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Matemáticas y literatura

Se acaba de publicar “Matemáticas y literatura”, el libro número dieciocho de la colección Miradas Matemáticas, una lúcida reflexión de cómo ambas áreas se relacionan, mucho más de lo que se podría imaginar. La autora es Marta Macho, una conocida matemática y divulgadora, y experta en oulipismo.

 

Matemáticas y literatura comparten muchas cosas. Como se dice en la contraportada del libro, la pasión y la creatividad son, a pesar de la incredulidad inicial, comunes a ambas ocupaciones. Y también es evidente que las matemáticas son necesarias para muchas de la screaciones literarias, pensemos solo en la estructura de un poema que está sujeta tanto al conteo de ílabas como a las terminaciones de cada verso de manera que haya coinidencias y simetrías. La estructura de un soneto, por decir un ejemplo, sigue unas reglas muy determinadas. Pero las historias se deben planificar; pensemos por ejemplo en una obra de teatro con su estructura tradicional de planteamiento, nudo y desenlace (por otra parte, común a una novela, aunque en este caso la libertad es mucho mayor). Una obra de teatro debe además dividirse en actos, cuadros y escenas. Todo ello requiere una cuidadosa estrategia inicial (por cierto, muy similar a lo que hacemos cuando escribimos un artículo de investigación: planteamos el problema en la introducción y lso antecedentes en las primeras secciones, las demostraciones de nuestros resultados, y una sección final de conclusiones).

Este libro de Marta Macho proporciona muchos ejemplos de cómo las matemáticas aparecen en muchos textos literarios, no solo en su estructuración. Muy en particular, cuando el texto debe estar sujeto a reglas prefijadas (trabas) como ocurre con la poesía con métrica. En este libro encontraremos matemáticas en textos de Edgard Allan Poe y de Antón Chejov, de Arthur Conan Doyle y los trovadors provenzales. Y no podía faltar la referencia al grupo OuLiPo, del que la autora es una gran conocedora.

Y no olvidemos el valor didáctico de este libro, que permite usar la literatura para introducir de una manera diferente muchos conceptos matemáticos (topología, combinatoria, por citar dos áreas matemáticas) pero también para conectar las dos disciplinas, matemáticas y literatura abriendo nuevos horizontes en el aula, pero también para cualquier lector interesado.

Digamos para terminar algunas palabras sobre la autora, limitándome a lo que ofrece la editorial, ya que la biografía de Marta Macho sería casi interminable por sus muchos logros y actividades.

 

Marta Macho Stadler en su despacho de la Universidad del País Vasco

Marta Macho Stadler

Doctora en matemáticas y profesora de Topología en la Universidad del País Vasco. Es editora del blog Mujeres con ciencia de la Cátedra de Cultura Científica de la Universidad del País Vasco. Es la responsable de las secciones de “Literatura y Matemáticas” y de “Teatro y Matemáticas” en el portal DivulgaMAT. Ha recibido el Premio igUAldad 2015 de la Universidad de Alicante (2015), la Medalla de la Real Sociedad Matemática Española (2015), el Premio Emakunde (2016) y el nombramiento de Ilustre de Bilbao (2019).

 

Contenidos del libro

Índice

Introducción

Capítulo 1. Extractos literarios y huellas matemáticas

Capítulo 2. Escribiendo bajo traba matemática

Capítulo 3. La matemática como hilo conductor

Bibliografía

 

Sobre la colección Miradas Matemáticas

El Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT), la Federación Española de Sociedades de Profesores de Matemáticas (FESPM) y Los Libros de la Catarata auspician esta colección que combina la divulgación con la didáctica de las matemáticas. Dirigida principalmente a docentes y estudiantes de secundaria y bachillerato, su propósito es ofrecer contenidos de divulgación que aporten nuevas ideas y que permitan desarrollar materiales que acerquen las matemáticas al aula de una forma interesante y atractiva. Se busca así aproximar el mundo de la investigación y de la didáctica de las matemáticas, con una perspectiva histórica, relacionando sus aportaciones con otras ciencias y con los desarrollos tecnológicos. Con ello, se pretende contribuir a mejorar la educación de las matemáticas en el aula, fomentar las vocaciones científicas y abrir un diálogo entre los diferentes actores involucrados en la educación y divulgación de esta disciplina.

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, Real Academia Galega de Ciencias).

 

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Las matemáticas afectivas

En nuestro país se producen muchas veces debates sin que una de las partes (y a veces las dos) tengan el suficiente conocmiento de causa. Mi preocupación sobre los mismos en el ámbito educativo me ha llevado a escribir varias entradas que no persiguen crear ninguna polémica, sino únicamente traer al conocimiento público datos que sustenten las opiniones de los polemizantes.

Si uno quiere conocer uno de los curriculos de matemáticas más establecidos y respetados internacionalmente, el de Ontario (en su versión de 2020 que sustituye la de 2005) se encontrará en la introducción el siguiente párrafo:

Existen pruebas sólidas de que el desarrollo de habilidades de aprendizaje socioemocional en la escuela contribuye a la salud y el bienestar general de todos los estudiantes y al éxito del rendimiento académico. También favorece la salud mental positiva, así como la capacidad de los estudiantes para aprender, desarrollar su capacidad de recuperación y prosperar. El desarrollo de habilidades de aprendizaje socio-emocional a lo largo de sus años escolares apoyará a todos los estudiantes para que sean más saludables y tengan más éxito en su vida diaria y como miembros contribuyentes de la sociedad. En todos los grados, el aprendizaje relacionado con las expectativas de esta vertiente se produce en el contexto del aprendizaje relacionado con las otras cinco vertientes y se evalúa dentro de estos contextos.

Esas cinco vertientes aluden a esto:

Las expectativas del plan de estudios de matemáticas están organizadas en seis vertientes distintas pero relacionadas: A. Habilidades de aprendizaje socio-emocional (SEL en sus siglas inglesas) en matemáticas y los procesos matemáticos; B. Número; C. Álgebra; D. Datos; E. Sentido espacial; y F. Alfabetización financiera.

