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Cuadrados latinos

Hace unos días hablábamos de cuadrados mágicos y prometimos hablar también de cuadrados latinos; hoy será el día. Digamos antes de nada, que un cuadrado latino es una matriz de n×n elementos en la que cada casilla está ocupada por uno de los n símbolos, de tal modo que cada uno de ellos aparece exactamente una vez en cada columna y en cada fila.

Lo primero que debemos tener en cuenta es que un cuadrado latino no se forma sólo con números, sino que vale cualquier tipo de símbolos. Vemos por ejemplo en la fotografía encima de estas líneas, este cuadrado latino formado por cuadraditos de diferentes colores, y que compone un vitral en el salón comedor del Gonville y Caius College, en Cambridge, Inglaterra. Este vitral honra la memoria del estadístico y biológo Sir Ronald Aylmer Fisher, quien lo usó en sus experimentos.

Los cuadrados latinos son conocidos desde la antigüedad, y ya los árabes e indios los usaban como amuletos. Una aparición más moderna ocurre en el siglo XIII, cuando el filósofo Ramón  Llull  (1232-1315)  introduce en  su  texto  Ars  Demostrativa  (1283)  cuatro cuadrados latinos de orden 4, utilizando como símbolos los cuatro elementos: fuego, aire, agua y tierra.

Una definición formal es debida a Leonhard Euler, quien en 1799 estaba interesado en dar solución al llamado Problema de los 36 oficiales. Dicho problema consiste  en ver si es posible colocar en un cuadrado de tamaño  6×6, a treinta y seis oficiales de seis regimientos diferentes y que de cada regimiento haya uno de los seis distintos grados, de forma que no coincidan dos oficiales  del  mismo rango o del mismo regimiento en ninguna fila y en ninguna columna.

De hecho, en su artículo Recherches sur une nouvelle espece de quarres magiques, publicado en la revista Verhandelingen uitgegeven door het zeeuwsch Genootschap der Wetenschappen te Vlissingen en 1782, Leonard Euler escribe:

Una cuestión muy curiosa que ha desafiado la inteligencia de muchas personas, me inspiró para emprender la siguiente investigación que al parecer ha abierto una nueva trayectoria dentro del Análisis y, en particular, en Combinatoria. Esta cuestión concierne a un grupo de treinta y seis oficiales de seis rangos diferentes, tomados de seis regimientos distintos, y distribuidos en un cuadrado de tal forma que en cada fila y cada columna haya seis oficiales, cada uno de diferente rango y regimiento. Pero, después de dedicar muchos esfuerzos a resolver este problema, tenemos que reconocer que tal disposición es absolutamente imposible, aunque no podemos ofrecer una prueba rigurosa.

Generar cuadrados latinos ha sido siempre un pasatiempo de muchos aficionados a las matemáticas, y una de sus versiones modernas son precisamente los sudokus, en los que la restricción adicional es que cada uno de los subgrupos de 3×3 que lo forman debe debe contener todos los dígitos del 1 al 9.

Un sudoku

Hay tipos especiales de cuadrados latinos, como los cuadrados greco-latinos, cuadrados de Euler o cuadrados latinos ortogonales de orden n. Éstos, son cuadrículas cuadradas n×n de elementos de dos conjuntos S y T, ambos con n elementos, cada celda conteniendo un par ordenado (s, t).  Aquí, s es un elemento de S y t es un elemento de T, de forma que cada elemento de S y cada elemento de T aparezca exactamente una vez en cada fila y en cada columna y que no haya dos celdas conteniendo el mismo par ordenado. Este es uno de los ejemplos que manejaba Euler, quién probó muchos resultados:

 

Obviamente, un cuadrado greco-latino puede descomponerse en dos ortogonales.

El estadístico inglés Ronald Fisher, de quién hemos hablado al principio,  usó los cuadrados latinos para mejorar los métodos agrícolas, cuando se hallaba investigando la eficacia de los fertilizantes en el rendimiento de las cosechas. Buscó la manera de plantar cosechas en similares condiciones de suelo, de modo que la calidad de la tierra no fuese un factor indeseable que influyese en el rendimiento de la cosecha. Si bien la única manera de asegurarse de tener condiciones idénticas de tierra era utilizar siempre el mismo suelo, en la práctica esto es casi imposible, pues se deberían desenterrar y volver a plantar las cosechas varias veces.

