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De los encerados a las calculadoras

Hace unos días leí un artículo en los Notices of the American Mathematical Society, titulado “Teaching Math in America: An Exhibit at the Smithsonian” (Notices of the AMS, vol 49, núm 9 (2002), 1082-1083) en el que se hacía un breve recorrido histórico sobre la enseñanza de las matemáticas en Estados Unidos a la luz de una exposición de diversos instrumentos usados desde 1800 en las aulas con tal propósito). En el artículo se mencionaba el curioso incidente de la “Rebelión de las secciones cónicas” de Yale, recogido en una entrada anterior.

Los inicios de la enseñanza en Norteamérica fueron duros, pero el convencimiento de que para votar los ciudadanos deberían poseer una formación, llevó a una preocupación por extender la enseñanza, primero a los niños, pero también a las mujeres, aunque en este último caso, con el propósito de que pudieran contribuir como madres en el aprendizaje de sus futuros hijos. Los encerados tuvieron su entrada a principios del siglo XIX, y eran literalmente tableros pintados de negro, a veces con rugosidad que permitieran a la tiza mantenerse en los mismos. El uso de los tableros supuso un enorme avance, porque se podían dibujar las figuras geométricas que por entonces solo se podían consultar en los libros. De hecho, esta fue la causa de las dos rebeliones de las cónicas en la Universidad de Yale en 1825 y 1830.

Caja con una colección de figuras geométricas

Las figuras geométricas que se usaban en las aulas se reducían a modelos de madera de conos, esferas, y cubos, creados por Josiah Holbrook (1788–1854), el hombre que promovió el movimiento de los liceos en EE.UU, a partir de un artículo en 1826 en el American Journal of Education. Se trataba de organizaciones que buscaban impulsar el conocimiento de las ciencias en la educación de jóvenes adultos. También logró que muchos materiales se pudiearn distribuir en las escuelas, como por ejemplo, los globos terráqueos. Su lema sobre sus manufacturas era: “Bastantes buenos para los más pudientes y adecuadamente barato para los más pobres”.

Josiah Holbrook

Se usaron también otros instrumentos matemáticos de enseñanza más sofisticados, aunque minoritariamente, ya que solían ser iniciativas de algunos profesores que habían hecho su tesis doctoral en universidades europeas (a veces olvidamos que Europa fue el centro de la enseñanza y la investigación durante muchos siglos).

Otro grave problema era el de los libros. Al principio, los estudiantes llevaban a la escuela cualquier libro que poseyera su familia, ya que no había textos adecuados. Se fueron imprimiendo de manera local, y poco a poco, se consiguieron textos que podían ser usados en todo el territorio.

En el mencionado artículo de los Notices (por cierto, firmado por la excelente periodista científica Allyn Jackson), se recuerda una máquina calculadora construida por el famoso psicólogo conductista de la Universidad de Harvard, Burrhus Frederic Skinner (1904-1990). La máquina de Skinner, llamada la Máquina de Aprendizaje, funciona de manera que el estudiante puede responder con una respuesta muy simplificada a una pregunta. Si la respuesta es correcta, se sigue a una nueva pregunta. En este video

Imagen de previsualización de YouTube

se puede ver al mismísimo Skinner explicando como funciona su máquina.

 

B.F. Skinner

Estos aparatos y muchos otros fueron debatidos en sus épocas, y según Allyn Jackson, “nos recuerdan que la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas nunca será resuelto, pero que hacer una restropectiva histórica siempre nos ayudará a encontrar métodos más efectivos”.

Hoy en día tenemos a nuestra disposición instrumentos que hace dos siglos nadie hubiera soñado. No solo aparatos, más importante todavía, programas informáticos que facilitan la enseñanza de una manera prodigiosa. Unos de estos instrumentos, que ya lleva con nosotros bastantes décadas, son las calculadoras, sujetas recientemente a un poco razonado debate.

Una calculadora científica

La Federación Española de Sociedades de Profesores de Matemáticas (FESPM) ha hecho público un informe, exigiendo que se suspenda la prohición del uso de calculadoras en los exámenes de acceso a la universidad. Su informe es razonado y convincente, mientras que las decisiones que se han tomado desde las universidades al respecto son bastante arbitrarias. Me remito al propio informe y recuerdo una de sus frases:

“… el uso de las calculadoras en el Bachillerato supone la continuidad de un proceso que se inicia en Primaria y continúa en la Educación Secundaria Obligatoria. La competencia digital forma parte de las habilidades necesarias que todo ciudadano debe adquirir, según las recomendaciones del Parlamento y del Consejo Europeo.”