Y los autores del currículo de Ontario siguen:

Las habilidades de aprendizaje socioemocional pueden desarrollarse en todas las asignaturas del plan de estudios -incluidas las matemáticas-, así como en diversas actividades escolares, en casa y en la comunidad. Estas habilidades ayudan a los estudiantes a comprender los conceptos matemáticos y a aplicar los procesos matemáticos que son clave para aprender y hacer matemáticas. Ayudan a todos los estudiantes -y, de hecho, a todos los alumnos, incluidos los educadores y los padres- a desarrollar la confianza en sí mismos, a enfrentarse a los retos y a pensar de forma crítica. Esto, a su vez, les permite mejorar y demostrar los conocimientos, conceptos y destrezas matemáticas en diversas situaciones. Las habilidades de aprendizaje socio-emocional ayudan a todos los estudiantes a desarrollar una identidad positiva como “estudiante de matemáticas” capaz. 

No puedo más que invitar a todos a consultar la página web de Ontario para aquellos interesados en profundizar en el tema.

Vayamos ahora a otro de los referentes internacionales en la educación matemática, los consejos del National Council of Teacher of Mathematicas:

Para garantizar que todos nuestros estudiantes tengan un abanico completo de opciones prometedoras cuando se gradúen de la escuela secundaria, debemos revigorizar el elemento social humanizador en la enseñanza y el aprendizaje. Debemos proporcionar entornos de aprendizaje en los que los estudiantes se sientan seguros para asumir riesgos y trabajar en colaboración como solucionadores de problemas matemáticos, y que se comprometan con el duro trabajo de aprender tanto los contenidos académicos como los mundos sociales en los que se desarrolla el aprendizaje … La expresión aprendizaje social y emocional se utiliza ahora ampliamente para referirse a las competencias necesarias para desarrollar estas habilidades.

¿Y qué podemos decir de la situación entre niños y niñas en cuanto al aprendizaje de las matemáticas? Varios estudios concluyen que los profesores perciben que la capacidad matemática de los niños es superior a la de las niñas, independientemente de los estilos de aprendizaje y los niveles de rendimiento de los alumnos. El peligro es que esta situación a una edad tan temprana podría afectar a la confianza y la aptitud de las niñas para las matemáticas e impedirles buscar futuras oportunidades STEM. Y precisamente todos estamos preocupados en España para que  cada vez más niñas se incorporen al sistema STEM (y sus generalizaciones, STEAM y STEMM).

Vayamos a España. En la LOMCE (2013), cuando se refiere a los aspectos curriculares en Primaria, se dice:

El currículo básico se ha formulado partiendo del desarrollo cognitivo y emocional en el que se encuentra el alumnado de esta etapa, de la concreción de su pensamiento, de sus posibilidades cognitivas, de su interés por aprender y relacionarse con sus iguales y con el entorno, y de su paso hacia un pensamiento abstracto hacia el final de la etapa.

Y en cuanto a los Criterios de evaluación:

9. Desarrollar y cultivar las actitudes personales inherentes al quehacer matemático.10. Superar bloqueos e inseguridades ante la resolución de situaciones desconocidas.11. Reflexionar sobre las decisiones tomadas, aprendiendo para situaciones similares futuras.

Y el preámbulo de la propia LOMCE afirma:

Las  habilidades  cognitivas,  siendo  imprescindibles,  no  son  suficientes;  es  necesario adquirir desde edades tempranas competencias transversales, como el pensamiento crítico, la gestión de la diversidad, la creatividad o la capacidad de comunicar, y actitudes clave como la confianza individual, el entusiasmo, la constancia y la aceptación del cambio. La educación  inicial  es  cada  vez  más  determinante  por  cuanto  hoy  en  día  el  proceso  de aprendizaje no se termina en el sistema educativo, sino que se proyecta a lo largo de toda la vida de la persona.

Y podemos ir más atrás, a la LOE de 2006: 

Manifestar una actitud positiva ante la resolución de problemas y mostrar confianza en la propia capacidad para enfrentarse a ellos con éxito y adquirir un nivel de autoestima adecuado  que  le  permita  disfrutar  de  los  aspectos  creativos,  manipulativos,  estéticos  y utilitarios de las matemáticas.

O, por ejemplo,

Confianza  en  las  propias  capacidades  para  afrontar  problemas,  comprender  las relaciones matemáticas y tomar decisiones a partir de ellas.Perseverancia y flexibilidad en la búsqueda de soluciones a los problemas.

No se trata sólo de conocimientos, sino también de competencias transversales que generen confianza en el alumno, ya desde edades tempranas. Precisamente esa confianza que les permitirá ser en el futuro ciudadanos con criterio.

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, Real Academia Galega de Ciencias).

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Los sentidos matemáticos

Probablemente muchas personas se sorprenden cuando oyen hablar de sentidos matemáticos, que pueden asociar a lo que conocemos como los sentidos naturales: oído, vista, olfato, tacto y gusto. En esta entrada comentaremos lo que se entiende por sentidos matemáticos.

Digamos en primer lugar que no son nociones nuevas en el ámbito de la educación matemática, sino que ya comenzaron a perfilarse en la década de los 90 del siglo pasado. De hecho, la expresión sentido numérico aparece en documentos curriculares, asociada al hecho de que el aprendizaje matemático debe ser una actividad que «tenga sentido», según los estándares del National Council of Teachers of Mathematics (NCTM) (Principles  and  Standars  for  School  Mathematics). Por ejemplo, se puede entender el sentido numérico como “el poseer un  buen  entendimiento  del significado  de  los  números;  desarrollar  múltiples  relaciones  entre  los  números;  reconocer  la  magnitud relativa de los números; conocer el efecto relativo de las operaciones en los números, y desarrollar referentes para medir objetos comunes y situaciones de su entorno.”

En general, por un sentido matemático se entenderá un conjunto de capacidades que están relacionadas con el dominio en contextos numéricos, geométricos, métricos y estadísticos. La idea es que la posesión de uno de esos sentidos permita al alumno y futuro ciudadano utilizarlo de manera funcional, tal y como se consigue con uno de los sentidos naturales.

