Posts etiquetados con ‘ecuaciones diofánticas’

Alan Baker, el teórico de la trascendencia matemática

En esta entrada hablaremos de otro medallista Fields que nos ha dejado recientemente, el matemático británico Alan Baker, víctima de un infarto.

Alan Baker nació el 19 de agosto de 1939 en Londres, y falleció el 4 de febrero de 2018 en Cambridge, a la edad de 78 años. Estudió matemáticas en el University College London, y de allí pasó al Trinity College de la Universidad de Cambridge para realizar su tesis doctoral bajo la dirección de Harold Davenport. Baker fue un investigador muy precoz, y publicó ocho artículos de investigación antes de defender su tesis doctoral. Aunque su carrera se desarrolló fundamentalmente en Cambridge, tuvo periodos como visitante en varios centros del mundo, especialmente en el Instituto de Estudios Avanzados de Princeton y en la Universidad de Stanford.

Alan Baker se distinguió en un maravilloso campo de la Teoría de Números, los llamados números trascendentes. Recordemos que un número trascendente es un número irracional que no es solución de una ecuación algebraica con coeficientes enteros. Por ejemplo, √2 es un número irracional, pero no es trascendente (es algebraico), ya que es la solución de la ecuación algebraica x2 = 2.

El uso del término “trascendente” es debido a Gottfried Leibniz, quién en un artículo de 1682 probó que la función seno no era algebraica; la definición moderna de número trascendente se remonta a Leonhard Euler, en 1748, cuando probó que el número logab no es algebraico para números racionales a y b siempre que b no sea de la forma ac para algún racional c. Cien años después de Euler, Joseph Liouville hizo importantes avances en la construcción de números trascendentes. Los resultados se fueron sucediendo, e incluso David Hilbert incorporó el tema en su el séptimo de los famosos 23 enunciados en el Congreso Internacional de Matemáticos de París en 1900. De hecho, este fue el enunciado de Hilbert:

¿Es ab trascendental, siendo a ≠ 0,1 algebraico y b irracional algebraico?

 

Alan Baker

A los resultados de matemáticos tan notables como Ferdinand von Lindemann, Charles Hermite, Serge Lang, Alexander Gelfond, Theodor Schneider, se suceden los de Alan Baker. Su primer gran resultado, y el motivo por el que se le concedió la medalla Fields en el Congreso Internacional de Matemáticos de 1970 en Niza, fue la generalización del teorema de Gelfand-Schneider (que daba la solución al Séptimo Problema de Hilbert). Su resultado permitió generar numerosos nuevos números trascendentes.

Estos logros fueron conseguidos con 25 años, lanzándolo a la fama matemática internacional; Baker ha sido uno de los medallistas Fields más jóvenes en conseguir este preciado galardón, a los 31 años.

Baker siguió toda su vida trabajando en estos temas, y es autor de numerosos artículos así como de libros convertidos ya en auténticos clásicos modernos. En esta entrada del blog de Terence Tao se pueden encontrar detalles sobre el Séptimo Problema de Hilbert y los logros de Baker.

Baker no era un personaje especialmente sociable, no era fácil hacerse amigo suyo, pero fue siempre muy respetado, desprendía esa aureola de los realmente sabios. Pero no solo las matemáticas llenaban su vida;  Baker era un gran aficionado a los viajes, a la fotografía y al teatro. Descanse en paz.

_______

Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, ICSU).

Guardar

Guardar

Guardar

Guardar

Guardar

Guardar

Guardar

Guardar

Guardar

Guardar

Guardar

Etiquetas: , ,
Categorias: General

La señora Robinson

Esta entrada está dedicada a una mujer excepcional, que fue pionera en muchos campos y que, pese a las dificultades encontradas a lo largo de su camino, fue capaz de marcar hitos en su carrera científica: hablamos de Julia Robinson (de soltera, Julia Bowman).

Julia Robinson

Cocos, marineros y un mono

Las ecuaciones diofánticas son ecuaciones con dos o más incógnitas cuyos coeficientes toman valores en los números enteros y cuya solución son números enteros. Por lo tanto, resolver una ecuación diofántica consiste en determinar qué números enteros la cumplen. El nombre alude al matemático griego Diofanto de Alejandría, quien estudió profusamente estas ecuaciones.

Para ilustrar este tipo de ecuaciones, planteamos como ejemplo de ecuación diofántica el problema del mono y los cocos, recogido en la obra de Martin Gardner, “The Monkey and the Coconuts” en 1961.

