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‘Historias de pi’

Historias de pi: Cuando Sir Francis Galton nos enseñó como dividir una tarta redonda

El 20 de diciembre de 1906, sir Francis Galton publicó un breve artículo en la sección de Cartas al Editor de Nature con el título: “Cutting a Round Cake on Scientific Principles” (“Dividiendo una tarta redonda siguiendo principios científicos”). La comentamos en esta entrada porque es una auténtica curiosidad de un científico tan relevante como Galton.

Sir Francis Galton, 1840

Galton escribe:

NAVIDAD sugiere tartas, y estas el deseo por mi parte de describir un método de cortarlas que he ideado recientemente para mi propia diversión y satisfacción.  El problema a resolver era: “dado una tarta de te redonda de unas 5 pulgadas de ancho, y dos personas de moderado apetito para comerla, de qué manera debería dividirse para dejar un mínimo de superficie expuesta a secarse”. El método ordinario de cortar una cuña es muy defectuoso en este sentido. El resultado que hay que conseguir es cortar el pastel de forma que las porciones restantes encajen.

El texto incluye unas figuras

 

con este texto explicativo debajo:

Las líneas a trazos muestran el corte previsto. Las líneas rectas continuas muestran los cortes realizados. Los trozos se mantienen juntos mediante una banda elástica común que encierra el conjunto. En las figuras anteriores, cada una de las dos operaciones sucesivas elimina aproximadamente un tercio de la superficie del disco original.        

En consecuencia, las cuerdas (o los arcos) de las circunferencias de estas porciones deben ser iguales. La dirección de los dos primeros planos verticales de la sección no es importante; pueden pueden ser paralelos, como en la primera figura, o pueden encerrar una  cuña. Los cortes que se muestran en las figuras representan aquellos de dejar que la tarta dure tres días, cada operación sucesiva ha eliminado aproximadamente un tercio de la superficie del disco original. Una banda de goma común abraza el conjunto y mantiene los trozo unidos.

F.G.

Repartir tartas entre varios comensales es un problema matemático que da mucho juego, sobre todo si se quiere hacerlo de manera equitativa. Por ejemplo, en este video

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se indica una manera de hacer el reparto cuando tenemos tres participantes, método generalizable a muchos más, lo que complicaría muchísimo el proceso. En el video no se trata en realidad de un problema de geometría, más bien de teoría de la elección.

Como hablamos de tartas redondas, la geometría si nos da pistas. Lo habitual es dividir la tarta en cuñas (sectores circulares) iguales, porque nos vamos a comer toda la tarta ya, y no tenemos la preocupación de Sir Francis Galton de que se reseque. Y para hacerlo, ya sabemos que los sectores circulares deben ser iguales, y si está presente un matemático, le pueden pedir que divida 360º entre el número de comensales (la broma usual). Y ya puestos, que calcule el área y el volumen de cada trozo resultante (pi en danza).

Pero si la tarta es muy grande, las cuñas pueden ser demasiado largas y poco manejables. En este artículo, Cómo cortar un pastel redondo grande para que salgan porciones decentes,  hemos encontrado una solución muy ingeniosa. Se trazan dos circunferencias, tal y como se ve en la figura, y se cortan las cuñas, pero ahora ya son más cortas, tal y como en el video. Con el centro, vale la sugerencia del video o dividirlo a su vez

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Solo me queda pedirles que disfruten de la tarta.

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, Real Academia Galega de Ciencias).

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Historias de Pi: en búsqueda de la identidad

En entradas anteriores hemos visto como la relación entre la longitud de una circunferencia y su diámetro era constante, la misma que nos da la relación entre el área de un círculo y el cuadrado de su radio. A esa constante la bautizamos como número π. Pero, ¿cuál es la naturaleza de este intrigante número cuyas cifras decimales no terminan nunca?

William Oughtred

Para investigar sobre sus señas de identidad, vayamos primero al nombre,  y también a la notación, al símbolo que lo representa. La notación con la letra griega π proviene de la inicial de dos palabras griegas: περιφέρεια (periferia) y περίμετρον (perímetro). Esta notación se debe al matemático y clérigo inglés William Oughtred (1574-1660) (a quien, por cierto, se le deben muchas otras notaciones); previamente se representaba por la letra p. Oughtred usaba la relación π/δ, donde δ era el diámetro en su obra Clavis Mathematicae (1647).