Recomiendo en cualquier caso la lectura del artículo “Tareas que desarrollan el sentido matemático en la formación inicial de profesores”, de Juan Francisco Ruiz-Hidalgo, Pablo Flores Martínez, Rafael Ramírez-Uclés y  José Antonio Fernández-Plaza, publicado en Educ. mat [online]. 2019, vol.31, n.1, pp.121-143. . Como los autores afirman:

Esta idea hace que consideremos que la formación de profesores de matemáticas tiene que contribuir a que los futuros profesores aprecien qué significa enseñar matemáticas con sentido (matemático), y se preparen para lograr que su potencial alumnado aprenda matemáticas con sentido. Entendemos que “aprender matemáticas con sentido consiste en atender a sus usos en contexto y ofertar propuestas a las cuestiones que de ello se deriven”

La investigación sobre los sentidos matemáticos comprende cientos de artículos en los últimos años, que incluyen no solo desarrollos teóricos sino también trabajo experimental en el aula.

El concepto de sentido matemático ha saido una de las piezas clave para el desarrollo de unas Bases para la elaboración de un currículo de Matemáticas en Educación no Universitaria, estructurada con cinco sentidos matemáticos: sentido algebraico, sentido espacial, sentido estocástico, sentido de la medida y sentido numérico. Remito al documento y a la noticia sobre el mismo.

Permítanme una última reflexión. La didáctica de las matemáticas es un área de investigación con muchos años de existencia, y con un interés enorme porque comprende todo lo que tiene que ver con las matemáticas que se deben enseñar y como deben enseñarse, pero también qué formación deben tener los que van a enseñarlo, y como esa formación debe evolucionar en el tiempo a la par que las propias matemáticas y la sociedad. Muchos colegas suelen simplificar la solución a los problemas educativos porque han congelado su propia experiencia en el tiempo que estudiaron matemáticas en la secundaria (entiendiendo por secundaria todo el espectro desde infantil hasta bachillerato). Pero son muchos los parámetros a tener en cuenta: el acceso universal a la educación y no sólo el de unos elegidos (bien por sus capacidades o por la disponibilidad económica), la evolución de las propias matemáticas, la irrupción de la computación y el uso de las mal llamadas nuevas tecnologías, los descubrimientos neurológicos que inciden en como aprender mejor …

Recientemente he releído un excelente artículo de Luis Rico Romero, Modesto Sierra Vázquez y Encarnación Castro Martínez,  El área de conocimiento de «didáctica de la matemática», publicado en Revista de Educación, núm. 328 (2002), pp. 35-5, que invito a leer. Aunque hayan pasado casi 20 años desde su publicación, merece la pena.

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, Real Academia Galega de Ciencias).

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La anomalía

¿Vivimos en un tiempo que es sólo una ilusión, donde cada siglo aparente dura sólo una fracción de segundo en los procesadores del gigantesco ordenador? ¿Qué es entonces la muerte sino un simple “fin” escrito en una línea de código?

 

La anomalía es una novela matemática por muchos motivos. No solo el autor es un matemático, sino que la trama descansa en el azar y en las simulaciones; es más, los guiños a esta disciplina son continuos, como ceremos en esta entrada.

Este es el resumen que la editorial Seix Barral incluye en su web con la intención de atraer la atención del posible lector:

El 10 de marzo de 2021 los doscientos cuarenta y tres pasajeros de un avión procedente de Paris aterrizan en Nueva York después de pasar por una terrible tormenta. Ya en tierra, cada uno sigue con su vida. Tres meses más tarde, y contra toda lógica, un avión idéntico, con los mismos pasajeros y el mismo equipo a bordo, aparece en el cielo de Nueva York. Nadie se explica este increíble fenómeno que va a desatar una crisis política, mediática y científica sin precedentes en la que cada uno de los pasajeros acabará encontrándose cara a cara con una versión distinta de sí mismos.

La novela se articula en tres partes, Aussi noir que le ciel (tan negro como el cielo), La vie est un songe dit-on (La vida es un sueño, dicen) y La chanson du néant (La canción de la nada), que son tres fragmentos de poemas de Raymond Queneau, quien con el matemático François Le Lionnais, creó el grupo de experimentación narrativa de vanguardia Oulipo (Ouvroir de littérature potentielle), formado principalmente por escritores y matemáticos de habla francesa, y que utiliza las matemáticas para elaborar literatura.

El autor de La anomalía es Hervé Le Tellier, matemático de formación, que se dedicó posteriomente al periodismo y es además doctor en lingüística. Le Tellier es desde 1992 miembro  de Oulipo y su Presidente desde 2019.

La Anomalía no es su primera obra (ha escrito poesía, obras de teatro, novelas y relatos), aunque sí su primer gran éxito. La Anomalía se alzó en 2020 con el premio más relevante de las letras francesas, el Goncourt.

 

Hervé Le Tellier

La aparición de una copia exacta del avión de Air France en el espacio aéreo estadounidense moviliza a todos los sistemas de seguridad. Se habían estudiado todas las posibilidades de fenómenos insólitos, y elaborado los protocolos correspondientes. Y el responsable es el probabilista Adrian Miller, ahora en el Departamento de Matemáticas de la Universidad de Princeton. Una vez que se forma un grupo de trabajo secreto, Miller solicita la presencia de Meredith Harper, topóloga británica también en Princeton. Y Miller debe abandonar abruptamente una fiesta en Fine Hall, el edificio de las matemáticas en Princeton, en honor del medallista Fields Tanizaki (¿un guiño a la conjetura ABC?).

La solución al enigma del avión repetido solo puede ser una, vivimos en una simulación que alguien ha elaborado, y el avión ha sido copiado, bien por un error del programa, bien por un test que nuestros creadores quieren hacernos pasar para ver que hacen finalmente con nosotros.

Y hasta aquí puedo leer de este fantástico libro para no destrozar la intriga. El libro está escrito como un thriller, apasionante, de una manera muy inteligente, con momentos de auténtico clímax, y con un final apabullante. Como decían en televisión: Prix Goncourt 2020 : “L’anomalie” de Hervé Le Tellier, un roman “oulipien” rythmé comme une série télé.