Si se tuviese un campo cuadrado dividido en 16 parcelas, puede construirse un cuadrado latino en que la descripción del campo sea tal que la calidad del suelo varíe «vertical» y «horizontalmente». Entonces, se aplican al azar los 4 fertilizantes («a», «b», «c», y «d») con la única condición de que cada fertilizante aparezca una sóla vez en cada fila y en cada columna. De esta manera se busca eliminar la variación de la calidad de tierra. Si hubiese otro factor que pudiese influir en el rendimiento, por ejemplo, el momento del día (A, B, C, D) en que se aplica el tratamiento, entonces puede utilizarse un cuadrado latino ortogonal al anterior, donde se identifiquen dichos momentos del día. DAsí, cada pareja momento-fertilizante se aplicará en una única parcela.

Terminamos con una fotografía del cuadrado latino más famoso que se ha utilizado en diseño de experimentos. Fue elaborado por Fisher en 1926, y llevado a la práctica en 1929 en el Bosque Beddgelert, en el norte de Gales, para estudiar el  comportamiento de cinco tipos de árboles.

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, ICSU) y Cristina Sardón (ICMAT-CSIC).

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“Get the girl to check the numbers”

Esta entrada está dedicada a mi amiga Victoria, que observa todos los amaneceres

El debate sobre el techo de cristal está cada vez mas vivo, y una de sus facetas es la falta de visibilidad de las mujeres en la investigación científica. Hemos tenido la oportunidad de asistir a una película, “Figuras ocultas”, que trata de combatir esta invisibilidad.

En este blog hemos contado historias de mujeres matemáticas que tuvieron que realizar grandes esfuerzos para cultivar la ciencia que les gustaba, mujeres que han tenido que ocultar su condición bajo un seudónimo, mujeres a las que no les estaba permitido asistir a las universidades o impartir docencia, mujeres, en definitiva, que han tenido que romper tabús.

Figuras ocultas narra la historia de unas mujeres que sufrieron una doble disciminación, por mujeres y negras. Son tres mujeres, Katherine Globe Johnson, Mary Jackson y Dorothy Vaughan. Las tres participaron en el proyecto Mercurio, el primer programa espacial tripulado de los Estados Unidos, desarrollado entre 1961 y 1963. Los soviéticos habían puesto en órbita el Sputnik 1, lanzado el 4 de octubre de 1957. Estados Unidos no podía quedarse atrás, y primero Alan Shephard y después John Glenn, repetían la hazaña de Yuri Gagarin, quién fue lanzado al espacio exterior a bordo de la nave Vostok 1 el 12 de abril de 1961.

Katherine Globe-Johnson

 

La protagonista es, sin duda, Katherine Globe, quién en la vida real desarrolló un importante trabajo como investigadora matemática. Conocedora de que la National Advisory Committee for Aeronautics (NACA, luego NASA) necesitaba matemáticas, se incorporó como calculadora. Las calculadoras (las de raza negra eran las  “Colored Computers”) eran mujeres que hacían los tediosos cálculos necesarios para las trayectorias de los lanzamientos del proyecto Mercurio. Al final, son elipses, parábolas, hipérboals, o sea, las cónicas de Apolonio, combinadas con las leyes de Kepler y las de Newton las que proporcionan las respuestas. De ahí las referencias a la geometría analítica.

Dorothy Vaughan

Las otras dos protagonistas matemáticas son Dorothy Vaughan (que supervisa a las calculadoras) y Mary Jackson (que quiere y consigue ser ingeniera). Las tres mujeres, Globe, Vaughan y Jackson van a ser sin duda un ejemplo para muchas chicas que aprenderán que nada está escrito, y que ellas tienen la capacidad para hacer cualquier cosa que pueda hacer un hombre.

Mary Winston Jackson

La película está inspirada en el libro Hidden Figures: The Story of the African-American Women Who Helped Win the Space Race, el primero de Margot Lee Shetterly, publicado el año pasado. La película narra la historia novelada, y como ocurre en estos casos, tiene que resaltar algunos detalles para hacerla comprensible y agradable. Y lo consigue. El título puede entenderse de varias maneras: las figuras/personajes matemáticas detrás del escenario que no se ven, y también los números ocultos detrás de la ingeniería que hace posible el lanzamiento.

Como matemático, es gratificante ver que se le da un peso decisivo a la disciplina, no se puede ir al espacio sin las ecuaciones y los cálculos matemáticos, y es precisamente el conocimiento y el talento de Globe para las matemáticas, lo que permite ir más allá. Y es interesante el ver la evolución de los cálculos a mano para integrar (resolver) unas ecuaciones con la potencia que proporcionan los ordenadores, en este caso, un IBM 7090. ¡Y hasta se cita el método de Euler para la integración!

