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Posts etiquetados con ‘geometrías no euclidianas’

Las geometrías y otras revoluciones

Acaba de publicarse un nuevo libro de matemáticas en la colección ¿Qué sabemos de?, una empresa conjunta del Consejo Superior de Investigaciones Científicas y la editorial Catarata. Se trata de Las geometrías y otras revoluciones, y la autora es Marina Logares.

La alegría ante este libro es doble. Por una parte, se trata de una persona a la que aprecio mucho, que trabajó en nuestro Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT), haciendo su tesis doctoral en la Universidad Autónoma de Madrid. Tras su paso como investigadora postdoctoral en el Max Planck Institut für Mathematik de Bonn, el Centro de Matemática do Porto, volvió al ICMAT. Se incorporó al Mathematical Institute en Oxford con una beca Marie Curie, y desde 2017 es profesora en la Universidad de Plymouth. Marina ha trabajado muy duro para conseguir finalmente una estabilidad muy merecida.

Marina Logares

Por otra parte, éste es el duodécimo libro de matemáticas de la colección, un 12% del total de los publicados hasta ahora, lo que es motivo de orgullo ya que el CSIC cuenta con unos 120 institutos, y este dato indica el compromiso que siempre hemos mantenido con la divulgación científica.

El libro traza una historia de la geometría, de su nacimiento ante la necesidad de medir, su hito con Los Elementos de Euclides, que suponen no solo una fundamentación prodigiosa de la disciplina sino también del nacimiento del rigor matemático y las demostraciones. El axioma de la quinta paralela es el que dará lugar a la aparición de las geometrías no euclidianas, intuidas por Gauss pero que salen a la luz con Lobachevski y Bolyai. El análisis de las causas que motivaron la cautela de Gauss para hacer público estas geometrías son cuidadosamente analizadas, y parecen deberse a la posible reacción en contra del filósfo Kant. La nueva geometría desarrollada por Félix Klein con el Programa de Erlangen es también descrita: ahora hablamos de una geometría y del grupo de transformaciones que la deja invariante. Las referencias a las aplicaciones a la teoría de la relatividad general de Albert Einstein y al papel desarrollado por David Hilbert y posteriormente por Emmy Noether son inevitables y están muy bien detalladas.

Por otra parte, debemos destacar la distinción hecha entre las dos direcciones de la geometría: la geometría diferencial, que es la geometría cuando incorpora el análisis; y la geometría algebraica, al hacerlo con el álgebra. La autora es una experta en geometría algebraica, geometría compleja y física matemática, y así presenta de una manera muy intuitiva conceptos complicados, como los esquemas de Grothendieck, el Programa de Langlands o los fibrados de Higgs.

El libro se cierra con dos breves capítulos sobre fractales y el arte en relación con la geometría.

En definitiva, un excelente libro que acompañaría con otro publicado en esta colección anteriormente, La geometría del universo, y con el que comparte esa pasión por la geometría.

El libro se puede comprar en librerías y también por internet en este enlac. Esperamos que en breve haya también una edición electrónica del mismo.

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias).

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Fiódor M. Dostoievski y las geometrías del mal

En verdad, en verdad os digo que si el grano de trigo que cae en la tierra no muere, queda solo; pero si muere produce mucho fruto.

 

Este mes de agosto, me tocó releer esa impresionante novela de Fiódor M. Dostoievski, “Los hermanos Karamázov”, como libro elegido de mi club de lectura. Había leído la novela hace muchísimos años, cuando los clásicos rusos eran lectura obligatoria para todo joven aifcionado a la lectura, y en esa ocasión no me había fijado en este sorprendente párrafo, parte de la conversación que Iván Karamázov mantiene con su hermano Aliosha:

“No obstante, hay que señalar que, si Dios existe y si realmente ha creado la tierra, la ha creado, como sabemos positivamente, de acuerdo con la geometría euclidiana, y ha creado la mente humana con la noción de tres únicas dimensiones espaciales. Ha habido, sin embargo, y sigue habiendo en la actualidad, geómetras y filósofos, algunos de ellos admirables, que dudan de que todo el universo o, en un sentido más amplio, toda la existencia, haya sido creada, exclusivamente, de acuerdo con la geometría euclidiana, y que se atreven a imaginar incluso que dos líneas paralelas, las cuáles, según Euclides, en ningún caso pueden converger en la tierra, quizá puedan encontrarse en algún punto del infinito. “

Más avezado en esta segunda lectura en las geometrías no euclidianas, me interesé por las razones que llevaron a Dostoievski a incluir esta referencia en su novela, y, en particular, por qué traza ese paralelismo entre el mal y este tipo de geometrías.

Fiódor Mijáilovich Dostoievski

 

Ivan Karamazov representa en la novela al intelectual, a la nueva Rusia, un modernismo que contrasta con el idealismo y la religiosidad de su hermano Aliosha. La creencia en Dios está socavada por la existencia del mal; si el mundo está creado a la imagen divina, entonces debe ser euclidiano, pero no lo es, porque da lugar al dolor y al mal, especialmente dirigidos hacia los niños, que mueren a veces sin darles tiempo a vivir una existencia más completa. Las geometrías no euclidianas son una evidencia de que el hombre no puede comprender a Dios.

Nikolái Ivánovich Lobachevski

En la época en la que Dostoievski escribe Los hermanos Karamazov, está produciéndose una revolución en las matemáticas, por obra de Cantor, Hilbert, Fregge, entre otros, que lleva a una concepción más abstracta de la disciplina, no sujeta a nuestra aparente percepción de la realidad. El autor era un conocido lector de revistas contemporáneas, y seguramente tuvo noticia de estos y otros descubrimientos, como los de su paisano Nikolai Lobachevsky.

En la novela, hay otros episodios en los que el diablo (su alter ego) se aparece en sus deliriuos a Ivan, y le dice: “Porque, igual que tú, yo también tiendo a fantasear, y por eso me encanta vuestro realismo terrrenal. Aquí todo está acotado, aquí tenéis fórmulas, tenéis geometría, ¡mientras que entre nosotros todo son ecuaciones indeterminadas!”.Si en la Tierra todo fuera razonable  no ocurriría nada. Sin ti, no habría acontecimientos, y es preciso que los haya”. “Soy la equis de una ecuación indeterminada”.

Aconsejo la lectura del artículo “Dostoyevsky as mathematician (part II)”, de Agnese Ilaria Tellonni y Carlos Toffaroli, publicado en Lett Mat Int 3 (2015), 197-204, para un estudio exhaustivo de las matemáticas en la obra de Dostoievski.

Si a veces pueda parecer que el novelista ruso no apreciaba las matemáticas y tenía de ellas una imagen negativa, como hacen ver Telloni y Toffalori en su artículo, si está claro que las consideraba importantes, y lo son además para entender su obra.

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Manuel de León (CSIC, Fundador y Director del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, ICSU).

 

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