Pero no me resisto a recordar estas frases:

El Presidente francés habla y habla –hecho insólito –antes de ceder la palabraal cabo de cinco minutos  su asesor científico. Para no sumar lo excéntrico a lo icomprensible, el matemático ha suavizado su aspecto de sabio chiflado,cambiando su desconcertante chalina púrpura por una fina bufanda de seda beige, pero sin renunciar a lucir en la solapa de la chaqueta una araña de plata.

¿Adivinan quién podría ser?

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, Real Academia Galega de Ciencias).

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La regla de tres y el presidente Abraham Lincoln

Multiplication is vexation;

Division is as bad;

The Rule of Three doth puzzle me,

And Practice drives me mad.

John Napier, 1570.

 

Los versos que encabezan esta entrada corresponden a una canción infantil, Multiplication is vexation, que se remonta a un documento isabelino de 1570 titulado “A description of the Admirable Table of Logarithmes” (Descripción de la admirable tabla de logaritmos), escrito por el matemático escocés John Napier (1550-1617) e impreso para Simon Waterson en 1618. Esta es la traducción: “La multiplicación es un fastidio;/ La división es igual de mala;/ La regla de tres me desconcierta,/y la práctica me vuelve loco.”

Recordemos que John Napier fue un matemático escocés, reconocido por ser el primero en definir los logaritmos. De hecho, de su nombre latino, Ioannes Neper, viene el de los logaritmos neperainos). Napier fue también el inventor de un ábaco, cuya descripción se publicó en su obra Rhabdologia, impresa en Edimburgo a finales de 1617. Ese ábaco se conoce en inglés con el curioso nombre de Napier’s bones (huesos de Napier), un primer dispositivo mecánico para calcular la multiplicación y la división. Napier era hijo de personajes ilustres, su padre era Sir Archibald Napier, terrateniente de Merchiston; Naper nación en el castillo de Merchiston y fue apodado por ello como “el maravilloso Merchiston”.

Pero volvamos a la regla de tres que le “desconcertaba”. Mucho más adelante en el tiempo, Abraham Lincoln, en una breve biografía proporcionada a los amigos que respaldaban su candidatura en 1860, escribió: “Sabía leer, escribir y calcular con la regla de tres; pero eso era todo”.  Parece que la regla de tres tenía un valor en aquellos tiempos.

Abraham Lincoln

Sabemos que la regla de tres es una forma de resolver proporciones, que se resuelven con multiplicación cruzada en la que el problema se plantea de forma que la cantidad desconocida es el último “extremo” de una serie de números que presentan una relación proporcional. Conocemos a, b y c, y calculamos x. Y eso en cuanto a la regla de tres simple o directa, que ya sabemos que podemos complicarlo más con la regla de tres inversa y la compuesta. En mis tiempos de escolar me tocó resolver muchos problemas de aitmética con la regla de tres, que se convertía en la panacea universal. Esto es lo que probablemente le tocó hacer a Lincoln en sus tiempos como joven tendero en New Salem (aunque estudió mucha sotras cosas de matemáticas, como los Elementos de Euclides). Seguramente este aprendizaje con los números le ayudó en sus posteriores tareas como Presidente de los stados Unidos.

La regla de tres era conocida por los árabes (como al-Jwarizmi en su Álgebra, y al-Biruni (973-1050), quien dedica una obra completa a este tema, Sobre las Reglas de Tres de la India. Aryabhatiya describió la Regla de Tres en estos poéticos términos: “En la regla de tres multiplica el fruto por el deseo y divide por la medida; el resultado será el fruto del deseo“.

La regla de tres ha sido recogida en muchos textos. Por ejemplo, en la Canción del jardinero loco, Lewis Carroll incluye las líneas: “Creyó ver una puerta de jardín / que se abría con una llave: / Volvió a mirar, y descubrió que era / Una doble Regla de Tres”.

El jardinero loco

Y también Rudyard Kipling la menciona en El Libro de la selva:

“You can work it out by Fractions or by simple Rule of Three,
But the way of Tweedle-dum is not the way of Tweedle-dee.
You can twist it, you can turn it, you can plait it till you drop,
But the way of Pilly Winky’s not the way of Winkie Pop!”

o sea

“Puedes resolverlo por Fracciones o por simple Regla de Tres,

Pero el camino de Tweedle-dum no es el camino de Tweedle-dee.

Puedes retorcerlo, puedes girarlo, puedes trenzarlo hasta que se te caiga,

Pero el camino de Pilly Winky no es el camino de Winkie Pop”.

En Francia se usa la “regla de tres” al menos a partir de 1520, aunque todo indica algunos siglos menos. En L’arithmétique nouvellement composée, Estienne de La Roche le dedica un capítulo entero, y la considera la regla más bella de todas.

Gilbert Walusinski

La receta se popularizó a principios del siglo XVIII gracias a las numerosas ediciones del libro de François Barrême, L’Arithmétique du sieur Barrême, ou le livre facile pour apprendre l’arithmétique de soi-même et sans maître. Barrême es autor de obras de cálculos prácticos y tablas de correspondencia que han pasado a la posteridad con el nombre de baremos. Barrême no se preocupa ya por la proporcionalidad, pero en el artículo de la Enciclopedia de Diderot y d’Alembert, si existe esta preocupación. Los dos enciclopedistas la denominan “regla de oro”. Y esa presentación como la regla en sí o como fruto de proporciones, continúa en décadas posteriores. Como ejemplo, cuando en 1960 y 1970 se introducen las mal llamadas “matemáticas modernas”, se busca la interpretación detrás de la regla de tres, poniendo de relieve el concepto matemático que la sustenta, la proporcionalidad. En 1963, Gilbert Walusinski, miembro de la Association des professeurs de mathématiques de l’enseignement public (APMEP), escribió un artículo titulado “La règle de trois n’aura pas lieu” (La regla de tres no tendrá lugar, parafraseando la obra teatral de Jean Giraudoux) criticando el automatismo de la regla de tres y proponirndo problemas en situaciones que movilizaran el espíritu crítico de los alumnos.

