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Posts etiquetados con ‘Francis Galton’

Historias de pi: Cuando Sir Francis Galton nos enseñó como dividir una tarta redonda

El 20 de diciembre de 1906, sir Francis Galton publicó un breve artículo en la sección de Cartas al Editor de Nature con el título: “Cutting a Round Cake on Scientific Principles” (“Dividiendo una tarta redonda siguiendo principios científicos”). La comentamos en esta entrada porque es una auténtica curiosidad de un científico tan relevante como Galton.

Sir Francis Galton, 1840

Galton escribe:

NAVIDAD sugiere tartas, y estas el deseo por mi parte de describir un método de cortarlas que he ideado recientemente para mi propia diversión y satisfacción.  El problema a resolver era: “dado una tarta de te redonda de unas 5 pulgadas de ancho, y dos personas de moderado apetito para comerla, de qué manera debería dividirse para dejar un mínimo de superficie expuesta a secarse”. El método ordinario de cortar una cuña es muy defectuoso en este sentido. El resultado que hay que conseguir es cortar el pastel de forma que las porciones restantes encajen.

El texto incluye unas figuras

 

con este texto explicativo debajo:

Las líneas a trazos muestran el corte previsto. Las líneas rectas continuas muestran los cortes realizados. Los trozos se mantienen juntos mediante una banda elástica común que encierra el conjunto. En las figuras anteriores, cada una de las dos operaciones sucesivas elimina aproximadamente un tercio de la superficie del disco original.        

En consecuencia, las cuerdas (o los arcos) de las circunferencias de estas porciones deben ser iguales. La dirección de los dos primeros planos verticales de la sección no es importante; pueden pueden ser paralelos, como en la primera figura, o pueden encerrar una  cuña. Los cortes que se muestran en las figuras representan aquellos de dejar que la tarta dure tres días, cada operación sucesiva ha eliminado aproximadamente un tercio de la superficie del disco original. Una banda de goma común abraza el conjunto y mantiene los trozo unidos.

F.G.

Repartir tartas entre varios comensales es un problema matemático que da mucho juego, sobre todo si se quiere hacerlo de manera equitativa. Por ejemplo, en este video

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se indica una manera de hacer el reparto cuando tenemos tres participantes, método generalizable a muchos más, lo que complicaría muchísimo el proceso. En el video no se trata en realidad de un problema de geometría, más bien de teoría de la elección.

Como hablamos de tartas redondas, la geometría si nos da pistas. Lo habitual es dividir la tarta en cuñas (sectores circulares) iguales, porque nos vamos a comer toda la tarta ya, y no tenemos la preocupación de Sir Francis Galton de que se reseque. Y para hacerlo, ya sabemos que los sectores circulares deben ser iguales, y si está presente un matemático, le pueden pedir que divida 360º entre el número de comensales (la broma usual). Y ya puestos, que calcule el área y el volumen de cada trozo resultante (pi en danza).

Pero si la tarta es muy grande, las cuñas pueden ser demasiado largas y poco manejables. En este artículo, Cómo cortar un pastel redondo grande para que salgan porciones decentes,  hemos encontrado una solución muy ingeniosa. Se trazan dos circunferencias, tal y como se ve en la figura, y se cortan las cuñas, pero ahora ya son más cortas, tal y como en el video. Con el centro, vale la sugerencia del video o dividirlo a su vez

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Solo me queda pedirles que disfruten de la tarta.

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, Real Academia Galega de Ciencias).

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La máquina de Galton

Siempre que puedas, cuenta

Sir Francis Galton

No es la primera vez que Francis Galton se asoma a Matemáticas y sus fronteras. En El matemático que quiso medir la inteligencia hablamos de sus estudios sociológicos y antropológicos  , y en La extinción de los apellidos entre la aristocracia victoriana y el número R sobre el ahora famoso número R en el caso de la transmisión vertical. Pero hoy nos centraremos en uno de sus diseños, la llamada máquina de Galton.

