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Una mirada distinta de las matrices

Miradas Matemáticas, el proyecto que surgió de la colaboración entre el Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT), la Federación Española de Profesores de Matemáticas (FESPM) y la editorial Catarata, se va afianzando, y es un orgullo para todos nosotros presentar su décima entrega, este estupendo libro de Mireia López Beltrán y Pura Fornals Sánchez, “Una mirada distinta de las matrices”.

 

“Una mirada distinta de las matrices”, que lleva como subtítulo, “Viajes, retos y magia”, es un recorrido por una de las nocienes más relevnates en el mundo de las matemáticas, las matrices. Una matriz es una ordenación de números o letras dispuestos en foilas y columnas. Aunque las matrices surgieron conceptualmente más tarde que los determinantes, con los que están emparentadas de manera indisoluble, su interés no se queda solo en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales que aprendimos en la escuela secundaria.

Así, el libro se divide en cinco capítulos. El primero comienza con la teoría de grafos y como las matrices ayudan a su comprensión, y llega a las aplicaciones a la World Wide Web y la ordenación de páginas web de buscadores como Google y su PageRank. Se cuenta en el segundo capítulo el uso de las matrices en el tratamiento de imágenes y las aplicaciones en criptografía. El capítulo 4 se dedica a cuestiones más lúdicas como la construcción de cuadrados latinos, pero también al uso de los mismos en el diseño de experimentos. Finalmente, en el capítulo 5 nos reencontramos con los determinantes y las soluciones de los sitemas de ecuaciones.

Como en todos los libros se la colección, se incluyen reseñas sobre los diferentes personajes que han contribuido a desarrollar la teoría de matrices, y que ayudan a colocar el correspondiente contexto histórico. Además, se insertan en cada capítulo una serie de ejercicios, de manera que la lectura sea no solo amena sino interactiva.

 

Sobre las autoras

Mireia López Beltrán

Es licenciada en Matemáticas por la Universitat de Barcelona (UB) y doctora en Didáctica de las Matemáticas por la Universitat Autònoma de Barcelona (UAB). Profesora de educación secundaria, trabaja en el Instituto de Ciencias de la Educación de la Universitat Politècnica de Catalunya (UPC). Es autora de diferentes artículos en didáctica de las matemáticas y coordinadora del proyecto Estalmat-Catalunya.

Mireia López Beltrán

 

Pura Fornals Sánchez

Es Catedrática de educación secundaria. Licenciada en Matemáticas por la Universitat de Barcelona (UB), da clases en el instituto Francesc Macià de Cornellá de Llobregat. Presidenta del MMACA (Museu de Matemàtiques de Catalunya) y profesora del proyecto Estalmat-Catalunya y Anem x + Matemàtiques. Es autora de diferentes artículos y publicaciones y formadora de profesorado sobre el uso de materiales manipulativos en el aula.

Pura Fornals Sánchez

Finalmente, incluimos la página web de la colección https://www.catarata.org/libro/una-mirada-distinta-de-las-matrices_99964/ en donde los interesados encontrarán detalles para poder adquirir no solo este libro sino también los otros 9 de la colección.

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias).

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El hombre de los determinantes

Una de las reglas más famosas que recordamos todos del bachillerato es la llamada Regla de Cramer, que nos sirve para resolver sistemas de ecuaciones lineales con unos sencillos cálculos de determinantes de matrices y submatrices.

Gabriel Cramer

La regla es muy simple. Si el sistema de ecuaciones (n ecuaciones y n incógnitas) es

A11 x1 + … + A1n xn = b1

A21 x1  + … + A2n xn = b2

……………………………….

An1 x1 + … + Ann xn = bn

se puede representar de una manera simple como

Ax = b    (1)

donde A es la matriz formada por los coeficientes de las incógnitas x1, …, xn y x es el vector representado en forma de columna igual que b (formado por los números b1, …, bn) de manera que en la ecuación anterior usamos la regla para multiplicar matrices de filas x columnas.

La regla de Cramer nos dice que las soluciones se obtienen de esta manera tan sencilla

xi = det Ai / det A

donde Ai  se obtiene de la matriz A sustituyendo la columna i-ésima por los elementos de b. Obviamente, estamos tratando con sistemas regulares en los que la matriz A tiene determinante no nulo.

Este método fue propuesto por el matemático suizo Gabriel Cramer (1704-1752), y fue incluida en si obra Introduction à l’analyse des lignes courbes algébriques. Parece ser que para algunos casos particulares era ya conocida por el matemático escocés Colin Maclaurin.

Hay otra manera de ver la ecuación global (1); bastaría calcular la inversa de la matriz A, sea A-1, y entonces

X = A-1 b

nos daría la solución. El cálculo de esta inversa juega un papel decisivo en la demostración de la regla de Cramer.

Mientras que la regla de Cramer es perfecta desde el punto de vista teórico, no lo es tanto a la hora de ponerla en práctica, y es más eficaz el método de eliminación de Gauss. Tengamos en cuenta que para sistemas con un número elevado de ecuaciones e incógnitas necesitamos usar ordenadores.

Gabriel Cramer

Gabriel Cramer fue un joven prodigio, nacido en una familia acomodada en Ginebra. A los 18 años defendió una tesis doctoral sobre la teoría del sonido, y a los 21 estaba opositando para una cátedra de filosofía. Aunque no era el candidato oficial (Amédée De la Rive), él y otros de sus contrincantes, el joven Giovanni Ludovico Calandrini, impresionaron tanto al tribunal por sus conocimientos, que decidieron dividir la cátedra en dos, una de filosofía y otra de matemáticas. Calandrini y Cramer deberían compartir la de matemáticas, lo que así hicieron a satisfacción de todos.

 

Jean-Louis Calandrini.

Cramer propuso un cambio muy importante en la enseñanza, usar el francés y no el latín, para conseguir llegar a más personas.

Una de las características de su puesto era que le permitían viajar por Europa, y así pudo visitar a los mejores matemáticos de la época: Johann Bernoulli, Leonhard Euler, Halley, de Moivre, Stirling, Willem ‘sGravesande, Fontenelle, Maupertuis, Buffon, Clairaut, etc. Estos contactos, que siguieron luego por carta, le permitieron estar al día en la frontera de la investigación matemática.

En 1734, Cramer se queda solo en la cátedra de Matemáticas. Desarrolló en todos los años de su vida una actividad muy intensa, publicando sobre temas muy diversos en matemáticas. Una prueba de su prestigio es que el propio Johann Bernouilli le encargó la publicación de sus obras completas, lo que también hizo con las de Jacob Bernouilli, además de editar la correspondencia entre Euler y Johann Bernouilli.

Cramer murió prematuramente. A pesar de su excelente salud, sufrió una caída de un carruaje, y ya no se recuperó; falleció cuando se dirigía al sur de Francia (Provenza), dónde su médico le había recomendado pasar una temporada tranquila y con un buen clima.

 

La curva del diablo

La curva del diablo

Cramer se asocia habitualmente a una interesante curva denominada curva del diablo. El nombre alude a la meniscata del centro, muy similar a un juego que fue popular a finales del siglo XVIII, el “diabolo”.

Mujer parisina jugando al diabolo

 

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias).

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