Y s que basta unos ejemplos sencillos para darse cuenta de la insustancialidad de la regla de tres:

Si un círculo de radio 2 metros tiene un área de 4 π, entonces uno de radio 4 metros tendría, si aplicamos la regla de tres, 8 π, cuando la respuesta correcta es 16 π. Porque la relación entre el área del círculo y su radio no es lineal, es cuadrática.

Si Juanito tiene a los 5 años una estatura de 1,25 metros, cuando tenga 10 años, mediría 2,50 metros, un futuro jugador de la NBA.

Y así podríamos seguir indefinidamente.

La enseñanza de las matemáticas en España no difieren mucho de lo que ocurre en Francia (y en realidad en cualquier otro país, los problemas son parecidos en casi todos). No defiendo la vuelta a aquellas “matemáticas modernas”, aunque no las repudio, porque el grupo Bourbaki perseguía una mejor fundamentación de las matemáticas y consiguieron un impacto que no se ha detenido (es lo que pasa cuando pones a grandes mentes a pensar juntos). Y cuestionar lo que se hace en cada momento supone siempre reflexionar sobre lo que es mejor, y eso nos puede llevar a cambios sustanciales. Pero sí veo claro que repetir una y otra vez ejercicios sin saber que es en realidad lo que se está haciendo, no va a suponer que se mejore el nivel matemático de nuestros alumnos. Y es mucho más útil para sus mentes conocer como unas cantidades se relacionan con otras que aplicar reglas de oro sin un análisis de su aplicabilidad al caso en cuestión.

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, Real Academia Galega de Ciencias).

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Matemáticas en ‘El vigilante nocturno’

Un lector empedernido como yo se encuentra a veces con sorpresas que relacionan la lectura en cuestión con la profesión matemática que ejerzo. Esto me acaba de pasar con esta novela de Louise Erdrich, ‘El vigilante nocturno’, flamante Premio Pulitzer de 2021.

Esta es la segunda obra que leo de Erdrich, tras ‘Un futuro hogar para el dios viviente’, también en Siruela. La sorpresa ha sido encontrar un contenido matemático tan explícito en el texto en una escritora que no tiene una formación científica ni matemática en particular. Pero textos como este:

“Si hacemos girar un círculo alrededor de un eje, la superficie de revolución sería un toro. Un tubo interior. Se puede obtener un toro hueco o un toro sólido, que es el toro más el volumen dentro del toro; una rosquilla, un cojinete de piedras preciosas. Un husillo metálico gira en un orificio forrado con piedras preciosas que hace de eje. El agujero tiene la forma de un toro, y el mecanismo hace posible el ideal movimiento perpetuo sin fricción.”

El protagonista es Thomas Wazshashk, el vigilante nocturno de una fábrica de engarces para piedras preciosas, en la reserva india de Turtle Monutain, en Dakota del Norte. Digamos que esta novela está basada en hechos reales, y Wazshashk, presidente del reserva, se basa en el propio abuelo de la autora, Patrick Gourneau, indio chippewa. En 1953 tienen la amenaza de una nueva ley de “terminación” cuyo objetivo es privar a los indios de las pocas tierras que ya les habían dejado los diferentes tratados históricos. Gourneau puso en marcha una protesta que acabó en el congreso y consiguió para en gran medida esta ley.

Otro personaje es uno de los profesores del instituto, Barnes, el entrenador del grupo de chicos boxeadores. Fíjense en estos párrafos:

“Le gustaban las matemáticas. Las divisiones largas consquistaron su corzaón muy pronto. Barne shabía deseado con ansia adquirir cada nuevo nivel de conocimiento. Incluso ahora, cuando no estaba boxeando, se pasaba las horas muertas con polinomios. Los números lo acompañaban a lo largo del día. Advertía conexiones y repeticiones. Con la smatrículas de los coches y los números de teléfono hacía ecuaciones. Incluso el boxeo se basaba en la cantidad de minutos, asaltos, sanciones o puntos. También asociaba núemros a las personas. Veía a Pixie como un 26, aunque solo tuviera diecinueve años, pero le encantaba la caída en picado del 2 y el caracol del 6. Le pegaba. Y le transmitía una sensación de 2 elevado a 6.”

Pixie (Patricia) es la otra gran protagonista del libro. Trabajadora de la fábrica de piedras preciosas, y sobrina de Thomas, está comenzando a construir su personalidad como mujer. Tras un alucinante viaje a Minnesota para encontrar a su hermana Vera, se implica también en la lucha por la supervivencia de la reserva, convitiéndos een el apoyo “oral” para Millie.

El alma de la delegación que se envía al Congreso a Washington es Millie, una joven india que ha conseguido estudiar en la universidad y que ha hecho un trabajo de investigación (un TFG que diríamos ahora) sobre las condiciones económicas de la reserva y que será el arma de ataque contra la propuesta del senador Arthur V. Watkins. Y este es el gran personaje matemático. Su mente es lógica pura, sus vestidos se basansiempre  en formas geométricas, y se la conoce por el apodo de Cuadrado o Cuadros. Cuando comparece en el Congreso, Millie piensa:

“No bajaré la vista para mirarme el vestido. No me perderé en las mangas. Pero estaré bien porque estoy vestida con los elementos de la geometría.”

La novela refleja esa dualidad material/espiritual de la cultura india, se podría hablar de un realismo mágico. Las auroras boreales pueden ser los espíritus de los muertos bailando en el cielo. Y Millie piensa:

“Incluso con el frío metido hasta el tuétano, Millie se quedo observándolas durante un tiempo más, llegando a la conclusión de que una explicación no descartaba la otra, que los electrones cargados podían ser espíritus, que nada descartaba nada, que las matemáticas eran una forma rigurosa de locura, que ella saldría en una cita formal con Barnes, que tenía que hacerlo porque él se lo había pedido con una ecuación y ¿quién podía decir que no a eso?”

Louise Erdrich

Una novela muy recomendable; los detalles sobre el libro están en la web de Siruela y para concer mejor a la autora, esta web.

Y en este video se puede encontrar la historia de Patrick Gourneau

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, Real Academia Galega de Ciencias).