 

Galton nació en Birmingham, el 16 de febrero de 1822, y falleció en Haslemere, Surrey, el 17 de enero de 1911).  Se le puede calificar de polímata, porque sus intereses y actividades fueron de lo más variado y abarcaban la estadística, la sociología, la psicología, antropología, geografía, y muchas más cosas.

Galton fue pionero en la aplicación de los métodos estadísticos a las ciencias sociales y a la medicina, también a la meteorología. En realidad, fue por esas aplicaciones por lo que Galton se dedicó a estudiar la estadística. En las citadas entradas previas podemos encontrar muchos más detalles.

Sir Francis Galton

En Estadística nos interesa conocer los valores medios y como las mediciones se dispersan en torno a estos. A finales de 1860, Galton fue capaz de proponer la llamada desviación estándar. En su estudio de la distribución normal, Galton inventó una máquina que se llamó la Máquina (o Tablero) de Galton. Su objetivo era demostrar el teorema del límite central, en particular que, con una muestra lo suficientemente grande, la distribución binomial se aproxima a la distribución normal. Como comentamos, su curiosidad era conocer por qué ciertas características humanas, como la altura, en lugar de variar aleatoriamente dentro de una población, parecían variar dentro de una cierta estructura, una distribución normal. Galton quería precisamente era proporcionar una demostración práctica de por qué ocurre este hecho (aparte, por supuesto, de la demostración matemática, basada en el Teorema Central del Límite).

 

Diseño original de Galton

El Tablero de Galton consiste en un tablero vertical en el que se van intercalando filas de clavijas tal y como se muestra en la imagen. Ahora vamos dejando caer desde arriba cuentas o bolitas que van rebotando en las clavijas. Al golpearlas, pueden rebotar a la izquierda o hacia la derecha. Las cuentas acaban agrupándose en los recipientes de la base del tablero, y uno observa como las alturas de las columnas se aproxima a la curva de campana. La razón de esto es que hay muchas más formas de llegar a estos contenedores centrales que a los extremos. En efecto, aunque la probabilidad de ir a un lado o a otro es de ½, hay más maneras de irse hacia el centro que hacia los lados.

La fascinanción de Galton por la curva de campana queda de manifiesto en su libro Herencia Natural, publicado en 1889:

Orden en el Caos Aparente: Sé de casi nada tan apto para impresionar la imaginación como la maravillosa forma de orden cósmico expresada por la Ley de la Frecuencia del Error. La ley habría sido personificada por los griegos y deificada, si hubieran sabido de ella. Reina con serenidad y en completo olvido en medio de la más salvaje confusión. Cuanto más grande es la multitud, y cuanto más grande es la anarquía aparente, más perfecto es su dominio. Es la ley suprema de la irracionalidad. Cada vez que una gran muestra de elementos caóticos son tomados en mano y reunidos en el orden de su magnitud, una insospechada y más bella forma de regularidad demuestra haber estado latente todo el tiempo.

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, Real Academia Galega de Ciencias).

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La extinción de los apellidos entre la aristocracia victoriana y el número R

En la segunda mitad del siglo XIX surgió una curiosa preocupación entre la aristocracia victoriana sobre la posible extinción de sus apellidos. Para entender el problema, comencemos recordando que esos apellidos se transmitían desde el padre (no madre) a los hijos, tanto varones como hembras, pero luego eran sólo los hijos varones quienes los volvían a transmitir.

Una representación esquemática de la transmisión de apellidos siguiendo la línea masculina. Sólo los hijos varones transmiten el apellido.

