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¿Era Paul Newman un experto en sistemas dinámicos?

En la película  “El buscavidas”, de Robert Rossen, Paul Newman interpreta un personaje mítico, Eddie Felson, un jugador de billar. Y el billar tiene mucho que ver con las matemáticas.

Paul Newman en “El buscavidas”

La siguiente sinopsis de la película ha sido extraída del blog Cine Puro: Eddie Felson (Newman) es un joven arrogante y amoral que frecuenta con éxito las salas de billar. Está decidido a ser proclamado el mejor, y busca al Gordo de Minnesota (Gleason), un legendario campeón de billar. Cuando, por fin, consigue enfrentarse con él, su falta de seguridad le hace fracasar. El amor de una solitaria mujer (Laurie) podría ayudarlo a abandonar esa clase de vida, pero Eddie no descansará hasta vencer al campeón sin importarle el precio que tenga que pagar por ello.

El billar es un juego popular, cuyos inicios se remontan a culturas tan antiguas como las de Grecia y Egipto, aunque es en el siglo XVII cuando toma la forma actual. El nombre viene de la palabra francesa “bille”, bola. Hoy en día lo asociamos a las cervezas y reuniones de amigos, y también ha tomado carta de presencia en las televisiones con concursos en los que los jugadores, en sus distintas variantes, hacen jugadas que nos parecen imposibles.

Estudiantes de Tubinga jugando al billar en el siglo XIX

El billar es un juego con un alto contenido matemático, y ya en 1835 el francés Gaspar Gustave de Coriolis escribió la obra titulada “Teoría matemática del juego de billar” en la que se estudian las trayectorias parabólicas. El grabado que se acompaña, es incluso más antiguo, del libro de Charles Cotton de 1674 titulado “The Compleat Gamester”.

Existe una analogía entre un billar y un sistema físico como puede ser un gas atrapado en un recipiente. Las bolas del billar se comportan de manera similar a los átomos del gas. Se mueven libremente hasta que chocan con el recipiente que las contiene. En el billar, de forma similar, las bolas ruedan por la mesa hasta que se encuentran con los bordes. A pesar de suponer condiciones perfectas en nuestros modelos (por ejemplo, el gas no pierde energía), un diagrama que represente las posiciones y velocidades de cada átomo o cada bola del billar, dista de ser sencillo. A estos modelos en que no se pierde energía o los modelos de “bolas duras” como las del billar, sin rotación y que interactúan elásticamente entre sí, se les denomina sistemas hamiltonianos.

De hecho, el modelo de los gases fue comparado al modelo de billar por la hipótesis ergódica de Boltzmann (hace más de cien años). La teoría ergódica presenta  precisamente la integrabilidad o no integrabilidad de un sistema dinámico.

En la riqueza de los diferentes movimientos y combinaciones, surgen los regímenes integrables o no integrables. En palabras sencillas, que podamos obtener una ecuación que explique el movimiento o no. Por otra parte, los sistemas pueden ser caóticos: pequeñas variaciones en las condiciones iniciales pueden implicar cambios profundos en el compartamiento futuro que imposibilitan la predicción a largo plazo.

Los sistemas integrables  presentan la coexistencia de hipersuperficies llamadas toros,

unas superficies muy comunes en matemáticas, (los “donuts” o rosquillas), y en los no integrables existen componentes ergódicas (dicho de manera muy simplificada).

Un ejemplo notable de billar es el de Hadamard, que analiza el movimiento de una partícula libre en una superficie que posee una curvatura negativa constante. Es el ejemplo por antonomasia de caos determinista. El ensamble de Boltzmann—Gibbs para un gas ideal es esencialmente el más caótico de los billares de Hadamard.

El billar de Sinái es un billar de mesa cuadrada plana y en su centro se extrae un círculo. Surge al estudiar el comportamiento de dos discos que se desplazan dentro del billar cuadrado, reflejándose en los bordes del cuadrilátero y que pueden chocar entre sí. Este billar es caótico y sirve también como modelo de un gas clásico, como un gas de Lorentz.

Sin embargo, también hay ejemplos de billares no ergódicos. El matemático  estadounidense George Birkhoff (1884 – 1944) demostró que los billares de mesa elíptica son completamente integrables. Aquí, las órbitas representadas en un espacio de fases (de posiciones y un factor de la velocidad, denominados momentos) son periódicas. Las órbitas en un espacio de fases de un sistema ergódico acaban recubriendo el espacio.

 

Y es que, aunque los sistemas dinámicos y la integrabilidad sean muy complicados, jugar al billar es muy divertido y la película es muy buena. Este video es una charla divulgativa de Víctor Arnaiz (ICMAT-CSIC) sobre billares (aunque ojo, es avanzada, más bien para un público con una amplia base de matemáticas, aunque invitamos a verla a cualquiera que se atreva).

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Paul Newman recuperó su personaje en “El color del dinero”, película de 1986 dirigida por Martin Scorsese y protagonizada además por Tom Cruise; su argumento supone la continuación de la historia de Eddie “Relámpago” Felson. Pero no es la única película en la que los billares son protagonistas, aquí se pueden encontrar unas cuantas.

Finalmente, y volviendo al título de nuestra entrada, los actores de “El buscavidas” hicieron ellos mismos todas al sjuagadas de la película. Así que Paul Newman si sabía algo de este tema.

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, ICSU); Cristina Sardón (ICMAT-CSIC), y Víctor Arnáiz (ICMAT-CSIC).

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