 

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Shanghai de nuevo

El ranking de Shanghai ataca de nuevo en estas fechas, y de nuevo, llegan las reacciones de los responsables de nuestras universidades. El ranking no cambia mucho en lo que respecta a España (somos foto fija) pero tampoco lo hacen las reacciones de rectores y vicerrectores. Vaya aquí una reflexión sobre los resultados globales del ranking, especialmente en lo que se refiere a las matemáticas.

 

La situación de nuestras universidades no es la que nos gustaría, y no vale ya el discurso de que estos rankings están siempre sesgados por las universidades anglosajonas, especialmente las norteamericanas. Estas siguen copando los lugares de excelencia, pero atmbién lo es que universidades como Paris-Saclay (Francia), el ETH Zurich (Suiza), Universidad de Tokyo (Japón), Tsinghua (China), Copenhague (Dinamarca), Melbourne (Australia), Pekín (China), Sorbona (Francia), Münich (Alemania), entre otras, se han instalado en esos lugares de priviligio. Recordemos que la primera universidad española es la Universidad de Barcelona (a partir del puesto 151), y el resto están en los puestos a partir del 201 al 300, y más allá del 301.

Si vamos a las Matemáticas específicamente, sorprende relativamente ver encajada en el segundo puesto a la Universidad de Princeton, entre la número uno, París-Saclay, y la tercera, la Sorbona. Y encontramos a los grandes actores británicos en matemáticas, como Cambridge, Oxford (y también Imperial College, Warwick) acompañados de Bonn (Alemania), la Universidad Hebrea de Jerusalem y Tel-Aviv (Israel), Fudam, Pekín y Thinghua (China), entre otras. De nuevo España no aparece hasta los puestos del 76 al 100 con la Universidad Politécnica de Cataluña y Granada, y desde el 101 al 150 la Universidad Autónoma de Madrid, la Universidad Complutense, etc., y el resto mucho más atrás.

El argumentario rectoral se ha enfocado desde hace unos años a decir que lo importante es estar entre las 500 primeras. Parece un argumento muy pobre, y no indica que haya intenciones de salir de esta situación. De hecho, estos rankings llevan ya muchos años funcionando, este de Shanghai desde 2003. Algunos científicos critican la realización de estos rankings. Se basa este fundamentalmente en el impacto de la investigación que desarrolla cada universidad, medido en artículos de investigación y en logros individuales. En cualquier caso, es una fotografía de la realidad, y lo que tocaría es tomar medidas para poder salir mejor en esa foto, poniendo en marcha los cambios que sean necesarios.

Una y otra vez he repetido que el primer problema de nuestras universidades es la gobernanza. Una universidad no se puede gestionar de manera eficiente mediante un claustro elegido por sufragio universal . El equipo de gobierno debe poseer la capacidad de tomar las medidas que estime oportunas y no esperar a una aquiescencia universal, tipo asambleario. Me he encontardo con muchos rectores que en su despacho te dicen que si, que habría que hacer este o aquel cambio, pero que lo que venga de los deparatmentos no se puede tocar.

Una vez resuelta la gobernanza (y hay muchos modelos a copiar y adaptar en muchos países), hay que mirar la financiación. Es verdad que están infrafinanciadas, pero también que no siempre se buscan los mejores profesores y los concursos de selección de profesorado son meros trámites. Hay un escalafón, y una vez que te van acreditando en la ANECA y similares (y lo que se pide no es la excelencia sino un cumplimiento de mínimos), hay que ponerse a la cola y conseguir entonces el puesto fijo.

El Ministerio de Universidades ha convocado recientemente un nuevo programa de ayudas para fomentar la recualificación y la movilidad internacional en las universidades, con tres modalidades: para jóvenes doctores (Ayudas Margarita Salas), para la atracción de talento internacional (Ayudas María Zambrano) y para la Recualificación del Personal Docente e Investigador. Son 387,15 millones de euros a usar en el período 2021-2023. Y son la suniversidades las encargadas directamente de gestionarlo. Ahí tienen una oportunidad de mostrar sus modos de selección. No es una gran cantidad, pero se añade a los programas habituales de Juan de la Cierva, Ramón y Cajal y Torres Quevedo. Esperemos los resultados, y sobre todo, que den cuenta pública de cómo han utilizado esos nuevos recursos.

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, Real Academia Galega de Ciencias).

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Qué pregunten ellas

En estos días pasados he visto varias referencias en medios británicos sobre este estudio Scientific medical conferences can be easily modified to improve female inclusion: a prospective study, publicado el 29 de julio en The Lancet, por Victoria Salem, Jordan McDonagh, Elizabeth Avis, Pei Chia Eng, Sue Smith y Kevin G Murphy. Van aquí algunos comentarios sobre el estudio y la temática.

El estudio se refiere al ámbito de la mdicina, pero veremos que es extrapolable a la ciencia en general y a las matemáticas en particular. Comienza con estas frases muy elocuentes: “Las mujeres siguen estando claramente infrarrepresentadas en los puestos directivos del cuerpo médico, a pesar de representar la mitad de los estudiantes de medicina durante más tiempo del que debería haber sido necesario para corregir este desequilibrio.

El 35% de los especialistas de Endocrinología en el Reino Unido son mujeres, y la paridad de género se observa en los grados de formación (43% de mujeres, 57% de hombres), lo que la convierte en una especialidad adecuada para examinar la infrarrepresentación de las mujeres en la medicina.”

Este panorama es parecido al que se observa en matemáticas en nuestras facultades y el CSIC. Los congresos médicos y científicos son plataformas importantes para que los médicos y académicos aumenten su visibilidad profesional, así que los autores analizaron la participación femenina en la conferencia nacional anual de la Sociedad de Endocrinología del Reino Unido, y realizaron una serie de acciones para incrementar la participación de mujeres. A pesar de conseguir un equilibrio en las sesiones, constatron que las preguntas por parte de las asistentes mujeres fueron muchas menos que las de los hombres. Pero al presidir más mujeres las sesiones si se notó un aumento en 2018 respecto al mismo congreso en 2017; pudiera ser que esa presencia animara a las asistentes.