Esta preocupación tuvo eco entre los estadísticos de la época, como muestra el hecho de que sir Francis Galton (Birmingham, 1822 – Haslemere, 1911) propusiera en la revista The Educational Times and Journal of the College of Preceptors, el 1 de marzo de 1873, la siguiente cuestión:

“Question 4001 (Proposed by FRANCIS GALTON) — A large nation, of whom we will only concern ourselves with the adult males, N in number, and who each bear separate surnames, colonise a district. Their law of population is such that, in each generation, a0 per cent. of the adult males have no male children who reach adult life; a1 have one such male child; a2 have two; and so on, up to a5 who have five. Find (1) what proportion of the surnames will have become extinct after r generations; and (2) how many instances there will be of the same surname being held by m persons.

[The Proposer remarks that a general solution of this problem would be of much aid in certain rather important statistical enquiries, and that he finds it a laborious matter to work it out numerically, in even the simplest special cases, and to only a few generations. In reality, the generations would overlap and mix, but it is not necessary to suppose them otherwise than as occurring in successive steps.]”

Sir Francis Galton

El reverendo, y matemático, Henry William Watson (Marylebone, 1827 – Berkswell, 1903) aceptó el desafío y propuso una solución en la misma revista el 1 de agosto de 1873. A raíz del intercambio de ideas entre ellos, publicaron un artículo conjunto titulado “On the probability of the extinction of families” en 1875, en la revista Journal of the Royal Anthropological Institute of Great Britain and Ireland, con la solución a la cuestión de Francis Galton. Aunque los autores no eran conscientes de ello, con ese artículo Francis Galton y Henry William Watson habían redescubierto el trabajo previo del estadístico francés Irénée-Jules Bienaymé (París, 1796 – París, 1878) sobre la extinción de familias cerradas (aristocráticas, por ejemplo), motivo por el cual hoy el proceso es conocido como proceso de Galton-Watson, pero también como de Bienaymé-Galton-Watson.

Henry William Watson

Puede ser interesante construir el proceso en un contexto general para que el lector luego pueda identificar otras aplicaciones que no sean la original de Francis Galton a su problema.

Consideremos una población de individuos que cambia su configuración en instantes discretos de tiempo n = 0, 1, 2, … – denominados generaciones – y que, con independencia de la naturaleza de los individuos – personas, organismos, neutrones, genes – lo hace de la siguiente manera:

  • Cada individuo de la generación n produce un número aleatorio de nuevos individuos, denominados descendientes, en la generación n+1.
  • La secuencia Xa, Xb, … formada por los números de descendientes para cada individuo a, b, … está formada por variables aleatorias mutuamente independientes, que son también independientes de los números de descendientes de individuos en las generaciones previas.
  • Los números Xa, Xb, … también son idénticamente distribuidos con función de masa común F = {Pk: k=0,1, …}, donde Pk = P{ Xa = k }.

Es decir, la ley de probabilidad que determina el tamaño Xa de la descendencia de un individuo – el individuo a – de la generación n es la misma que la correspondiente ley para cualquier otro individuo de esa u otra generación, y su realización – por ejemplo, el individuo a de la generación n genera k descendientes – no depende del número de descendientes generados por el resto de los individuos de la generación n a la que pertenece o de las generaciones previas. Siguiendo esta descripción, el estado Zn del proceso de Galton-Watson en el instante n es el número de individuos en la generación n.

En el problema original de Francis Galton,  Zn representa el número de apellidos iguales al del antecesor inicial presentes en la población en la generación n por herencia a lo largo de la línea masculina. En esta contabilidad sólo se contabilizan los apellidos de los varones, no de las hembras, dado que éstas no transmitirán su apellido en generaciones futuras. El hecho de asumir un único antecesor inicial está vinculado a suponer Z0  = 1.

Comenzando desde Z0 = 1, el estado del proceso en la generación n+1 se obtiene desde la recursión

Zn+1 = X1(n+1) + … + XZn(n+1),

 que expresa el número de descendientes en la generación n+1 desde la contribución (a esa generación n+1) del i-ésimo individuo – es decir, Xi(n+1) – de la generación n. El número de descendientes en la generación n es una variable aleatoria Zn que podría tomar el valor 0, en cuyo caso Zn+1 = 0 y, como consecuencia, Zm = 0 en cualquier generación posterior m = n, n+1, … Es importante destacar que la independencia de las variables aleatorias Xi(n) garantiza que la sucesión {Zn: n=0,1,…} verifica la propiedad Markoviana.

