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La tentación del camino real en la educación

Cuenta Proclo en sus Comentarios al primer libro de los Elementos de Euclides  que, cuando el rey Ptolomeo I le preguntó si había un camino más corto para aprender geometría que sustituyera a estudiar los Elementos, “Euclides respondió que no hay un camino real hacia la geometría”.

Euclides

La anécdota (como otras de Proclo, difíciles de contrastar) sirve perfectamente para ilustrar esta entrada. Ptolomeo I quiere atajar para llegar al conocimiento de la geometría, ahorrase el esfuerzo que suponía el estudio detallado de los Elementos. Y esta es una tentación que a veces puede asaltar a los que elaboran las leyes educativas y a los gobiernos que las promueven.

Siempre que se aprueba una nueva Ley Educativa (y desgraciadamente en nuestro país van ya demasiadas) la comunidad educativa se pone en alerta. Dos de los problemas más graves en el sistema educativo español son: la brecha de los resultados en los informes PISA (acrónimo en inglés del Programa para la Evaluación Integral de Alumnos) respecto a la media de los países de la Organización para la Cooperación y el Desarrollo Económico (OCDE); y la alta tasa de abandono escolar entre los jóvenes de entre 18 a 24 años, y que aunque estos últimos años se ha reducido, todavía es del 17,3%, partiendo hace no pocos años de porcentajes superiores al 30%. Esta tasa de abandono es la mayor de los países de la Unión Europea.

¿Cómo reducir estos porcentajes? Pregunta que va ligada a la de cómo mejorar los resultados de nuestro sistema educativo (que no es exactamente la misma de cómo mejorar los resultados en PISA, aunque está obviamente relacionada con ella).

Las soluciones pasan por una mayor inversión en educación, que se debería utilizar para mejorar la formación inicial de los profesores de primaria y secundaria, especialmente en Matemáticas. En efecto, se observan unas grandes carencias, que afectan en las primeras etapas educativas creando un problema que se arrastra (y agrava) en los años subsiguientes. Inversión en la formación continua de todo el profesorado. Inversión en profesorado de refuerzo para ayudar a los alumnos que tengan más dificultades, y llevando a la práctica, con todas sus consecuencias, eso que ahora tanto se repite de “no dejar a nadie atrás”. Impulsando una Formación Profesional actualizada, que permita que los alumnos con dificultades o que no quieran seguir estudiando, puedam encontrar un empleo digno y cualificado, y manteniendo pasarelas para poder volver al Bachillerato y seguir a la universidad si deciden cambiar el rumbo de su formación.

La tentación del camino real es la de rebajar contenidos, especialmente en matemáticas, la prueba del algodón de cualquier sistema educativo; crear itinerarios donde las matemáticas y las ciencias apenas aparezcan y facilitar el paso de curso sin grandes problemas. Esta tentación está siempre latente, y debemos combatirla si vemos cualquier atisbo. Porque, al final, no será más que maquillaje, enmascarará el problema a corto plazo pero no lo resolverá a medio y largo término, ni dará buenos resultados en la comparativa internacional.

Nos jugamos mucho para el escenario tras-Covid,  tenemos una oportunidad de invertir buena parte de esos fondos europeos extra en acciones como la mejora del sistema educativo. Hagásmolo siguiendo el camino del esfuerzo.

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, Real Academia Galega de Ciencias).

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Historias de Pi: de la geometría al número

Como todos sabemos, π es la relación entre la longitud de una circunferencia y su diámetro. Una definición puramente geométrica. Vamos a hablar de esta curiosa relación que impregna las matemáticas.

 

 

La definición de círculo aparece en el Libro I de Los Elementos; dice Euclides:

Definición 15. Un círculo es una figura plana comprendida por una sola línea (llamada circunferencia) de tal modo que todas las rectas dibujadas que caen sobre ella desde un punto de los que están dentro de la figura son iguales entre sí.

Definición 16. Y el punto se llama centro del círculo.

Definición 17. Un diámetro de un círculo es una recta cualquiera que pasa por el centro y que acaba en ambas direcciones en la circunferencia del círculo; esta línea recta también divide el círculo en dos partes iguales.

Y añade este postulado:

Postulado 3. Hay una sola circunferencia con un centro y un radio dados.

Desde el punto de vista puramente geométrico, la pregunta que uno se debería hacer es esta: ¿Por qué el cociente entre la longitud de una circunferencia dada y su diámetro es una constante?

A simple vista, parece bastante intuitivo. Si aplicamos un zoom a una circunferencia, vemos como la forma no cambia y a medida que va aumentando, el diámtro también lo hace, y lo mismo si disminuyéramos el tamaño. Pero claro, esto no es una demostración.

Vamos a mostrar algunas demostraciones que circulan por la red (se anima a cualquiera que conozca demostraciones de este tipo a enviar un mensaje al blog con la referencia).

Dados dos círculos concéntricos como en la figura 1, tales que el radio del más pequeño es r, mientras que el del más grande es R. Sus circunferencias tienen longitudes c y C, respectivamente. Dibujamos dos segmentos desde el centro hasta formar los dos triángulos de la figura, que serán semejantes, ya que la proporción de los lados es la misma y tienen el ángulo común α.

 

Figura 1

Por lo tanto,  las cuerdas guardarán la misma proporción. Si β es el ángulo de  que corresponde al círculo completo ( 360o ), entonces β/α . k = β/α . K , donde k y K son las longitudes de las espectivas cuerdas. Entonces, c/C se aproximaría a r/R, y si ahora ahora α  se fuera haciendo cada vez más pequeño, serían iguales. En conclusión, c/r = C/R.

Esta demostración padece de cierta rigurosidad, pero da una idea. Se puede proponer otra parecida basada en considerar polígonos inscritos en cada una de las circunferencias y también usar un argumento de paso al límite. Este razonamiento es similar al que usó Arquímedes para demostrar la afirmación similar relativa a la relación de las áreas de dos círculos en relación con los cuadrados de los radios respectivos.

Por supuesto, lo más riguroso sería considerar la fórmula para la longitud de un arco. En nuestro caso, el teorema de Pitágoras (Figura 2) nos dice que la función que define la circunferencia es

f(x) = √r2 –x2

y de ahí integramos la función longitud de arco

entre –r y r.

Figura 2

El resultado (tras un cambio de variable) nos dirá que esa longitud es s = r c0 , donde c0  es una cosntante que no depende de r. En consecuencia, la longitud de esta circunferencia arbitraria será

C = 2 s = 2 c0 r

y por lo tanto  la relación entre la longitud de una circunferencia y su diámetro es constante, precisamente c0 (que no es más que el número π.

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, Real Academia Galega de Ciencias).

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