William Jones

 

Más adelante, el matemático galés William Jones (1675-1749) en su obra de 1706, Synopsis Palmariorum Matheseos, utiliza la letra griega π en la discusión de un círculo con radio uno tal como se muestra en la imagen

Jones, sin embargo, comenta que esas ocasiones son debidas “al ingenioso Sr. John Machin (1686-1751), quien en 1706 consiguió el logro de calcular 100 cifras decimales de pi. Así que quizás Machin fue al auténtico padrino. En cualquier caso, los matemáticos siguieron usando la notación en fracción de Oughtred hasta que Leonhard Euler la popularizó en sus obras Mechanica (1736) e Introductio in analysin infinitorum (1748). La influencia de Euler pudo con cualquier otro intento, como el previo de denominarlo constante de Ludolph, en honor al matemático alemán Ludolph van Ceulen (1540-1610), quién había calculado valor de π con una aproximación de 20 cifras decimales en su libro Van den Circkel (1596) que extendió a 35 algo más tarde. Después de su muerte, el “Número de Ludolphine”,

3,14159265358979323846264338327950288…,

fue grabado en la lápida de su tumba en Leiden.

 

Réplica de la tumba de Ludolph van Ceulen

Aparte de estas pinceladas acerca del nombre, lo esencial era determinar su naturaleza como número.

π  es un número irracional, es decir, no puede expresarse como fracción de dos números enteros: Este hecho lo demostró el matemático suizo-alemán Johann Heinrich Lambert (1728-1777). Lambert expresó  π  como una fracción continua infinita. Como una fracción continua finita se puede expresar mediante un número racional y viceversa, si π fuera racional, debería existir tal fracción continua.

Johann Heinrich Lambert

Más adelante, Charles Hermite encontró una prueba que no requiere ningún conocimiento previo más allá del cálculo básico. Y otras simplificaciones de esta prueba de Hermite son debidas a Mary Cartwright, Ivan Niven y al grupo Nicolas Bourbaki. Otra prueba, simplificación de la prueba de Lambert, se debe a Miklós Laczkovich.

En 1882, el matemático alemán Ferdinand von Lindemann demostró que π no sólo es irracional, sino también trascendental, es decir, que no es la raíz de ningún polinomio de coeficientes enteros.

 

Carl Louis Ferdinand von Lindemann

También se sabe que π no es tampoco lo que se llama un número de Liouville, que son aquellos números trascendentes que no se pueden aproximar por una sucesión de números racionales “rápidamente convergente”, o en otras palabras, los “mejor aproximados” por racionales.

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, Real Academia Galega de Ciencias).

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Los círculos de Fred Vargas

Como los habituales de este blog saben, soy un lector empedernido, vicio o virtud que cultivo desde que tengo uso de razón. Y en mi lectura de la serie del comisario Jean-Baptiste Ademsberg, de la premio Princesa de Asturias de las letras de 2018, Fred Vargas (seudónimo de Frédérique Audoin-Rouzeau), me he encontrado con una inesperada afición a los círculos y al número pi.

No es la primera vez que Vargas hablaba de círculos; en su debut con El hombre de los círculos azules (L’Homme aux cercles bleus) en 1991, un extraño personaje se entretenía en dibujar círculos en las calles de París colocando en su centro objetos cotidianos, algo inocente hasta que los círculos comenzaron a rodear algún que otro cádaver.

 

Fred Vargas

Pero es el tercer y último cuento de los incluidos en el libro Fluye el Sena (Coule la Seine), y titulado “Cinco francos unidad” (Cinq francs pièce), un estrambótico vendedor ambilante de esponjas de baño es testigo accidental de un intento de asesinato de una mujer en las calles de París. Y este es el nombre de tal singular personaje, Pi Toussaint. Cuando su madre puso su nombre en el registro, alguien puso una taza de café encima y del nombre (posiblemente Pierre) solo quedó Pi.

Adamsberg sabe que Pi tiene más información de la que está dando, y trata de convencerlo para que la suelte. Así llegamos a un diálogo extraordinario:

“ – De hecho – dijo súbitamente Pi, pasándose el saco de dormir de un brazo al otro -, yo también tengo ideas.

-       ¿Sobre qué?

-       Sobre los círculos. Es de nacimiento. Por ejemplo, el botón de su chaqueta, ¿tiene usted idea de su circunferencia?

Adamsberg se encogió de hombros.

-       No sé si me había fijado nunca en este botón.