No todas las elecciones de la distribución de descendencia F conducen a un proceso de Galton-Watson interesante. Por ejemplo, si F está concentrada sobre un único punto (es decir, Pk = 1 para un cierto número k), entonces el proceso es determinista y Zn es el producto de k consigo mismo n veces.

El proceso de Galton-Watson determinista, cuando el número de hijos varones es siempre igual a 1.No olvidemos que las hijas no influyen en la herencia del apellido.

Otro proceso poco interesante se tiene cuando F está concentrada sobre los puntos k = 0 y 1, de modo que P0, P1 > 0 y P0 + P1 = 1. En este caso, la población permanece en el estado inicial Z0 = 1 durante un cierto número n’ de generaciones – con probabilidad igual al producto de P1 consigo mismo n’ veces – y luego salta al estado 0 en la siguiente generación n’+1 – con probabilidad P0 –, donde permanece indefinidamente. El estado 0 es, entonces, absorbente y refleja la extinción del proceso en la generación n’+1.

 

Supervivencia de un apellido durante n’ = 3 generaciones (sin incluir la inicial) y extinción en la 4ª generación.

Para evitar estos casos particulares, el análisis del proceso de Galton-Watson está habitualmente asociado a la hipótesis de que la distribución de descendencia no está concentrada sobre un único punto (por ello, Pk < 1 para todo k) y asigna probabilidad estrictamente positiva (Pk > 0), al menos, a algún k > 1. En tal caso, un sencillo cálculo conduce a una expresión para el tamaño medio de la población en la generación n en términos de

E[Zn] = M·…·M,

es decir, el producto del tamaño medio M de la descendencia de un individuo consigo mismo n veces.

El valor de M tiene propiedades interesantes y permite clasificar los procesos de Galton-Watson como supercríticos (M > 1), críticos (M = 1) y subcríticos (M < 1), de manera que la extinción del proceso se observa con seguridad en los casos crítico y subcrítico, mientras que el proceso puede no extinguirse en el caso supercrítico con probabilidad positiva.

Estos últimos comentarios nos llevan a ver una clara similitud entre el tamaño medio M de la descendencia de un individuo en el proceso de Galton-Watson y el factor reproductivo básico R0 de los modelos epidémicos, como puede observar el lector comparando esta entrada con otras entradas recientes sobre las matemáticas del coronavirus, y las matemáticas contra la malaria y el modelo SIR. Esa similitud no es casual, dado que el proceso de Galton-Watson tiene aplicaciones a la trasmisión de enfermedades infecciosas en sus fases iniciales de propagación.

Entre las aplicaciones modernas se encuentra la proliferación de neutrones libres en una reacción de fisión nuclear, desde los trabajos de Leo Szilard a finales de 1930. Pero no hay que olvidar la genética, sin duda la más cercana al trabajo de Francis Galton y Henry William Watson que nos permite explicar por qué un reducido número de individuos, antepasados de Homo sapiens, tienen ahora descendientes sobrevivientes de la línea masculina reflejados en un número bastante pequeño de haplogrupos distintivos de ADN del cromosoma Y humano.

Mario Castro Ponce (Universidad Pontificia Comillas), Manuel de León (Instituto de Ciencias Matemáticas CSIC, Real Academia de Ciencias) y Antonio Gómez Corral (Universidad Complutense de Madrid)

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El matemático que quiso medir la inteligencia

Uno de los grandes nombres en la historia de la Estadística es Sir Francis Galton, nacido el 6 de febrero de 1822 en Sparkbrook (Birmingham), y fallecido el 17 de enero de 1911 en Haslemere, Surrey. Trazaremos en esta entrada una breve reseña de su vida y obra.

