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La arquitectura moderna y las matemáticas

En entradas anteriores comentábamos la influencia de la razón aúrea en la pintura renacentista y de cómo la misma se había prolongado en el tiempo hasta la pintura contemporánea de Dalí. En esta entrada hablaremos de la influencia de la proporción aúrea y otros números “mágicos” en la arquitectura clásica y moderna. Recordemos que la notación usual para el número aúreo es φ, según algunos autores, por las iniciales de Fidias (Φειδίας, en griego), famoso escultor y arquitecto. Fidias vivió en la época de Pericles, quién le encargó la reconstrucción de la Acrópolis de Atenas.

Por ejemplo, el famoso arquitecto Frank Lloyd Wright (1867–1959) diseñó la rampa de acceso al museo Guggenheim de Nueva York, con forma de nautilus, o una espiral logarítmica.

Museo Guggenheim, Nueva York

La concha del nautilus es el mejor ejemplo de espiral logarítima encontrada en la naturaleza y que ahora inspira obras arquitectónicas. Las espirales logarítmas aparecen como consecuencia de un movimiento giratorio asociado a un crecimiento tridimensional uniforme en tiempos iguales. La espiral logarítmica fue estudiada por Descartes, y posteriormente, Jakob Bernouilli le dedicó un libro y la llamó Spira mirabilis «la espiral maravillosa». D’Arcy Thompson le dedicó un capítulo de su tratado On Growth and Form (Sobre el crecimiento y la forma) (1917).

El arquitecto polaco-isrelí Zvi Hecker (1931) es uno de los contemporáneos cuya obra se basa en la geometría, usando simetrías y asimetrías. Por ejemplo, su edificio de apartamentos en forma de espiral

o el diseño del ayuntamiento de Bat Yam, al sur de Tel Aviv, que tiene forma de pirámide invertida. También se aprecia un claro apiñamiento geométrico en el ayuntamiento de Boston, y en diversos bloques de apartamentos.

Sello conmemorativo del edificio del Ayuntamiento de Bat-Yam

 

Otra de sus aclamadas obras es la escuela judía Heinz-Galinsky en Berlín, cuya disposición emula el centro de un girasol con elementos arquitectónicos girando a su alrededor.

Escuela Heinz-Galinski, Berlin

La sucesión de Fibonacci está presente en la filotaxia cuando contamos el número de espirales a izquierda y derecha en un girasol. Estos números son elementos de la sucesión de Fibonacci. En 1979, el biólogo matemático Helmut Vogel propuso este sencillo modelo para el girasol

r=c{\sqrt {n}},

\theta =n\times 137.508^{\circ },

donde n es el número de orden del brote contado desde el centro hacia afuera, θ es el ángulo entre una dirección de referencia y el vector de posición del brote, r es la distancia del centro del girasol al centro del brote, y finalmente, c es un factor de escala constante. Se sigue que el ángulo de divergencia 137.508°  entre dos brotes consecutivos es constante, siendo este precisamente el llamado ángulo aúreo, asociado, como no, a la sucesión de Fibonacci.

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, ICSU) y Cristina Sardón (ICMAT-CSIC).

 

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El ritmo de las matemáticas

En los últimos veinte años, podemos encontrar un buen número de álbumes musicales con alusiones a las matemáticas o a la física. En muchos casos pasan desapercibidos, bien por estar compuestos en otros idiomas o porque los bajos son tan graves, el feedback es tan acusado, o las voces son tan desgarradas, que hacen difícil la comprensión del mensaje incluso en nuestra propia lengua. Hay obras en las las letras de las canciones contienen alusiones a teorías físicas o matemáticas, mientras que otras, directamente, han compuesto su línea instrumental con figuras de recursión fractal u otros algoritmos matemáticos.

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A continuación, haremos una lista de algunas de las canciones y de los álbumes.

Por ejemplo, el grupo californiano de rock progresivo TOOL, nacido en la década de los 90, dedicó una de sus canciones titulada “Lateralus” a la serie de Fibonacci. La manera de hacerlo reside en el número de golpes de voz en cada frase. Dice lo siguiente:

(1) Black,

(1) then,

(2) white are,

(3) all I see,

(5) in my infancy,

(8) red and yellow then came to be,

(Traducción

(1) Negro,

(1) después,

(2) se vuelve blanco,

(3) todo lo que veo,

(5) en mi infancia,

(8) se convirtieron en rojo y amarillo,

)

correspondiente a una sucesión de Fibonacci ascendente, seguida de una sucesión de Fibonacci descendente,

(5) reaching out to me,

(3) let me see.

(Traducción:

(5) alcanzándome,

(3) dejadme ver.

)

para comenzar un nuevo descenso desde el 13.

