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¿Jugamos al billar cuántico?

En el post anterior nos preguntábamos si un gran jugador de billar, Paul Newman en su papel de Eddie Felson en El Buscavidas, era un experto en sistemas dinámicos. Evidentemente, Newman no necesitaba realizar elaborados cálculos matemáticos antes de realizar sus lanzamientos, a pesar de que el sistema dinámico del billar no es sencillo desde el punto de vista matemático. La explicación es que al billar se aprende a jugar con la experiencia, acompañada, cómo no, de una cierta habilidad. Así, podemos llegar a jugar muy bien sin necesidad de resolver las ecuaciones de su dinámica.

Trayectorias del estadio de Bunimovich

La mecánica clásica estudia el movimiento de los cuerpos físicos a escala natural. Sin embargo, cuando analizamos el movimiento de partículas muy pequeñas, como los electrones, las leyes de la mecánica clásica ya no funcionan tan bien. La teoría adecuada para estudiar los procesos físicos del mundo atómico y subatómico es la mecánica cuántica. Algunos hechos muy conocidos de esta teoría son que no se puede determinar simultáneamente y con total precisión la posición y velocidad de una partícula cuántica (principio de incertidumbre de Heisenberg), o que algunas magnitudes físicas a estas escalas, como la energía, sólo pueden tomar valores discretos (cuantos). Las partículas son descritas por su función de onda, y lo único que podemos calcular es la probabilidad de que una partícula se encuentre en un lugar determinado. Las ecuaciones de Hamilton deben ser sustituidas por la de Schrödinger.

Estadio de Bunimovich

En este modelo, nuestra experiencia ya no sirve para hacer buenas predicciones. Cabe preguntarse, ¿podemos jugar en un billar cuántico?

El estudio del caos cuántico parte del llamado principio de correspondencia, invocado por primera vez por Bohr en 1923. Según este principio, la mecánica clásica debería emerger de la mecánica cuántica como una aproximación cuando pasamos de la escala subatómica a la macroscópica. Esto es razonable puesto que la mecánica clásica funciona muy bien a escala natural, y también según la hipótesis de que las leyes fundamentales del universo no deberían depender de la escala que se utilice. Es decir, la mecánica clásica estaría encapsulada de alguna forma en la mecánica cuántica, aunque sólo podamos verla al mirar en la escala adecuada. El caos cuántico se centra en las propiedades cuánticas que exhibe un sistema cuyo análogo clásico (el sistema a escala macroscópica) tiene un comportamiento caótico.

Una autofunción típica en el estadio de Bunimovich

La mecánica cuántica nos dice que si una partícula cuántica está confinada en una región plana con forma de mesa de billar, su energía sólo puede tomar valores discretos (sus números cuánticos). La probabilidad de encontrar la partícula en diferentes partes de la mesa de billar cambiará conforme la energía aumente. Decimos que la partícula con una determinada energía está en un orbital. Las propiedades geométricas de los orbitales guardan relación con las trayectorias del billar clásico.

Cuando el billar clásico es caótico (por ejemplo, el billar de Bunimovich), la inmensa mayoría de las trayectorias del billar clásico recorren todo el espacio disponible (decimos que este billar es ergódico). En su contrapartida cuántica, es esperable que la probabilidad de encontrar la partícula tienda a ser uniforme en toda la mesa, conforme la energía aumenta, lo que se denomina ergodicidad cuántica. Esto ocurre de hecho para la mayoría de sucesiones de números cuánticos. Pero este marco general está lejos de dar una idea completa de lo que esconde el caos cuántico. Recientemente se ha probado teóricamente que existen sucesiones “raras” de orbitales para los billares de Bunimovich que no cumplen esta propiedad de ergodicidad, pues la probabilidad de encontrar la partícula se concentra en conjuntos pequeños de órbitas periódicas, luego la situación es más compleja de lo que se podría pensar en un principio. Podemos decir que el juego del billar cuántico no ha hecho sino comenzar.

Leonid Bunimovich

Digamos también que este modelo prototípico de billar es debido al matemático rusoamericano Leonid Bunimovich, quién desarrolló su tesis doctoral en la Universidad de Moscú, bajo la dirección de Yakok G. Sinai. Actualemnet, Bunomovich es profesor en el Georgia Institute of Technology.

Un nanocuerno de carbono

Finalmente, no se trata solo de “jugar”, sino que estos juegos con los billares cuánticos se aplican al estudio de los nanotubos de carbono. En particular, se espera estudiar más a fondo las nanocornetas o nanocuernos, estructuras de carbono cuyo nombre alude a su forma especial.

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, ICSU); Cristina Sardón (ICMAT-CSIC), y Víctor Arnáiz (ICMAT-CSIC).

 

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