El estudio afirma que “las barreras para la progresión académica femenina son tanto intrínsecas (confianza, ambición, conciliación de la vida laboral y familiar) como extrínsecas (sexismo, cultura y lugar de trabajo). Los cambios organizativos que apoyan a las mujeres para que alcancen sus objetivos profesionales son tan importantes como animarlas a autopromocionarse.”

Y ahora llega el momento de comentar las lecciones que podemos aprender de este estudio, y como utilizar los congresos de matemáticas para acelerar la plena inclusión de las mujeres. En primer lugar, cuando se organiza un congreso hay dos Comités: el Comité Organizador (local) y el Comité Científico (internacional). Pongamos la primera piedra seleccionando en ambos una aceptable cantidad de mujeres competentes en la temática, que las hay. El segundo paso es la selección de conferenciantes invitados: procedamos de la misma manera. Me he visto personalmente en estas circunstancias, y en algún momento me ha tocado decir: ¿cómo que no hay investigadoras de primera fila en esta área? Mira esta, y esta, y esta otra. Los matemáticos del género masculino tenemos la tendencia de pensar primero en colegas masculinos, pensemos dos veces.

Sobre la propia dinámica del congreso, imitemos las acciones de nuestros colegas británicos: como chairs o presidentes de sesiones, busquemos mujeres, que ellas conduzcan la presentación del conferenciante y después el turno de preguntas. Y, previamente, animemos a las investigadoras jóvenes a que hagan preguntas y comentarios. Creemos así un clima favorable, ganaremos mucho.

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, Real Academia Galega de Ciencias).

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Cazando leones en el Sáhara con matemáticas

There’s letters sealed; and my two schoolfellows,
Whom I will trust as I will adders fanged,
They bear the mandate; they must sweep my way
And marshal me to knavery. Let it work,
For ’tis the sport to have the enginer
Hoist with his own petard; and ’t shall go hard
But I will delve one yard below their mines
And blow them at the moon. O, ’tis most sweet
When in one line two crafts directly meet.
— Prince Hamlet, in Hamlet, Act 3, Scene 4.

 

Contábamos en la última entrada de Matemáticas y sus fronteras la historia de la matemática Blanche Descartes, émula del matemático Héctor Pétard, famoso por su artículo “A Contribution to the Mathematical Theory of Big Game Hunting”, publicado en la prestigiosa revista  Amer. Math. Monthly 45  en 1938. Vamos a recordar el contenido del artículo.

 

Después de establecer que el autor es el señor H. Pétard, de Princeton, New Jersey, éste indica que “Esta disciplina matemática poco conocida no ha recibido, en los últimos años, en la literatura la atención que, en nuestra opinión, merece. En el presente trabajo presentamos algunos algoritmos que, esperamos, puedan ser de interés para otros trabajadores en este campo. Dejando de lado los métodos más obviamente triviales, limitaremos nuestra atención a aquellos que implican aplicaciones significativas de ideas conocidas por matemáticos y físicos.“

Y así se propone describir las aplicaciones de estos tres campos: las matemáticas, la física teórica y la física experimental. Y para simplificar su exposición, se concentra en los leones del Sáhara.

Digamos que tras Henry Pétard se esconden matemáticos como Ralph Boas y Frank Smithies, y que el nombre viene sugerido por una frase del príncipe Hamlet en la famosa tragedia de William Shakespeare, y que es ya un dicho proverbial: “Hoist with his own petard“, “elevarse con su propio petardo”, una manera de referirse a la justicia poética. En la obra, Hamlet ha descubierto un complot contra su vida por parte de Claudio y resuelve responder a él dejando que el conspirador sea “colgado de su propio petardo”.

Desde las matemáticas, el primer método propuesto es, como no, el axiomático:

EL MÉTODO DE HILBERT O AXIOMÁTICO

Colocamos una jaula cerrada en un punto determinado del desierto.

A continuación, introducimos el siguiente sistema lógico.

AXIOM I. La clase de los leones en el desierto del Sahara es no vacía.

AXIOMA II.

Si hay un león en el desierto del Sahara, hay un león en la jaula.

REGLA DE PROCEDIMIENTO.

Si p es un teorema, y “p implica q” es un teorema, entonces q es un teorema.

TEOREMA I.

Hay un león en la jaula.

 

Hay 8 métodos más, pero no me resisto a destacar este:

EL MÉTODO DE PEANO

Construir, por métodos estándar, una curva continua que pase por cada punto del desierto. Se ha observado (1) que es posible atravesar tal curva en un tiempo arbitrariamente corto. Armados con una lanza, atravesamos la curva en un tiempo más corto que el que tarda un león en desplazarse.

 

La física teórica tampoco se anda por las ramas, y entre sus 4 métodos, destacaría estos dos:

EL MÉTODO DE DIRAC

Observamos que los leones salvajes no son, ipso facto, observables en el desierto del Sahara. Por lo tanto, si hay leones en el Sahara, son mansos. La captura de un león manso puede dejarse como ejercicio para el lector.

EL MÉTODO DE SCHRÖDINGER

En cualquier momento hay una probabilidad positiva de que haya un león en la jaula. Siéntese y espere.

 

La física experimental también proporciona métodos muy astutos:

EL MÉTODO TERMODINÁMICO

Construimos una membrana semipermeable, permeable a todo excepto a los leones, y la arrastramos por el desierto.

EL MÉTODO DE LA DESINTEGRACIÓN ATÓMICA

Irradiamos el desierto con neutrones lentos. El león se vuelve radiactivo y se inicia un proceso de desintegración. Cuando la desintegración haya avanzado lo suficiente, será incapaz de luchar.

En los agradecimientos, el autor reconoce su deuda con el Trivial Club del St. John’s College, Cambridge, Inglaterra; con el capítulo del M.I.T. de la Society for Useless Research, con la F. o. P., de la Universidad de Princeton; y con numerosos colaboradores individuales, conocidos y desconocidos, conscientes de haberlo hecho o no.

