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El matemático que construyó nuevos puentes entre la geometría y el álgebra

Con esta entrada damos fin al repaso que hemos hecho estos pasados días en Matemáticas y sus fronteras a los medallistas Fields del ICM2018 en Río de Janeiro. Y lo hacemos con un matemático que se ha convertido ya en un icono, como lo prueba el lleno histórico en su charla en el ICM. Se trata de Peter Scholze, al que todos dimos como casi seguro Fields desde hace meses.

Peter Scholze

Peter Scolze nació en Dresden, el 11 de diciembre de 1987, y es por tanto unos de los más jóvenes medallistas Fields de la historia. Su padre es físico y su madre investigadora en ciencias de la computación, con una hermana química. Como el mismo bromea en esta entrevista, su familia cubre las ciencias naturales. Estudió en un instituto de Berlín, siguiendo un itinerario especial de ciencias naturales. Su valía para las matemáticas fue pronto evidente, participando en varias ocasiones en la Olimpiada Matemática Internacional, en las que consiguió tres oros y una plata.

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Estudió matemáticas en la Universidad de Bonn en un tiempo récord: tres semestres para el grado y dos para el máster. Finalmente, en 2011, defendió su tesis doctoral bajo la supervisión de Michael Rapoport. La tesis, Perfectoid Spaces, perfilaba ya sus grandes resultados. En la entrevista citada cuenta como su interés por la geometría algebraica surge de la fascinación por la prueba de Andrew Wiles del Teorema de Fermat.

El trabajo de Scholze se enmarca en la llamada geometría p-ádica. Los números p-ádicos son una extensión natural de los números racionales, alternativa a la usual a los números reales y complejos. Dos números están próximos si su diferencia es una potencia de p (un número primo). Se construye el cuerpo Qp , que se puede construir de manera alternativa a partir de sucesiones de Cauchy, como en el caso de los reales, aunque cambiando la métrica. La construcción algebraica es debida a Kurt Hensel en 1897, cuando este matemático alemán trataba de resolver problemas de teoría de números por métodos alternativos a los usuales.

 

Kurt Hensel

Scholze introdujo unos nuevos objetos, llamados perfectoides. Su nombre viene de los llamados anillos perfectos; estos espacios, con una naturaleza tipo fractal, abrieron nuevos puentes entre la geometría y el álgebra. Los perfectoides le permitieron probar un caso especial de la conjectura de la monodromía con pesos. Sus resultados permitieron un mejor conocimiento de la cohomología de las variedades hiperbólicas de dimensión 3,  y espacios localmente simétricos.

Peter Scholze trabaja en Bonn, en donde se puso en marcha una iniciativa extraordinaria de la política científica alemana, el Centro de Excelencia Haussdorff, que ha creado una gran erfevescencia n torno a la investigación matemática, con numerosos y ptentes investigadores y jóvenes matemáticos. Scholze comenta en el video de la Fundación Simons como acostumbra a comer con todos sus estudiantes, creando un clima de confianza y de colaboración, de ida y vuelta con los problemas que él les plantea.

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Peter Scholze es el segundo matemático alemán en conseguir una medalla Fields, el primero fue Gerd Faltings, en 1986, por la demostración de la conjetura de Mordell. Mucho del trabajo de Scholze se incardina en los desarrollos de Faltings en Geometría Aritmética.

Se ha resaltado por muchos medios su rechazo al premio New Horizons, para jóvenes talentos matemáticos, dotado con 100.000 dólares, financiado por el millonario y filántropo ruso Yuri Milner y el fundador de Facebook, Mark Zuckerberg. También se ha salientado sus pinitos como músico de rock. No son más que anécdotas. Lo más impactante de Scholze es la profundidad de sus matemáticas, y su carácter humilde y generoso.

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias).

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El matemático que disfrutaba manipulando números

El tercer matemático que ha sido galardonado con la medalla Fields en el ICM2018 es Akshay Venkatesh, nacido en Nueva Delhi (India) el 21 de noviembre de 1981. Su familia emigró a Australia cuando él tenía dos años, y así Akshay creció en Perth. Su madre es profesora de computación en la Universidad de Deakin.

Akshay Venkatesh

Akshay Venkatesh fue un niño prodigio, con una mente especialmente doatad para las matemáticas y la física, compitiendo en las Olimpiadas en ambas disciplinas en las que consiguió medallas en varias ocasiones. Su talento le llevó a entrar en la Universidad de Austria Occidental (Perth) a a los 14 años, el estudiante más joven de la historia en esa universidad.

