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La arquitectura moderna y las matemáticas II

En una entrada previa hablamos sobre edificios emblemáticos que siguen unas pautas matemáticas en su diseño. Pero hay otros edificios que aparentemente no siguen un patrón y parecen, más bien, trozos pegados de una manera arbitraria. Pensemos por ejemplo en esta Casa Danzante de Praga, construida en 1997 por el arquitecto Frank Gehry:

La Casa Danzante de Praga

 

Esta Casa Danzante está formada por dos bloques, que asemejan dos bailarines, y de ahí que se les conozca popularmente como Fred y Ginger, en recuerdo de los famosos Fred Astaire y Ginger Roberts, protagonistas de tantas películas musicales de Hollywood (aquí se puede encontrar una excelente descripción de este edificio).

Otro ejemplo, también de Frank O. Gehry, son las bodegas Elciego, la bodega más famosa de los Herederos del Marqués de Riscal, en la Rioja Alavesa, que parece surgir de la tierra como un viñedo. Otros ejemplos son el famoso museo Guggenheim de Bilbao, el auditorio de Los Ángeles o el museo de arte Weisman.

Bodega Elciego

¿Qué tienen que ver estos edificios con las matemáticas? O, preguntando de otra manera, ¿qué matemáticas nos sugieren estos edificios? A primera vista, son objetos geométricos, curvas y superficies, en el espacio tridimensional. Podrían interpretarse desde el punto de vista matemático como variedades diferenciables, estructuras que son localmente como los espacios euclidianos y que pueden “parchearse” para formar estructuras globales.

Una construcción matemática como la “suma conexa” de variedades aparece en la arquitectura. Dadas dos subestructuras de la figura arquitectónica, podremos unir dos variedades de la misma dimensión y este proceso deja en cada variedad una frontera. Lo podemos ver en el Museo de Arte Weisman (en inglés, Weisman Art Museum o WAM), el museo de arte de la Universidad de Minnesota (Minneapolis), y que está alojado en un edificio diseñado por el Frank Gehry e inaugurado en 1993. Este edificio se encuentra dentro del campus universitario, sobre el río Mississippi al este del puente de la Avenida Washington. El edificio presenta dos fachadas bien diferenciadas dependiendo desde donde se observe. Desde el campus se ve una fachada de ladrillo del estilo de las demás construcciones del edificio y, desde el otro lado, se aprecia la exuberancia de formas curvas y angulares de acero que representan la abstracción de una cascada y un pez.

Museo de Arte Weisman

Si volvemos a España, es interesante recordar el trabajo del ingeniero Ildefonso Cerdá, que realizó estudios estadísticos y síntesis gráficas para la construcción de viviendas y el trazado del barrio del Ensanche en Barcelona. La geometría del barrio se conoce como la cuadrícula de Cerdá. Propuso el ensanche “ilimitado”, una cuadrícula regular e imperturbable, a diferencia de otras propuestas que rompen el ritmo repetitivo. La genialidad de este ingeniero preveía la construcción óptima para la futura circulación de vehículos.

Plan Cerdá

Sin embargo, siempre hay excepciones a la regularidad, especialmente en el paseo de Gracia y la rambla de Cataluña, donde se trazaron sólo dos vías consecutivas en vez de tres como indicaba la geometría restante. Por tanto, estas manzanas presentan irregularidades en forma de trapecio en vez de seguir el diseño ortogonal con chaflanes.

Para terminar, planteamos el problema de “La Unión” basándonos en el estupendo ejemplar de National Geographic dedicado a Geometrías No Euclideas y de venta en los quioskos recientemente.

Imaginemos dos poblaciones distintas distribuidas en cuadrículas, como el barrio del Ensanche en Barcelona.  Las poblaciones deciden unirse, y para eso, los ayuntamientos deciden trazar una calle de unificación. La condición a cumplir es que cualquier vehículo que transite esta vía de unión esté igualmente equidistante de las dos poblaciones que se unifican.

