera de su padre, este no fue el caso de Alexandre, que aunque realizó los estudios de derecho, era un apasionado de la música, y el violín su instrumento favorito. Su posición acomodada debido a la herencia paterna que asume a la muerte de su hermanastro fallecido en 1762, le permite dedicarse a los estudios que le apetecen. Frecuenta a los autores de la Enciclopedia, como Diderot y D´Alembert, y también a géometras como Fontaine y Dionis du Séjour

Su Mémoire sur la résolution des équations, presentado en 1770, le abre las puertas de la Academia de Ciencias en 1771, institución donde continuará su carrera matemática. En este trabajo también estudia la ecuación de quinto grado, y adelanta en cierto sentido los resultados posteriores de Evariste Galois.

Presentó en sus dos primeros años otros tres trabajos que representan la totalidad de su producción matemática. Esas obras fueron:

Remarques sur des problèmes de situation (1771), en donde estudió los movimentos de los caballos en el ajedrez. El problema es el siguiente: un recorrido de un caballo es una secuencia de movimientos de un caballo en un tablero de ajedrez de tal manera que el caballo visita cada casilla exactamente una vez. Si el caballo termina en una casilla que está a un movimiento de caballo de la casilla inicial (de modo que podría recorrer el tablero de nuevo inmediatamente, siguiendo el mismo camino), el recorrido es cerrado; de lo contrario, es abierto. Es un tipo de problema particular del de los caminos hamiltonianos. Este artículo tiene además la particularidad de ser un precedente de la yteoría de nudos, sobre la que afirmó:

“Cualesquiera que sean los giros de un sistema de hilos en el espacio, siempre se puede obtener una expresión para el cálculo de sus dimensiones, pero esta expresión será de poca utilidad en la práctica. El artesano que confecciona una trenza, una red o unos nudos se preocupará, no de las cuestiones de medida, sino de las de posición: lo que ve allí es la manera en que se entrelazan los hilos”

Mémoire sur des irrationnelles de différents ordres avec une application au cercle (1772) fue sobre combinatoria;

Mémoire sur l’élimination (1772) sobre los fundamentos de la teoría de los determinantes. Curiosamente, aunque su nombre se asocia al llamado determinante de Vandermonde, no aparece tal cosa en su memoria.

Sobre la investigación matemática de Vandermonde existió en su época una cierta polémica, recibiendo muchas alabanzas de los grandes matemáticos pero también críticas. Más tarde, H.  Lebesgue dijo que “Vandermonde no se dio cuenta de la importancia de su propia investigación porque no había reflexionado lo suficiente. Si realmente tenía genio y fue más allá de su tiempo, su trabajo sólo puede entenderse a la luz de las investigaciones contemporáneas de Lagrange, y de las posteriores de Gauss, Abel o Galois.”

Pero no se dedicó solo a las matemáticas, Vandermonde fue un auténtico polímata, y la química entraba entre sus intereses. En 1777 publicó los resultados de los experimentos que había realizado con Bézout y el químico Lavoisier sobre las bajas temperaturas, en particular investigando los efectos de una helada muy severa ocurrida en 1776. Diez años más tarde, publicó dos trabajos sobre la fabricación de acero, con Monge y Bertholet, con el objeto de mejorar las bayonetas de los soldados.

De nuevo aparece su amor por la música. En 1778 se había propuesto construir un nuevo sistema de armonía, y construye una tabal de acordes que podía ser tocada con una máquina, mezclando sus habilidades de matemáticas, ingeniería y música. Y sigue trabajando sobre este tema, presentando una teoría mejorada usando las matemáticas.

 

Entrada del Conservatorio Nacional de Artes y Oficios

Es 1783 es nombrado conservador del “Cabinet des Mécaniques du Roi”, embrión del futuro Conservatoire des Arts et Métiers. Debemos decir también que Vandermonde desarrolló una gran actividad política, dentro de la Revolución francesa y fue en numerosas ocasiones encargado por la República de numerosas tareas relacionadas con casi cualquier tema que uno podría imaginar, incluso la salud.

Y no acaban aquí sus tareas. Juega un paper relevante en la Ecole normale, y en 1795 es propuesto como primer catedrático de economía política, el primero en la historia de Francia.  Aunque ya está en sus últimos momentos de su vida y la propia Ecole está a punto de desaparecer (renacerá en 1808). Fallece el 1 de enero de 1796, dicen algunos que de inanición.

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, Real Academia Galega de Ciencias).

 

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La tentación del camino real en la educación

Cuenta Proclo en sus Comentarios al primer libro de los Elementos de Euclides  que, cuando el rey Ptolomeo I le preguntó si había un camino más corto para aprender geometría que sustituyera a estudiar los Elementos, “Euclides respondió que no hay un camino real hacia la geometría”.