-       Pues yo sí. Y diría que ese botón tiene un perímetro de cincuenta y un milímetros. “

Y ahora, una vuelta de tuerca. Como el comisario le quita importancia, Pi le recuerda:

“ – Tiene narices que un policía no vea que ésa es la clave del mundo. Cuando era pequeño, en la escuela de la Asistencia, me llamaban 3,14. ¿Entiende el chiste? ¿Pi = 3,14? ¿El diámetro del círculo multiplicado por 3,14 igual a la circunferencia? Pues bien, esa borma fue el chollo de mi vida. Así que ya lo ve, igual fue una gran suerte el que mi nombre se disolviera con el café. Me convertí en un número. Y no en un número cualquiera, ¡ojo!

-       Entiendo – dijo Adamsberg.

-       No puede usted hacerse una idea de todo lo que sé. Porque pi funciona con cualquier círculo. Lo dijo un griego en la antigüedad. Eran muy listos los griegos. “

Finalmente, Adamsberg consiga vencer la desconfianza de Pi y va obteniendo más información sobre la lumer, conectada al Ministerio del Interior, y de la que no se menciona, por confidencialidad, su nombre:

“- Bueno, pues entonces vamos a darle un número, como a mí. Será más caritativo que llamarla “la mujer”. Vamos a llamarla “4.21”, porque ha tenido mucha suerte.”

Y es que el “421” es un juego de dados muy popular en Francia.

Como ocurre con otras obras de Fred Vargas, este cuento se ha publicado como novela gráfica, con el título de Le Marchand d’éponges, ilustrado por Edmond Baudoin y publicado por la editorial J’ai Lu en 2013.

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, Real Academia Galega de Ciencias).

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Historias de Pi: calculando el área del círculo

En una entrada previa, reflexionamos sobre le relación entre la longitud de una circunferencia y su diámetro, que, como aprendimos en la escuela, es  el número π . Una relación similar ocurre cuando queremos calcular el área de un círculo, que sabemos es el cuadrado del radio multiplicado por π. Pero esta relación de proporcionalidad , intuitiva sin duda, tampoco es tan evidente.

 

Estos teoremas de la geometría (pues eso son) que se enuncian tan fácilmente y que aprendemos de manera universal, tienen demostraciones muy sutiles. Ya vimos en la entrada aludida que la prueba del correspondiente a la longitud de una circunferencia descansa en una noción que los matemáticos tardaron siglos en formalizar adecuadamente, la de límite (o si se quiere, la de su prima hermana, la derivada).

 

Arquímedes según Domenico Fetti (1620)

Una primera prueba de que el área de un círculo de radio r es A = π  r2 se debe a Arquímedes. Si pensamos en una sucesión de polígonos regulares inscritos en el círculo, sabemos que el área de cada uno de ellos es la mitad del perímetro multiplicado por la distancia del centro a sus lados (la apotema). Si imaginamos ahora al límite (por ejemplo, cuando el número de lados tiende a infinito), entonces

A = ½ x 2 π r x r

Previo a Arquímedes, Hipócrates de Quíos (470 a.C.-410 a. C.) probó que el área de un círculo era proporcional al cuadrado del diámetro, cuando trataba de resolver el problema de la cuadratura del círculo (construir un cuadrado con el mismo área de un círculo dado solamente con regla y compás). Hipócrates lo quiso resolver con el llamado problema de la cuadratura de la lúnula (veáse la figura 1).

Figura 1

Arquímedes utilizó el llamado método exhaustivo, introducido por Eudoxo de Cnido (390 a. C.-37 a. C) introdujo el método exhaustivo, un antecedente del cálculo integral, para probar que el área de un círculo era proporcional al cuadrado del radio. En el razonamiento de Arquímedes, en el paso al límite, se usa de una manera no rigurosa pero acertada como las secantes (los lados de los polígonos) se aproximan a la longitudes de arco, y las apotemas al radio.

Es interesante recordar los argumentos de Arquímedes. Primero, compara el área del círculo con la de un triángulo rectángulo cuya base mida lo mismo que la longitud de la circunferencia y cuya altura sea el radio. Entonces razona: supongamos que no coincidan, o sea que será mayor o menor, y en cada caso, llega a una contradicción. ¿Qué tiene esto que ver con los polígonos inscritos? Sea A el área del círculo y a la del triángulo, y sea E el exceso en el caso de que A sea mayor que a = 1⁄2cr, donde c es la longitud de circunferencia y r el radio. Inscribimos un cuadrado en el círculo, y nos quedan cuatro segmentos iguales. Sea S4 el área de esos cuatro segmentos y supongamos que S4  es mayor que E. Si ese es el caso, divido cada segmento en dos y obtenemos un octógono. Hacemos lo mismo, contamos el área de esos ocho segementso, que será S8 . De nuevo, vemos si es mayor que E, y así hasta que lleguemos a un polígono de n lados tal que el correspondiente área Sn sea menor que E. Entonces el área del polígono será Pn = A – Gn, mayor que la del triángulo.