 

Francis Galton

La familia de los Galton eran cuáqueros, dedicados a la fabricación de armas y a la banca, emparentados con la familia de los Darwin, dedicados estos a la medicina y a la ciencia. Francis Galton fue un niño prodigio, que dominaba las lenguas clásicas y aritmética a los cinco años. Comenzó los estudios de medicina pero se cambió enseguida a los de matemáticas en el Trinity College, de la Universidad de Cambridge, desde 1840 hasta 1844. Aunque al finalizar quiso volver a la Medicina, la muerte de su padre que le legó una considerable fortuna, le llevó a no depender más de una profesión. Fue entonces cuando se desató su pasión viajera. Como viajero, Galton cosechó muchos éxitos, y fue premiado por la Royal Geographical Society y por la Sociedad Geográfica francesa por sus contribuciones cartográficas.

Su trayectoria vital presenta dos etapas bien diferenciadas. En la primera, estuvo entretenido en la exploración del continente africano, escribiendo sobre sus viajes, y dedicado a la geografía y la meteorología. Su segunda etapa comienza cuando lee la obra de su primo Charles Darwin, El Origen de las Especies. Impresionado por la teoría de la evolución, comienza a interesarse en los factores que determinan la inteligencia y la personalidad, que a su entender, deben tener una gran componente hereditaria. Y así se dedica al estudio de la antropometría, el papel de la psicología, promueve la eugenesia, y para hacer todo esto, funda lo que ahora se llama Biometría, e inventa dos de los instrumentos esenciales de la Estadística, la correlación y el análisis regresivo. Es esta segunda etapa la que lo consagró en el mundo de la ciencia, y especialmente, en el de la Estadística.

 

Diagrama de correlación de Galton, 1875

Galton estudiaba muchos aspectos de los seres humanos, desde las características mentales hasta las faciales y los dibujos de las huellas dactilares. Su pregunta era como intervenían la herencia y el ambiente en la formación de una persona. Esto le llevó a recolectar una enorme cantidad de datos que después debía tratar estadísticamente. Publicó sus hallazgos en el libro Hereditary Genius, en 1865, en el que defendía que el genio es fundamentalmente una cuestión de herencia.

 

Trabajando en varios experimentos con semillas de guisantes, Galton define lo que en principio llamó reversión, y luego regresión, aunque no llegaba a entender completamente las matemáticas encerradas en el concepto. En el siguiente video se explica la llamada regresión a la media.

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En 1884-85 se celebró en Londres la International Health Exhibition, y Galton aprovechó la ocasión para diseñar un laboratorio que se podía visitar. El laboratorio era un recorrido interactivo en el cual a los sujetos se les medía la altura, el peso, etc., y se les hacía un cuestionario. Siguió haciendo así progresos con la noción de regresión, y es cuando surge además la noción de correlación. Por cierto que este laboratorio continuó después el trabajo y se convirtió en el Laboratorio Biométrico de otro gran nombre de la Estadística, Karl Pearson en la University College.

Francis Galton y Karl Pearson

En 1889 Galton publicó otra obra, Natural inheritance, en la que trataba los conceptos de correlación y regresión.  Este libro tuvo una enorme influencia Karl Pearson, como él mismo confiesa.

Galton recibió muchos honores por todos estos trabajos, el más notable, su nombramiento de caballero en 1909. Recibió también la Medalla Real de la Royal Society, y la Medalal Darwin y la Medalla Copley de esta misma sociedad. Pero también la Medalla Huxley del Anthropological Institute y la Medalla Darwin-Wallace de la Linnean Society.

Uno de las herencias de Galton es Biometrika, revista de referencia en el mundo de la Estradística, fundada en 1901 por Francis Galton, Karl Pearson y Raphael Weldon para promover el estudio de la biométrica.

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias).

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