Imagen de previsualización de YouTube

Los ordenadores han supuesto un cambio brutal en la manera de investigar y aplicar las matemáticas, y estos son los primeros indicios. La película exhibe otro guiño a la tecnología: los ordenadores nos pueden quitar el trabajo, pero hay que programarlos. Y Dorothy Vaughan entiende que si aprende FORTRAN, estará en ventaja para entender la máquina, y así ocurrirá con las mujeres calculadoras que ella entrena.

Pero, ¿podemos fiarnos de las computadoras? El último guiño se debe a John Glenn: la máquina está fallando, y el solo está dispuesto a ser lanzado si la chica comprueba los cálculos.

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, ICSU).

 

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Lecciones de una mesa redonda

Ayer he moderado una mesa redonda en el ICMAT sobre “Estrategias para fortalecer la transferencia de tecnología matemática a la industria”, y tras el constructivo debate (como siempre, la duración se hizo corta, pero el tiempo mandaba), quisiera reflejar aquí algunas de las reflexiones que he ido anotando sobre la marcha.

  1. Es preciso que todos los agentes tomen conciencia de la importancia de la transferencia del conocimiento matemático: administración, rectorados, presidencia del CSIC, vicerrectores, decanos, directores de departamentos.
  2. En consecuencia, deben actuar y tomar una serie de medidas que faciliten la transferencia.
  3. Por ejemplo, en las universidades, exención de docencia para aquellos profesores que tengan estos objetivos. Esto no puede quedar al arbitrio o buena voluntad de los compañeros, debe estar lesgislado con claridad desde los rectorados.
  4. Los trámites burocráticos no se han hecho más fáciles, al contrario, son cada día mas complejos, en una paradoja permanente ya que al parecer se quiere impulsar la innovación. El contratar con una empresa debería ser un proceso ágil, tanto en universidades como en el CSIC.
  5. La transferencia suele generar ingresos, y una parte importante de estos debería ser dirigida a los propios investigadores, como complemento a su salario y a las actividades del propio grupo de investigación. Nunca estas aportaciones deben estar pensadas casi exclusivamente para la financión de las universidades a través de sus fundaciones.
  6. Los matemáticos deben comprender que trabajar con una empresa requiere un cambio de cultura: la empresa funciona con plazos y entregables, al contrario de lo que ocurre habitualmente en el mundo académico.
  7. La colaboración para la elaboración de tesis doctorales en el ámbito de la empresa es una estrategia que ofrece resultados notables, y promueve colaboraciones muy estables y durareras.
  8. La administración (via CDTI u otros organismos) debe promover más y más instrumentos que faciliten la interfaz academia-empresa; algunos de ellos han funcionado con eficacia.
  9. La contratación de gestores expertos en transferencia deber ser fomentada: gestores que trabajen en los centros, mano a mano con los investigadores, entendiendo así el trabajo particular en esta disciplina y ayudando a los matemáticos al contacto con la empresa. Estas contrataciones deberían ser consideradas como una inversión por parte de la administración central, las autonómicas, rectorados y presidencia del CSIC.
  10. La cooperación en proyectos europeos (hora H2020) es una pieza esencial. Mediante EU-MATHS-IN, una red que reúne a las diferentes redes nacionales se está trabajando para que la tecnología MSO (Modelización, Simulación y Optimización) sea considerada una tecnología clave en H2020 y que las Matemáticas sean visibles en este programa.
  11. La visibilidad de la importancia económica de las matemáticas y su capacidad de generación de empleo debe ser un objetivo de todos: matemáticos, sociedades científicas, administraciones, divulgadores y comunicadores científicos.
  12. Afortunadamente, el colectivo matemático español se ha dotado de instrumentos como math-in que vertebra los diferentes grupos en nuestro país (unos 450 investigadores); math-in debería contar con una financiación estable por parte de la administración central para poder explotar todo el potencial.

Leonhard Euler

Me gustaría terminar recordando una vez mas la importancia de la transferencia para las matemáticas, y como las aplicaciones son parte esencial de las mismas. Hace unos 250 años, Leonhard Euler trataba de encontrar las ecuaciones de los fluidos, aplicando directamente la segunda ley de Newton, lo que finalmente logró obteniendo una bella y memorable ecuación para los fluidos ideales. Una de las grandes motivaciones de Euler era abordar los problemas  de ingeniería relacionados con el suministro de agua a las  ciudades, el diseño de turbinas  hidráulicas y eólicas, y los  problemas de la Balística. Y fue Federico el Grande, el emperador prusiano, quién contrató a Euler para que se ocupara de esos problemas en la Academia de Berlín. Tomemos ejemplo del gran Euler.

Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, ICSU)

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