Euclides

La anécdota (como otras de Proclo, difíciles de contrastar) sirve perfectamente para ilustrar esta entrada. Ptolomeo I quiere atajar para llegar al conocimiento de la geometría, ahorrase el esfuerzo que suponía el estudio detallado de los Elementos. Y esta es una tentación que a veces puede asaltar a los que elaboran las leyes educativas y a los gobiernos que las promueven.

Siempre que se aprueba una nueva Ley Educativa (y desgraciadamente en nuestro país van ya demasiadas) la comunidad educativa se pone en alerta. Dos de los problemas más graves en el sistema educativo español son: la brecha de los resultados en los informes PISA (acrónimo en inglés del Programa para la Evaluación Integral de Alumnos) respecto a la media de los países de la Organización para la Cooperación y el Desarrollo Económico (OCDE); y la alta tasa de abandono escolar entre los jóvenes de entre 18 a 24 años, y que aunque estos últimos años se ha reducido, todavía es del 17,3%, partiendo hace no pocos años de porcentajes superiores al 30%. Esta tasa de abandono es la mayor de los países de la Unión Europea.

¿Cómo reducir estos porcentajes? Pregunta que va ligada a la de cómo mejorar los resultados de nuestro sistema educativo (que no es exactamente la misma de cómo mejorar los resultados en PISA, aunque está obviamente relacionada con ella).

Las soluciones pasan por una mayor inversión en educación, que se debería utilizar para mejorar la formación inicial de los profesores de primaria y secundaria, especialmente en Matemáticas. En efecto, se observan unas grandes carencias, que afectan en las primeras etapas educativas creando un problema que se arrastra (y agrava) en los años subsiguientes. Inversión en la formación continua de todo el profesorado. Inversión en profesorado de refuerzo para ayudar a los alumnos que tengan más dificultades, y llevando a la práctica, con todas sus consecuencias, eso que ahora tanto se repite de “no dejar a nadie atrás”. Impulsando una Formación Profesional actualizada, que permita que los alumnos con dificultades o que no quieran seguir estudiando, puedam encontrar un empleo digno y cualificado, y manteniendo pasarelas para poder volver al Bachillerato y seguir a la universidad si deciden cambiar el rumbo de su formación.

La tentación del camino real es la de rebajar contenidos, especialmente en matemáticas, la prueba del algodón de cualquier sistema educativo; crear itinerarios donde las matemáticas y las ciencias apenas aparezcan y facilitar el paso de curso sin grandes problemas. Esta tentación está siempre latente, y debemos combatirla si vemos cualquier atisbo. Porque, al final, no será más que maquillaje, enmascarará el problema a corto plazo pero no lo resolverá a medio y largo término, ni dará buenos resultados en la comparativa internacional.

Nos jugamos mucho para el escenario tras-Covid,  tenemos una oportunidad de invertir buena parte de esos fondos europeos extra en acciones como la mejora del sistema educativo. Hagásmolo siguiendo el camino del esfuerzo.

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, Real Academia Galega de Ciencias).

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Murmullo

En los últimos años, la figura de Alan Mathison Turing ha sido protagonista de muchos libros, en algún caso, novelas. Sus extraordinarios logros científicos que cambiaron nuestro mundo, unidos a un final trágico e injusto cuando todavía tenía muchos años por delante, le han convertido en un auténtico icono.

Hoy traemos a Matemáticas y sus fronteras la última novela inspirada en su vida, Murmullos, del autor británico Will Eaves. La ha publicado Alba Editorial, estupendamente traducida al español por Mariano Antolín Rato.

Si en Máquinas como yo, Ian McEwan exploraba la posibilidad de si una máquina sería capaz de entender y juzgar la complejidad moral de las decisiones de un ser humano, en un Londres donde Inglaterra ha perdido la guerra de las Malvinas y Turing sigue vivo y aparece en varias escenas, en nuestro libro de hoy, Will Eaves se permite entrar en la mente de Alec Pryor, un trasunto de Turing, mente alterada por los estrógenos que se le están administrando cumpliendo la condena por homosexualidad (por cometer «actos indecentes con otro hombre»).

Alec Pryor es, como Turing, un matemático y pionero de la informática en la Gran Bretaña anterior a los años 60, y sus pensamientos están narrados en primera persona.

Este formato narrativo le permite a Eaves conjeturar lo que Alan Turing podría haber pensado esos pocos años que transcurrieron desde su condena hasta su suicidio con una manzana envenenada con arsénico. Este formato narrativo le permite a Eaves conjeturar lo que Alan Turing podría haber pensado esos pocos años que transcurrieron desde su condena hasta su suicidio con una manzana envenenada con arsénico.

En ese periodo, Turing tenía que acudir semanalmente al hospital para recibir la correspondiente inyección de hormonas para producir la castración química. Recordemos que duarnte la Segunda Guerra Mundial, Turing rompió con su equipo el código de las máquinas nazis Enigma, contribuyendo a que los aliados ganasen la guerra y evitando miles de muertes al acortarla. Uno de los grandes logros de Will Eaves es la descripción de cómo el criptoanalista de Bletchley Park usa ahora su mente para cifrar y descifrar sus visiones causadas por los cambios que su cuerpo y su mente van experimentando.