El problema se plantea de la siguiente manera: cinco marineros y un mono naufragan en una isla desierta. Deciden recoger provisiones durante un día completo. Pasan el primer día recogiendo cocos. Uno de los marineros, desconfiado, decide separar su parte y la de los demás en cinco partes iguales. Como sobra un coco para igualar las partes, decide dárselo al mono. El segundo de los marineros, también desconfiando, repite de nuevo la operación la noche siguiente. Así ocurrirá con los cinco marineros desconfiados. Tras las cinco noches de desconfianza de cada uno de los naúfragos, se dividen los cocos de nuevo en cinco montones sin que sobre ninguno. La pregunta es: ¿cuántos cocos se habían recolectado inicialmente? Aquí se puede encontrar la solución.

El décimo problema de Hilbert

David Hilbert, en su famosa conferencia en el Congreso Internacional de Matemáticos (ICM) de París en 1900, planteó 23 problemas. El décimo se refería a la existencia de un algoritmo que pudiera decidir si una ecuación diofántica tenía soluciones enteras.

La solución a este problema fue aportada por tres matemáticos estadounidenses y un ruso: Julia Robinson, Martin Davis, Hilary Putnam y Yuri Matiyasevich, que en varios artículos desde los años 40 a los 70 del pasado siglo, probaron que tal algoritmo no existe.

Con Yuri Matiyasevich

¿Quién fue Julia Robinson? Una matemática estadounidense, que vivió intensamente entre 1919 y 1985, y cuya tesis se focalizó en los problemas de decibilidad en teoría de números.

Julia Robinson a los tres años

La niñez de Julia fue complicada, sufriendo escarlatina primero y después fiebres reumáticas, lo que no facilitaba su asistencia a la escuela. Sin embargo, fue capaz de recuperar terreno, y su tutor escribió

… en un año, trabajando tres mañanas a la semana, avanzamos en el programa de quinto, sexto, séptimo y octavo grados. Esto me lleva a  preguntarme  cuanto tiempo se puede perder en las aulas.

Aunque su padre estaba en buena situación económica, la Gran Depresión se llevó sus ahorros, y acabó suicidándose en 1937. Julia se sobrepuso, siguió sus estudios, y en Berkeley tomó clases con el que sería poco después su marido, Raphael Robinson, también un notable matemático. Tras su matrimonio, las reglas de la universidad le impedían dar clases en el mismo departamento que su marido. Esto la llevó a abandonar la investigación, hasta que en una visita a Princeton acompañando a Rapahel, conoce a Tarski y comienza con él un doctorado, que defiende con éxito en 1948. Inmediatamente se pone a trabajar en el Décimo Problema de Hilbert, consiguiendo avances importantes. El problema lo resuelve totalmente Matijasevic en 1970, y Julia se pone a trabajar con él, abriendo un ambiente de colaboración inusual entre norteamericanos y rusos. Julia trabajó además en muchos otros temas, consiguiendo siempre resultados espectaculares.

Honores

Julia Robinson fue la primera mujer en pertenecer a la Academia Nacional de Ciencias en Estados Unidos, sirviendo como consejera a la nación en medicina, ciencia e ingeniería. Fue también elegida presidenta de la  Sociedad Americana de Matemáticas (AMS), la primera mujer en el cargo.

Sus logros la hicieron merecedora de numerosos premios y homenajes, como el premio MacArthur (galardonado anualmente a veinte o treinta personas que han desarrollado un trabajo relevante en cualquier rama del conocimiento) o la presentación de una conferencia Noether (propuestas por la Unión Matemática Internacional y que se desarrolla cada cuatro años en el Congreso Internacional de Matemáticos, ICM), una serie de conferencias dedicadas a homenajear a mujeres ilustres en el ámbito matemático. Actualmente, se celebra el Julia Robinson’s festival, organizado por el Instituto Americano de Matemáticas, que trata incentivar a niños y adolescentes a descubrir el interesante y sorprendente mundo de las matemáticas mediante la formación de clubs y asociaciones y desarrollo de museos interactivos.

La señora Robinson poseía una personalidad fuerte y emblemática. No sólo se dedicó a las matemáticas, sino que también fue una decidida activista política demócrata. Una gran mujer, un ejemplo para las niñas que quieran ser matemáticas.

Julia Robinson en 1975

Y terminamos con sus propias palabras:

Lo que realmente soy es una matemática. Más que ser recordada como la primera mujer en esto o en lo otro, yo preferiría ser recordada por los teoremas que he probado y los problemas que he resuelto.

Por supuesto que recordamos a Julia Robinson por sus teoremas, pero también por su compromiso con la ciencia y la sociedad.

______

Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, ICSU) y Cristina Sardón (ICMAT-CSIC).

Guardar

Guardar

Guardar

Guardar

Guardar

Guardar

Guardar

Guardar

Guardar

Guardar

Etiquetas: , , ,
Categorias: General