(13) As below so above and beyond I imagine,

(8) drawn beyond the lines of reason.

(5) Push the envelope.

(3) Watch it bend.

(Traducción:

(13)  Como tan por debajo, tan por encima y más allá imagino,

(8) ser conducido a las líneas de la razón.

(5) Forzar el recubrimiento

(3)  y verlo decaer.)

Pero no sólo se registran guiños matemáticos en la composición de las letras. James Keenan,  cantante de TOOL (que además es actor y viticultor) comienza a cantar 1m 37 s desde el inicio del tema, que es aproximadamente 1.618 de un minuto, próximo al número aúreo, relacionado con la sucesión de Fibonacci. Inicialmente, la canción “Lateralus” iba a titularse 9-8-7, que es el término 17 de la sucesión de Fibonacci y porque los compases de la canción se registran de forma descendente: 9/8, 8/8, 7/8 …

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A finales de la década de los 80 se registró un nuevo género musical: el Math rock, un subgénero del rock progresivo caracterizado por la utilización de las matemáticas como fuente creativa. Este género se distingue fundamentalmente por la batería, ya que este es probablemente el instrumento más capacitado para emular ritmos con una clara estructura matemática. La voz pasa a desempeñar un papel secundario, y así muchas de las bandas etiquetadas como math rock son únicamente instrumentales. Dos grupos representativos de este género son : “American Football” (de Urbana, Illinois) y “Maximum de Hormone” (japoneses).

Este estilo aún se encuentra restringido a los ambientes más underground, con grabaciones en discográficas pequeñas y con actuaciones en festivales locales.

Del Math rock han surgido múltiples escisiones, como el mathcore: una variación de ritmos más complejos y disonantes que el metalcore. Pero el nombre no obedece al uso de patrones matemáticos sino más bien a la complejidad técnica; el uso de “math” en el nombre alude a la extendida idea de la dificultad de las matemáticas. La banda más representativa es Converge, que han llegado a ganar popularidad gracias a su número de seguidores y múltiples apariciones en revistas musicales. En cabeza de la línea histórica del mathcore se sitúan los famosos Black Flag con su album “My war” (mi guerra) de 1984.

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En el libro “American Hardcore: A Tribal History, Thirsty and Miserable“, de Steven Blush, describe este estilo como:

“Metal dirges and fusion-style time signatures proved too much for many fans”.

(“es una lamento metálico con fusión de estilos, cuyo ritmo fue demasiado para muchos fans”.)

Además de la estructura compositiva, existen canciones basadas en conceptos de la física o matemáticas, plasmados en sus letras. Un claro ejemplo es la banda británica Indie Muse, con su albúm titulado “Black holes and revelations” y sus singles “Supermassive black hole” y “Starlight”, cuyos títulos se refieren a la cosmología. El título “Supermassive Black Hole” (agujero negro supermasivo) es una metáfora del vacío que deja el amor y la inevitable caída al abismo, similar a la región de frontera formada por un agujero negro, el llamado “horizonte de sucesos” a partir del cual no hay escapatoria y la caída es inevitable.

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La popular “boy band” One Direction, surgida del concurso británico “X factor” nos sorprende entre sus canciones románticas para adolescentes, con una poesía aritmética titulada “The math song”, que dice:

You’re insecure, so half of four,

Your old brains are not what they were before,

Add two threes, it’s fine for us,

‘Cause we’re young and we can still remember stuff

Everyone else can multiply by 60,

Everyone else can add two

And Now take off one hundred and add on 24,

Then divide by two and add on seven more

And if you’re struggling now it’s not hard to tell

You don’t know, (o oh) your maths skills are terrible

(Traducción:

Eres inseguro, a la mitad de cuatro

tu intelecto no es lo que fue

Suma dos tercios, estamos de acuerdo

porque aún somos jóvenes y recordamos cosas)

Todos pueden multiplicar por 60,

Los demás pueden sumar dos

Ahora parte de cien y suma 24,

después divide por dos y suma otros siete,

si ya te está costando, no es dificil darse cuenta

y no lo sabes, de que tu capacidad de cálculo es terrible).

Muchos otros grupos utilizan números en sus títulos y propia letra de canciones (recordemos esta entrada anterior del blog). Aquí va un breve listado:

- Radiohead “2+2=5”, de su albúm “Hail to the Thief”, de 2003.

- The Clash, en “The magnificient seven”, de 1980.

- Yeah, Yeah, Yeahs: “10×10”

- Most Def,  “Mathematics”

- Coolio: “1,2,3,4, summin’ up”

- Aphex twin: “4”

¡Seguiremos hablando de matemáticas y escuchando música en próximas entregas!

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, ICSU, CORBI) y Cristina Sardón (ICMAT-CSIC).

 

 

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