En la vida real, Turing visitaba al terapeuta junguiano Franz Greenbaum. En la novela, Turing u Greenbaun se transforman en Alec Pryor y Stallbrook, Puesto que esta novela tiene ese sesgo a lo Carl Jung, Stallbrook aparece también como el director de la escuela a la que asistió Pryor. A lo largo del libro, la figura de su amado Christopher Morcom está también presente, ahora como Chris Molyneaux, que aquí fallece prematuramente por tuberculosis.

Pryor escribe en cada capítulo (o recibe) una carta de una misteriosa June Wilson, que no es más que la versión de Joan Clarke, fugazmente prometida de Turing en Bletchley Park.

Will Eaves

Sobre el autor

Will Eaves nació en Bath en 1967 y estudió en el King’s College de Cambridge.  De 1995 a 2011 fue el editor de Arte de The Times Literary Supplement. Desde 2011 es profesor asociado del Programa de Escritura de la Universidad de Warwick. Ha escrito dos libros de poesía y cinco novelas, entre ellas The Oversight (2001), Small Hours (2006) y Murmullo (2018), que fue finalista del Goldsmith Prize y ganadora del Wellcome Book Prize.  El autor vive actualmente en Brixton.

Les dejamos con una entrevista con el autor

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, Real Academia Galega de Ciencias).

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Historias de pi: Cuando Sir Francis Galton nos enseñó como dividir una tarta redonda

El 20 de diciembre de 1906, sir Francis Galton publicó un breve artículo en la sección de Cartas al Editor de Nature con el título: “Cutting a Round Cake on Scientific Principles” (“Dividiendo una tarta redonda siguiendo principios científicos”). La comentamos en esta entrada porque es una auténtica curiosidad de un científico tan relevante como Galton.

Sir Francis Galton, 1840

Galton escribe:

NAVIDAD sugiere tartas, y estas el deseo por mi parte de describir un método de cortarlas que he ideado recientemente para mi propia diversión y satisfacción.  El problema a resolver era: “dado una tarta de te redonda de unas 5 pulgadas de ancho, y dos personas de moderado apetito para comerla, de qué manera debería dividirse para dejar un mínimo de superficie expuesta a secarse”. El método ordinario de cortar una cuña es muy defectuoso en este sentido. El resultado que hay que conseguir es cortar el pastel de forma que las porciones restantes encajen.

El texto incluye unas figuras

 

con este texto explicativo debajo:

Las líneas a trazos muestran el corte previsto. Las líneas rectas continuas muestran los cortes realizados. Los trozos se mantienen juntos mediante una banda elástica común que encierra el conjunto. En las figuras anteriores, cada una de las dos operaciones sucesivas elimina aproximadamente un tercio de la superficie del disco original.        

En consecuencia, las cuerdas (o los arcos) de las circunferencias de estas porciones deben ser iguales. La dirección de los dos primeros planos verticales de la sección no es importante; pueden pueden ser paralelos, como en la primera figura, o pueden encerrar una  cuña. Los cortes que se muestran en las figuras representan aquellos de dejar que la tarta dure tres días, cada operación sucesiva ha eliminado aproximadamente un tercio de la superficie del disco original. Una banda de goma común abraza el conjunto y mantiene los trozo unidos.

F.G.

Repartir tartas entre varios comensales es un problema matemático que da mucho juego, sobre todo si se quiere hacerlo de manera equitativa. Por ejemplo, en este video

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se indica una manera de hacer el reparto cuando tenemos tres participantes, método generalizable a muchos más, lo que complicaría muchísimo el proceso. En el video no se trata en realidad de un problema de geometría, más bien de teoría de la elección.

Como hablamos de tartas redondas, la geometría si nos da pistas. Lo habitual es dividir la tarta en cuñas (sectores circulares) iguales, porque nos vamos a comer toda la tarta ya, y no tenemos la preocupación de Sir Francis Galton de que se reseque. Y para hacerlo, ya sabemos que los sectores circulares deben ser iguales, y si está presente un matemático, le pueden pedir que divida 360º entre el número de comensales (la broma usual). Y ya puestos, que calcule el área y el volumen de cada trozo resultante (pi en danza).

Pero si la tarta es muy grande, las cuñas pueden ser demasiado largas y poco manejables. En este artículo, Cómo cortar un pastel redondo grande para que salgan porciones decentes,  hemos encontrado una solución muy ingeniosa. Se trazan dos circunferencias, tal y como se ve en la figura, y se cortan las cuñas, pero ahora ya son más cortas, tal y como en el video. Con el centro, vale la sugerencia del video o dividirlo a su vez

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Solo me queda pedirles que disfruten de la tarta.

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, Real Academia Galega de Ciencias).

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