Parece que retrocedemos dos siglos a los tiempos de la rebelión de las secciones cónicas.

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias).

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El hombre que descubrió las ecuaciones de las cónicas

En nuestra entrada anterior comentamos como el estudio de las cónicas llevó a una rebelión en la Universidad de Yale hace casi dos siglos, y hoy vamos a relatar la contribución al conocimiento de estos objetos geométricos de un matemático y político, Johan de Witt (Dordrecht, 1625 – La Haya, 1672).

 

Jan de Witt

De Witt nació en una familia acomodada, y tuvo una formación muy cuidada, estudiando Derecho y Matemáticas. Se estableció como abogado en la firma de otro excelente matemático, Frans van Schooten, en La Haya. Van Schooten (Leiden 1615 – Leiden,1660) era también matemático, y había conocido a René Descartes, cuya obra geométrica había leído en 1632. Recordemos que la Geometría de Descartes era un apéndice de su famoso Discurso del Método.

 

Frans van Schooten

De Witt trabajó en su Elementa Curvarum Linearum, que tenía dos partes. Es en la segunda en la que utiliza un lenguaje algebraico, y fue publicada como parte de una traducción al latín de La Geometría de Descartes que realizó van Schooten. El Elementa Curvarum Linearum se considera como el primer auténtico texto en geometría analítica.

Recordemos que la geometría analítica se basa en introducir coordenadas llamadas ahora cartesianas (en honor del nombre latino de Descartes, Renatus Cartesius). Así, cada punto del plano se puede identificar por su abcisa x (la distancia al eje horizontal) y su ordenada y (su distancia al eje vertical), de manera que hablar del punto P es lo mismo que hablar de las coordenadas (x, y). Estos nos permite describir una recta por una ecuación lineal ax+by+c=0, es decir, la colección de puntos cuyas coordenadas cumplen esa ecuación.

Elipse

La aportación de de Witt fue cambiar una definición geométrica de las elipses, hipérbolas y parábolas como lugares geométricos (por ejemplo, una elipse es el conjunto de puntos del plano tales que la suma de las distancias a dos puntos fijos, los focos, es contante) por una relación algebraica. Así, una cónica es equivalente a una ecuación del tipo

Ax2 + B y2 + C xy + Dx + Ey + F = 0

De Witt fue nombrado en 1653 Gran Pensionario de Holanda, y una de sus tareas fue terminar la guerra contra Inglaterra, motivada por lograr la supremacía en el mar. Consigue la paz en 1654, aunque los ingleses de Cromwell consiguen que se firme una claúsula para alejar a los Orange del poder e instaurar una auténtica república. En 1665 estalla una segunda guerra angloholandesa que termina en 1667 con el ventajoso Tratado de Breda. Pero la política no para, y cuando Guillermo III de Inglaterra se acerca a la mayoría de edad, los orangistas desatan de nuevo las hostilidades. Para prevenirlo, de Witt consigue que se declare el Edicto Perpetuo, que prohibiría el acceso al poder de la casa de Orange. Francia e Inglaterra se unen y comienza en 1872  la Tercera Guerra Anglo-Holandesa, que lo arroja del poder.

 

Linchamiento de los hermanos de Witt

Pero esto no era suficiente, así que sufrió un terrible atentado con cuchillo. Su hermano, Cornelio de Witt, fue hecho prisionero y torturado. Cuando de Witt va a la cárcel a visitar a su hermano Cornelio, ambos fueron linchados por una multitud, sus cuerpos despedazados e incluso, partes del cuerpo de Cornelio fueron devoradas (su corazón fue exhibido públicamente para escarnio general).

La novela de Alejandro Dumas, El tulipán negro, se ambienta en esta época terrible de la historia holandesa, y el protagonista es Cornelio van Baerle, el ahijado de Cornelio de Witt, que ansía conseguir un tulipán de color negro.

De Witt combinó sus tareas de matemático con las de estadista. En 1671 publicó su obra “Waardije van Lyf-renten naer Proportie van Los-renten” (El Valor de las Rentas Vitalicias comparadas con los Bonos de Rescate). En esta obra demostraba que no se estaban calculando adecuadamente los ingresos para el Estado. Era un trabajo pionero pero que no le granjeó precisamente el cariño de las viudas.