La geometría en el plano dispone una solución clara: Si en un plano con ejes cartesianos XY se supone que A está situado en el origen (0,0) y B en un punto de coordenadas (4,2), simplemente habrá que construir la mediatriz entre A y B que pase por el punto medio de ambos. Equivale a calcular los puntos P que verifican

d(P,A)=d(P,B)

Sin embargo, no es un modelo válido para geometría urbana, pues la mediatriz involucra derribar un número de dificios. La solución más adecuada en este caso es la de la “geometría del taxista” (lolamada también la “geometría de Manhattan”), con la cual se siguen conservando las distancias globalmente y sin sacrificar los edificios. Este tipo de métrica fue considerada por Hermann Minkowski en el siglo XIX, y es una forma de geometría en la cual la métrica usual de la geometría euclideana es reemplazada por una nueva métrica en la cual la distancia entre dos puntos es la suma de las diferencias (absolutas) de sus coordenadas.

En verde, la distancia euclídea, y en rojo, azul y amarillo, la distancia Manhattan.

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, ICSU) y Cristina Sardón (ICMAT-CSIC).

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La arquitectura moderna y las matemáticas

En entradas anteriores comentábamos la influencia de la razón aúrea en la pintura renacentista y de cómo la misma se había prolongado en el tiempo hasta la pintura contemporánea de Dalí. En esta entrada hablaremos de la influencia de la proporción aúrea y otros números “mágicos” en la arquitectura clásica y moderna. Recordemos que la notación usual para el número aúreo es φ, según algunos autores, por las iniciales de Fidias (Φειδίας, en griego), famoso escultor y arquitecto. Fidias vivió en la época de Pericles, quién le encargó la reconstrucción de la Acrópolis de Atenas.

Por ejemplo, el famoso arquitecto Frank Lloyd Wright (1867–1959) diseñó la rampa de acceso al museo Guggenheim de Nueva York, con forma de nautilus, o una espiral logarítmica.

Museo Guggenheim, Nueva York

La concha del nautilus es el mejor ejemplo de espiral logarítima encontrada en la naturaleza y que ahora inspira obras arquitectónicas. Las espirales logarítmas aparecen como consecuencia de un movimiento giratorio asociado a un crecimiento tridimensional uniforme en tiempos iguales. La espiral logarítmica fue estudiada por Descartes, y posteriormente, Jakob Bernouilli le dedicó un libro y la llamó Spira mirabilis «la espiral maravillosa». D’Arcy Thompson le dedicó un capítulo de su tratado On Growth and Form (Sobre el crecimiento y la forma) (1917).

El arquitecto polaco-isrelí Zvi Hecker (1931) es uno de los contemporáneos cuya obra se basa en la geometría, usando simetrías y asimetrías. Por ejemplo, su edificio de apartamentos en forma de espiral

o el diseño del ayuntamiento de Bat Yam, al sur de Tel Aviv, que tiene forma de pirámide invertida. También se aprecia un claro apiñamiento geométrico en el ayuntamiento de Boston, y en diversos bloques de apartamentos.

Sello conmemorativo del edificio del Ayuntamiento de Bat-Yam

 

Otra de sus aclamadas obras es la escuela judía Heinz-Galinsky en Berlín, cuya disposición emula el centro de un girasol con elementos arquitectónicos girando a su alrededor.

Escuela Heinz-Galinski, Berlin

La sucesión de Fibonacci está presente en la filotaxia cuando contamos el número de espirales a izquierda y derecha en un girasol. Estos números son elementos de la sucesión de Fibonacci. En 1979, el biólogo matemático Helmut Vogel propuso este sencillo modelo para el girasol

r=c{\sqrt {n}},

\theta =n\times 137.508^{\circ },

donde n es el número de orden del brote contado desde el centro hacia afuera, θ es el ángulo entre una dirección de referencia y el vector de posición del brote, r es la distancia del centro del girasol al centro del brote, y finalmente, c es un factor de escala constante. Se sigue que el ángulo de divergencia 137.508°  entre dos brotes consecutivos es constante, siendo este precisamente el llamado ángulo aúreo, asociado, como no, a la sucesión de Fibonacci.

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, ICSU) y Cristina Sardón (ICMAT-CSIC).

 

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