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La ley de Lotka

Alfred James Lotka es bien conocido por las famosas ecuaciones de Lotka-Volterra, usadas en ecología para determinar la dinámica de una población, u model predador-presa que describimos en la anterior entrada en este blog titulada Los tiburones de Vito Volterra. Pero este es sólo uno de sus logros, y la figura de Lotka merece sin duda que le dediquemos una entrada.

Alfred James Lotka

Lotka nació el 2 de marzo de 1880 en Lwów, entonces una ciudad del Imperio Austro-Húngaro, y hoy en día una ciudad de Ucrania. Sus padres, Jacques y Marie (Doebely de soltera) Lotka eran de origen polaco y norteamericanos de nacionalidad. Su educación fue muy internacional, y así consiguió su título de bachiller en la Universidad de Birmingham y finalizó su graduación en 1902 en la de Leipzig. Continuó su formación en la Universidad de Cornell y se doctoró en la original de Birmingham en1912.

Aunque a Lotka se le considera un matemático, su formación era mucho más amplia, y de hecho, en Birmingham y Leipzig estudió Química, y Química-Física; de hecho, en Leipzig recibió lecciones de Friedrich Wilhelm Ostwald, que recibió el Premio Nobel de Química en 1909 por sus trabajos sobre la catálisis. Esta formación en Química le permitió trabajar para la General Chemical Company, desde 1902 hasta 1908 y desde 1914 hasta 1919, ya que en el periodo 1909-1912 se dedicó a preparar su tesis doctoral en Birmingham.

Sus primeros trabajos fueron en el estudio de la dinámica de las mezclas de gases, y también comenzó su interés por los procesos demográficos. Después de interesarse por los modelos matemáticos para la malaria, publica en 1925 su gran obra Elements of Physical Biology, en el que propone una nueva aproximación a la teoría de la evolución. Su propuesta, muy influida por sus conocimientos de química, es que la energía desempeña un papel clave en la evolución, que, al final, resultaría de una lucha permanente de los organismos para hacerse con la energía disponible: los que sobreviven son los que mejor capturan y utilizan la energía disponible en su entorno. Esto supone un paso más en las ideas de D’Arcy Thompson’s  en su obra On Growth and Form, tratando de incluir la física en la evolución (ver La vida es simétrica). Estas dos obras se consideran los fundamentos de la hoy llamada Biología matemática.

Modelo predador-presa de Lotka-Volterra

Las ecuaciones denominadas como de Lotka–Volterra fueron inicialmente propuestas por Lotka, en sus trabajos de 1910 sobre las reacciones químicas, partiendo de la ecuación logísitica obtenida por Pierre François Verhulst. En 1920 Lotka extendió el modelo a seres vivos (plantas y animales hervíboros. Vito Volterra llegó a las mismas ecuaciones motivado por una pregunta de su futuro yerno. Se sabe que Lotka y Volterra mantuvieron después una correspondecia sobre estos temas.

Un logro menos conocido de Lotka es la llamada Ley de Lotka, uno de los resultados pioneros en Bibliometría. Lotka obtuvo su ley analizando los nombres de los autores que aparecían en Chemical abstracts (una especie de Mathematical Reviews para los químicos), en el decenio 1907-1916. Dedujo, de manera empírica, una ley sobre la distribución de los autores según su productividad: el número de autores, An que publican n artículos sobre una materia es inversamente proporcional al cuadrado de n, es decir

An = A1/n2

dónde A1 es el número de autores que publican un solo artículo en ese tema. Esto está relacionado con la Ley de Zipf.

Ejemplo de la Ley de Lotka

El propio Lotka explica la importancia de estas leyes bibliométricas: “Sería de interés determinar, si es posible, la parte en la que hombres de diferente calibre contribuyen al progreso de la ciencia.” La ley dice que la mayoría de los autores publican pocos artículos, mientras que unos pocos son los que producen la mayoría de ellos. Esto es cierto en todas las disciplinas y permite identificar grupos de investigación basándose en la coautoría del líder. Este link al artículo Lotka’s inverse square law of scientific productivity:  Its methods and Statistics  proporciona más información sobre esta contribución de Lotka.

Lotka se incorporó en 1922 a la universidad Johns Hopkins hasta 1924, año en el que comenzó a trabajar para una compañía de seguros, MetLife (Metropolitan Life Insurance Company), hasta su jubilación en 1947. Falleció en Nueva York el 5 de diciembre de 1949.

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, ICSU).

 

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Trilobites

El 27 de diciembre de 1831 Charles Darwin partía en la HMS Beagle para su periplo alrededor del mundo que duraría 5 años, hasta el 2 de octubre de 1836. Fruto de ese viaje resultó el maravilloso libro El origen de las especies, en el que Darwin expuso la teoría de la evolución. Darwin decía en el prólogo:

“As many more individuals of each species are born than can possibly survive; and as, consequently, there is a frequently recurring struggle for existence, it follows that any being, if it vary however slightly in any manner profitable to itself, under the complex and sometimes varying conditions of life, will have a better chance of surviving, and thus be naturally selected. From the strong principle of inheritance, any selected variety will tend to propagate its new and modified form.”

Paradoxides davidis

 

Solo sobreviven los miembros de una especie cuyos ligeros cambios supongan un plus de supervivencia, los mas adaptados a los cambios. Eso han hecho los trilobites durante casi 300 millones de años, llegando a diferenciarse en unas 4000 especies. Aparecieron en el Cámbrico, hace unos 540 millones de años, y empezaron a diversificarse. Sufrieron la extinción masiva de finales del Cámbrico de la que sólo sobrevivieron los que habitaban en ambientes pelágicos. Revivieron y en el Ordovícico alcanzaron su máxima diversidad ocupando casi todos los nichos ecológicos marinos. Sufrieron una nueva crisis en el Devónico, que casi provocó de nuevo su extinción. Finalmente, los últimos trilobites desaparecieron hace unos 250 millones de años.

Darwin no conocía el mecanismo último de la evolución, no conocía la doble hélice, ni lo que la combinación de cuatro letras (A, T, C, G) podría ser capaz. Las matemáticas rigen en gran medida la evolución, con la combinatoria genética que el monje agustino Gregor Johann Mendel experimentó con sus guisantes; pero también la topología dicta como se enrollan las proteínas; y que decir de la dinámica que rige la evolución de las poblaciones, descubiertas por Thomas Robert Malthus, o las bases de la genética cuantitativa establecida por Sergei Sergeevich Chetverikov, y posteriormente por Sewall Wright, J.B.S. Haldane y Ronald Fisher.

 

Psychopyge elegans

Los trilobites tampoco conocían las leyes que regían su destino; reinaron durante millones de años, y sucumbieron después. Nosotros si conocemos esas leyes, y podemos hacer uso de ese conocimiento. Vivimos en un planeta que se está volviendo insostenible para nuestro futuro próximo. El comandante de la HMS Beagle era Robert FitzRoy, quien al volver dedicó sus esfuerzos a diseñar un sistema de previsión del tiempo en el mar para ahorrar las vidas de los marineros, advirtiendo de posibles temporales; el plan fue desechado pronto por los armadores, que preferían arriesgar la vida de sus marineros antes que perder sus ingresos. Los instrumentos (modelos matemáticos) que ahora tenemos para estudiar el clima son muchos y mucho mas sofisticados. Estamos ante un cambio climático que puede terminar con nuestra especie; deberíamos haber aprendido algo del destino de los trilobites.

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, ICSU).

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