Y ahora llega la contradicción. Trazamos una apotema de longitud h. Si cada lado del polígono mide s, entonces el perímetro, ns, es menor que c. El área del polígono es ½ nsh. Como h es menor que r y ns menor que c, el área del polígono debe ser menor que la del triángulo, lo que es una contradicción.

El argumento en el otro caso funciona de manera parecida, y en consecuencia, debe darse la igualdad.

Hoy en día tenemos instrumentos mucho más precisos. La integración nos permite calcular el área de un círculo de varias formas, muy elegantes y sencillas.

Me gustaría terminar con una reflexión sobre el ingenio de los matemáticos de otras épocas, que sin contar con las técnicas del cálculo diferencial e integral fueron capaces de obtener logros que ahora nos parecen evidentes.

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, Real Academia Galega de Ciencias).

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Historias de Pi: de la geometría al número

Como todos sabemos, π es la relación entre la longitud de una circunferencia y su diámetro. Una definición puramente geométrica. Vamos a hablar de esta curiosa relación que impregna las matemáticas.

 

 

La definición de círculo aparece en el Libro I de Los Elementos; dice Euclides:

Definición 15. Un círculo es una figura plana comprendida por una sola línea (llamada circunferencia) de tal modo que todas las rectas dibujadas que caen sobre ella desde un punto de los que están dentro de la figura son iguales entre sí.

Definición 16. Y el punto se llama centro del círculo.

Definición 17. Un diámetro de un círculo es una recta cualquiera que pasa por el centro y que acaba en ambas direcciones en la circunferencia del círculo; esta línea recta también divide el círculo en dos partes iguales.

Y añade este postulado:

Postulado 3. Hay una sola circunferencia con un centro y un radio dados.

Desde el punto de vista puramente geométrico, la pregunta que uno se debería hacer es esta: ¿Por qué el cociente entre la longitud de una circunferencia dada y su diámetro es una constante?

A simple vista, parece bastante intuitivo. Si aplicamos un zoom a una circunferencia, vemos como la forma no cambia y a medida que va aumentando, el diámtro también lo hace, y lo mismo si disminuyéramos el tamaño. Pero claro, esto no es una demostración.

Vamos a mostrar algunas demostraciones que circulan por la red (se anima a cualquiera que conozca demostraciones de este tipo a enviar un mensaje al blog con la referencia).

Dados dos círculos concéntricos como en la figura 1, tales que el radio del más pequeño es r, mientras que el del más grande es R. Sus circunferencias tienen longitudes c y C, respectivamente. Dibujamos dos segmentos desde el centro hasta formar los dos triángulos de la figura, que serán semejantes, ya que la proporción de los lados es la misma y tienen el ángulo común α.

 

Figura 1

Por lo tanto,  las cuerdas guardarán la misma proporción. Si β es el ángulo de  que corresponde al círculo completo ( 360o ), entonces β/α . k = β/α . K , donde k y K son las longitudes de las espectivas cuerdas. Entonces, c/C se aproximaría a r/R, y si ahora ahora α  se fuera haciendo cada vez más pequeño, serían iguales. En conclusión, c/r = C/R.

Esta demostración padece de cierta rigurosidad, pero da una idea. Se puede proponer otra parecida basada en considerar polígonos inscritos en cada una de las circunferencias y también usar un argumento de paso al límite. Este razonamiento es similar al que usó Arquímedes para demostrar la afirmación similar relativa a la relación de las áreas de dos círculos en relación con los cuadrados de los radios respectivos.

Por supuesto, lo más riguroso sería considerar la fórmula para la longitud de un arco. En nuestro caso, el teorema de Pitágoras (Figura 2) nos dice que la función que define la circunferencia es

f(x) = √r2 –x2

y de ahí integramos la función longitud de arco

entre –r y r.

Figura 2

El resultado (tras un cambio de variable) nos dirá que esa longitud es s = r c0 , donde c0  es una cosntante que no depende de r. En consecuencia, la longitud de esta circunferencia arbitraria será

C = 2 s = 2 c0 r

y por lo tanto  la relación entre la longitud de una circunferencia y su diámetro es constante, precisamente c0 (que no es más que el número π.

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, Real Academia Galega de Ciencias).

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