Encontré recientemente otro artículo sobre este tema,  dedicado por cierto a a Hector Petard, y a su esposa Betti Petard (apellidada Bourbaki de soltera). El artículo en cuestión se titula “Big game hunting for graduate students in mathematics”, y los autores son Jayadev Athreya y Apoorva Khare. Después de recordar la amplia literatura dedicada a este tema  los autores proponen nuevos métodos, basados en áreas matemáticas más modernas, como la Geometría Algebraica, los Métodos Estocásticos o la Teoría de Lie.

Citemos solo una de ellas (los lectores pueden disfrutar el resto en el artículo:

“Constatamos que la captura de leones es fácil o no. Si es fácil, dejamos el problema al lector; por el momento, asumimos que la situación es compleja. Consideramos la representación de los leones en el desierto del Sahara, todos ellos leales a su manada; se trata de una representación bastante simple de su grupo. Se trata, pues, de una representación simple y fiel del “grupo de Lieo”. Sin embargo, también observamos (cf. National Geographic) que los leones conmutan entre sí. Así pues, este grupo de Lie es abeliano y, por tanto, sólo tiene caracteres unidimensionales.  En la representación del orgullo considerada anteriormente, el carácter dado por la inteligencia sería entonces una potencia del carácter del orgullo. Dado que el orgullo no es lo suficientemente potente como para producir ninguna inteligencia, los leones son estúpidos. Capturar un león estúpido es fácil.”

Volveremos con nuestro intrépido matemático cazador de leones, Héctor Pétard, muy pronto.

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, Real Academia Galega de Ciencias).

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Famosos matemáticos que nunca existieron V: Blanche Descartes

Hemos publicado varias entradas sobre matemáticos ficticios cuyoa sonoros nombres solían esconder a grupos de matemáticos que, bien por diversión, o bien por mantener el anonimato, los hacían autores de sus propias obras. Hoy hablaremos de otro matemático, o más bien, matemática, Blanche Descartes.

 

Blanche Descartes

Blanche Descartes fue un seudónimo de colaboración utilizado por cuatro matemáticos ingleses R. Leonard Brooks, Arthur Harold Stone, Cedric Smith y W. T. Tutte. Se conocieron en 1935, como estudiantes de Cambridge en el Trinity College, y decidieron usar este seudónimo; si combinamos las iniciales de los nombres, Bill, Leonard, Arthur y Cedric, aparece BLAC, que pasó a ser BLANCHE. Según cuentan en el artículo “The Story of Blanche Descartes”, por Cedric A. B. Smith and Steve Abbott, publicado en The Mathematical Gazette Vol. 87, No. 508 (Mar., 2003), pp. 23-33 (11 pages), un colega les habló de un grupo de matemáticos que habían publicado un artículo sobre como cazar un león en el desierto: coloca una esfera, métete dentro, inviértela y entonces el león estará dentro y tú fuera. Habían usado el seudónimo de Héctor Pétard (por cierto, uno de esos matemáticos era nada menos que Ralph Boas), así que ellos pensaron en hacer algo parecido. El artículo en cuestión era este:

Petard, H. A Contribution to the Mathematical Theory of Big Game Hunting. Amer. Math. Monthly 45 (1938), no. 7, 446–447

y en este enlace se puede lerr https://www-math.ucdenver.edu/~wcherowi/mathmajor/archive/catchlion.pdf  Les invito a hacerlo, el artículo no tiene desperdicio.

Ralph Boas

Volviendo a nuestros cuatro amigos, una vez que acordaron lo de Blanche y dado que Carte Blanche era una frase común, pasaron a Blanche Descartes. Y as u marido, conocido como Filet de Carte Blanche. El artículo contiene además mucha información sobre las vidas y trabajos de los cuatro amigos.

Lo que escribió Blancge Descartes es variado: poemas, piezas himorísticas pero también resultados relevantes en matemáticas. Algunos de ellos se describen en el citado artículo, y están en general relacionadas con problemas de teoría de grafos y matemática discreta. Probaron por ejemplo que un cuadrado puede dividirse en cuadrados más pequeños, de los que no hay dos iguales. También descubrieron la conocida como “disección de Blanche”, un método para dividir un cuadrado en rectángulos de igual área pero diferentes dimensiones y que modelaron con redes eléctricas.  que modelizaron mediante redes eléctricas abstractas.

En MathSciNet se puede encontrar una reseña de uno de sus artículos (Network-colourings. Mat. Gaz. 32, (1948). 67–69), sobre grafos de grado 3 que no pueden ser factorizados en tres grafos de grado 1, reseña firmada por uno de los grandes matemáticos de la época, H. S. M. Coxeter. Ese artículo fue en realidad escrito por Bill Tutte, y está relacionado con el problema de los Cuatro Colores. De hecho, en MathSciNet se pueden encontrar dos artículos más

Descartes, Blanche; Book Review: Graph theory with applications. Bull. Amer. Math. Soc. 83 (1977), no. 3, 313–315.

Ungar, Peter; Descartes, Blanche; Advanced Problems and Solutions: Solutions: 4526. Amer. Math. Monthly 61 (1954), no. 5, 352–353.

Uno de ellos está escrito en colaboración con Peter Ungar.

Bill Tutle fue también el autor del poema “Hymne to Hymen”, concebido como regalo al ficticio Hector Pétard, el día de su boda con Betti Bourbaki, hija de Nicolas Bourbaki. Las razones para el poema fueron estas: Tras escribir el artículo sobre la caza de leones, el profesor W.R. Dean afirmó: “Dijo el Amor, mi sueño se ha hecho realidad, encontró una solución a la ecuación biharmónica”. El poema tampoco tiene desperdicio, es un prodigio de imaginación y humor, y está publicado en The Mathematical Gazette:

Vol. 86, No. 505 (Mar., 2002), pp. 133-136 (4 pages) por Blanche Descartes and C. A. B. Smith.

Para conocer más sobre la historia de Blance Descartes, remito a los lectores al artículo  citado “The Story of Blanche Descartes”, por Cedric A. B. Smith and Steve Abbott. También en este enlace  se pueden encontrar muchos detalles sobre estos “cuatro” amigos.

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, Real Academia Galega de Ciencias).

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