web analytics

Archivo de agosto 4th, 2021

Cazando leones en el Sáhara con matemáticas

There’s letters sealed; and my two schoolfellows,
Whom I will trust as I will adders fanged,
They bear the mandate; they must sweep my way
And marshal me to knavery. Let it work,
For ’tis the sport to have the enginer
Hoist with his own petard; and ’t shall go hard
But I will delve one yard below their mines
And blow them at the moon. O, ’tis most sweet
When in one line two crafts directly meet.
— Prince Hamlet, in Hamlet, Act 3, Scene 4.

 

Contábamos en la última entrada de Matemáticas y sus fronteras la historia de la matemática Blanche Descartes, émula del matemático Héctor Pétard, famoso por su artículo “A Contribution to the Mathematical Theory of Big Game Hunting”, publicado en la prestigiosa revista  Amer. Math. Monthly 45  en 1938. Vamos a recordar el contenido del artículo.

 

Después de establecer que el autor es el señor H. Pétard, de Princeton, New Jersey, éste indica que “Esta disciplina matemática poco conocida no ha recibido, en los últimos años, en la literatura la atención que, en nuestra opinión, merece. En el presente trabajo presentamos algunos algoritmos que, esperamos, puedan ser de interés para otros trabajadores en este campo. Dejando de lado los métodos más obviamente triviales, limitaremos nuestra atención a aquellos que implican aplicaciones significativas de ideas conocidas por matemáticos y físicos.“

Y así se propone describir las aplicaciones de estos tres campos: las matemáticas, la física teórica y la física experimental. Y para simplificar su exposición, se concentra en los leones del Sáhara.

Digamos que tras Henry Pétard se esconden matemáticos como Ralph Boas y Frank Smithies, y que el nombre viene sugerido por una frase del príncipe Hamlet en la famosa tragedia de William Shakespeare, y que es ya un dicho proverbial: “Hoist with his own petard“, “elevarse con su propio petardo”, una manera de referirse a la justicia poética. En la obra, Hamlet ha descubierto un complot contra su vida por parte de Claudio y resuelve responder a él dejando que el conspirador sea “colgado de su propio petardo”.

Desde las matemáticas, el primer método propuesto es, como no, el axiomático:

EL MÉTODO DE HILBERT O AXIOMÁTICO

Colocamos una jaula cerrada en un punto determinado del desierto.

A continuación, introducimos el siguiente sistema lógico.

AXIOM I. La clase de los leones en el desierto del Sahara es no vacía.

AXIOMA II.

Si hay un león en el desierto del Sahara, hay un león en la jaula.

REGLA DE PROCEDIMIENTO.

Si p es un teorema, y “p implica q” es un teorema, entonces q es un teorema.

TEOREMA I.

Hay un león en la jaula.

 

Hay 8 métodos más, pero no me resisto a destacar este:

EL MÉTODO DE PEANO

Construir, por métodos estándar, una curva continua que pase por cada punto del desierto. Se ha observado (1) que es posible atravesar tal curva en un tiempo arbitrariamente corto. Armados con una lanza, atravesamos la curva en un tiempo más corto que el que tarda un león en desplazarse.

 

La física teórica tampoco se anda por las ramas, y entre sus 4 métodos, destacaría estos dos:

EL MÉTODO DE DIRAC

Observamos que los leones salvajes no son, ipso facto, observables en el desierto del Sahara. Por lo tanto, si hay leones en el Sahara, son mansos. La captura de un león manso puede dejarse como ejercicio para el lector.

EL MÉTODO DE SCHRÖDINGER

En cualquier momento hay una probabilidad positiva de que haya un león en la jaula. Siéntese y espere.

 

La física experimental también proporciona métodos muy astutos:

EL MÉTODO TERMODINÁMICO

Construimos una membrana semipermeable, permeable a todo excepto a los leones, y la arrastramos por el desierto.

EL MÉTODO DE LA DESINTEGRACIÓN ATÓMICA

Irradiamos el desierto con neutrones lentos. El león se vuelve radiactivo y se inicia un proceso de desintegración. Cuando la desintegración haya avanzado lo suficiente, será incapaz de luchar.

En los agradecimientos, el autor reconoce su deuda con el Trivial Club del St. John’s College, Cambridge, Inglaterra; con el capítulo del M.I.T. de la Society for Useless Research, con la F. o. P., de la Universidad de Princeton; y con numerosos colaboradores individuales, conocidos y desconocidos, conscientes de haberlo hecho o no.

Encontré recientemente otro artículo sobre este tema,  dedicado por cierto a a Hector Petard, y a su esposa Betti Petard (apellidada Bourbaki de soltera). El artículo en cuestión se titula “Big game hunting for graduate students in mathematics”, y los autores son Jayadev Athreya y Apoorva Khare. Después de recordar la amplia literatura dedicada a este tema  los autores proponen nuevos métodos, basados en áreas matemáticas más modernas, como la Geometría Algebraica, los Métodos Estocásticos o la Teoría de Lie.

Citemos solo una de ellas (los lectores pueden disfrutar el resto en el artículo:

“Constatamos que la captura de leones es fácil o no. Si es fácil, dejamos el problema al lector; por el momento, asumimos que la situación es compleja. Consideramos la representación de los leones en el desierto del Sahara, todos ellos leales a su manada; se trata de una representación bastante simple de su grupo. Se trata, pues, de una representación simple y fiel del “grupo de Lieo”. Sin embargo, también observamos (cf. National Geographic) que los leones conmutan entre sí. Así pues, este grupo de Lie es abeliano y, por tanto, sólo tiene caracteres unidimensionales.  En la representación del orgullo considerada anteriormente, el carácter dado por la inteligencia sería entonces una potencia del carácter del orgullo. Dado que el orgullo no es lo suficientemente potente como para producir ninguna inteligencia, los leones son estúpidos. Capturar un león estúpido es fácil.”

Volveremos con nuestro intrépido matemático cazador de leones, Héctor Pétard, muy pronto.

_______

Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, Real Academia Galega de Ciencias).

Etiquetas:
Categorias: General