Christiaan Huygens, que fue estudiante de van Schooten, dijo de de Witt que “en mi opinión, ninguna otra época ha sido tan fructífera en buenos matemáticos como esta nuestra, y este hombre (de Witt) podría haber sido el primero si no hubiera tenido que ocuparse de tantas tareas oficiales”. ¡Qué mejor elogio!

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias).

 

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La rebelión de las cónicas

Las cónicas son las curvas que se obtienen cuando un plano corta a un cono, tal y como muestra la figura de abajo. Hay tres tipos de cónicas: parábolas, elipses e hipérbolas, aunque todas se pueden describir dentro de una familia común.

Se atribuye su descubrimiento/descripción al matemático griego Menecmo (380–320 aC), un buen amigo de Platón. Parece ser que Menecmo hizo su descubrimiento en relación con el famoso problema de la duplicación del cubo (problema, por cierto, surgido de la recomendaciión del Oráculo de Delfos de construir un altar a Apolo que duplicara el actual, para detener una terrible epidemia de tifus que asolaba Atenas).

Pero el gran estudioso de las cónicas es Apolonio de Perga (Perga, 262 aC- Alejandría, 190 aC). Apolonio estudió y vivió en Alejandría, que por la época, era el faro del conocimiento. Clasifica y da nombre a los tres tipos de cónicas, y desarrolla unos razonamientos que anticipan la geometría analítica de Descartes. Su gran obra es precisamente Sobre las secciones cónicas, de la que se conserva una parte.

 

Sobre las secciones cónicas, traducción árabe

Con el matemático francés Descartes (La Haye, 31 de marzo de 1596-Estocolmo, 11 de febrero de 1650), las cónicas pueden tratarse mediante expresiones algebraicas, lo que permitió profundizar en su estudio. Así, las cónicas son ahora ecuaciones en dos variables, x e y. Fue el político y matemático holandés Johan de Witt (Dordrecht, 24 de septiembre de 1625 – La Haya, 20 de agosto de 1672) quién hace este descubrimiento. Por cierto, de Witt tuvo una vida apasionante y un final trágico, su figura y logros merecen que le dediquemos una entrada próximamente.

Las cónicas fueron durante siglos objetos de interés para los estudiosos matemáticos (aunque podemos recordar la leyenda de Arquímedes incendiando las naves romana que asediabana Siracusa con espejos parabólicos, usando las propiedades geométrica de la parábola. Pero es Johannes Kepler (Weil der Stadt, 27 de diciembre de 1571-Ratisbona, 15 de noviembre de 1630) quién pone a las cónicas en el candelero de las aplicaciones al enunciar sus famosas tres leyes que rigen el movimiento de los astros, porque la primera asegura que los cuerpos celestes describen al moverse una elipse alrededor del Sol, estando éste situado en uno de los 2 focos de la misma.

 

Campus de la Universidad de Yale

Pero el título de esta entrada alude a una rebelión, y vamos a dar cuenta de ella. En 1825, los estudiantes de la Universidad de Yale iniciaron una revuelta ya que, según su acuerdo con el profesor, estaban exentos de estudiar los corolarios del libro de texto de matemáticas, que precisamente trataba de las cónicas. 38 de los 87 estudiantes de la clase fueron expulsados, y la facultad contactó con sus padres, quiénes les obligaron a firmar una declaración que decía: “Nosotros, los firmantes, habiendo iniciado una oposición a las autoridades de Yale, reconocemos nuestra culpa en esta resistencia, y prometemos, si se nos vuelve a admitir en clase, obediencia a las leyes del Colegio de Yale”.

Pero cinco años más tarde, en 1830, se produjo otro incidente similar. Los estudiantes en Yale tenían permiso para consultar los diagramas de los libros de texto, incluso durante los exámenes, cuando tenían que resolver problemas de cónicas. Pero de repente, se les prohibió este uso, y estaban obligados a hacer ellos mismos los dibujos. Así que se negaron a hacer el examen final. El resultado fue que 43 de los 96 estudiantes fueron expulsados de Yale, y las autoridades de la universidad solicitaron a todas las universidades del entorno, que no los admitieran. El incidente ha pasado a la historia como “La rebelión de las secciones cónicas”.

Una de las causas de esta rebelión fue que, al introducir los encerados en las clases sobre 1820, se esperaba que los estudiantes pudieran dibujar los gráficos con tiza en los mismos, y dejar de usar los diagramas de los libros.

En cualquier caso, parece que esos fueron años conflictivos en Yale, y en 1827 hubo otra gran rebelión, llamada la “del pan y la mantequilla”, en contra de la baja calidad de los alimentos servidos en la cafetería.

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias).

 

 

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