En el video que ha preparado la Fundación Simons para la presentación de la medalla Fields de Akshay Venkatesh, este cuenta como de niño disfrutaba pasando números del sistema decimal al binario (quizás influenciado por la profesión de su madre) en un cuaderno de espiral. Es realmente impactante verlo en esas fotografías como un auténtico niño acompañando a sus colegas mucho más mayores.

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A los 16 años estaba en la Universidad de Princeton con la finalidad de estudiar Teoría de Números. Defendió su tesis titulada “Limiting forms of the trace formula” en 2002, a la edad de 20 años. Su director de tesis fue nada menos que Peter Sarnak, uno de los grandes investigadores en el tema. Una vez más la combinación de talento joven con talento veterano produce un resultado espectacular.

Su trabajo pionero ha sido el uso de los sistemas dinámicos en la teoría de números. En la cita del premio se reconoce su trabajo “en la síntesis de la teoría analítica de números, dinámica homogénea, topología y teoría de la representación”.  Las técnicas habituales de los sistemas dinámicos caóticos le han permitido encontrar patrones en los números. Su tesis se centraba en el estudio de las llamadas funciones L, variaciones de la famosa función Zeta, tan relevante en la hipótesis de Riemann. Actualmente está interesado en el Programa de Langlands (de hecho, el confesaba en la introducción de su tesis doctoral la inspiración que le debía a Robert Langlands, por su artículo Beyond Endoscopy. Sobre su precisión, sus colegas dicen de Vekantesh que cuando pone el punto final a una demostración, ya no queda nada por mejorar, que de allí irá ya tal cual a los libros de texto.

Laudatio de Akshay Venkatesh por Peter Sarnak en el ICM2018 (cortesía de la RSME)

Akshay es actualmente profesor en la Universidad de Stanford, y está casado con Sarah Paden, una profesora de música, con la que tiene dos hijas, Tuli y Tara, de 3 y 7 años respectivamente. Akshay confiesa que las matemáticas son muy absorbentes, casi obsesivas, estudiando problemas en los que muchas veces te ves atascado. Cuenta como ese ambiente familiar le ayuda a poner los pies en tierra. Su afición a correr también le ayuda a clarificar sus pensamientos y resolver los problemas matemáticos, una sensación que le hace pensar en que es un priviligiado por poder trascender de una manera que la mayoría de los humanos no podrán.

Terminamos con unas palabras de la que fue su profesora en Perth, Cheryl Prager (quién, por cierto, fue mi colega por bastantes años en el Comité Ejecutivo de la Unión Matemática Internacional):

“Cuando nos vimos la primera vez, hablé con su madre Svetha, mientras que Akshay estaba sentado en mi mesa observando atentamente mi encerado que estaba cubierto con las fórmulas de la tesis de uno de mis estudiantes de doctorado. Le expliqué el problema en cuestión a petición suya, y me dio la impresión que había capturado la esencia del tema.”

Para unos, Akshay es el segundo australiano en conseguir una medalla Fields, tra Terence Tao, también en los Estados Unidos, en la Universidad de California en Los Ángeles. Para otros, es el segundo indio en lograrlo, después de Manjul Bhargava, quién lo logró en el ICM de Seúl en 2014. Probablemente el mestizaje de ambas culturas sea lo que haya producido semejante talento.

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias).

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Los kurdos no tienen amigos, salvo las montañas

El video elaborado por la Fundación Simons sobre el medallista Fields del ICM2018, Caucher Birkar, comienza con este recordando ese viejo dicho sobre su pueblo, los kurdos: “Los kurdos no tienen amigos, salvo las montañas”. Este dicho refleja muy bien la historia de los kurdos, siempre a caballo de países como Turquía, Irán, Irak, que nunca los han dejado ser un país propio.

 

Caucher Birkar

Caucher Birkar tuvo una infancia muy difícil, como muchos de los niños de su entorno, en medio de la guerra entre Irán e Irak, un escenario poco favorable para que un niño en una familia de granjeros desarrollase interés por las matemáticas. Su pueblo natal, Marivan, estaba en la frontera, y allí nació en 1978 Caucher, el tercero de seis hermanos. Fue su hermano Haider quién le enseñó matemáticas avanzadas, mucho más de lo que la escuela alcanzaba. Pero las matemáticas arraigan en territorios hostiles, como a veces pasa con algunas plantas en el asfalto o en el desierto, y en este caso, el genio natural de Caucher solo necesitaba algo de agua matemática.

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Tras una tesis en la Universidad de Nottingham, en 2004, Caucher Birkar lleva ahora doce años en Cambridge, en su Departamento de Matemática Pura, un entorno muy diferente al de su niñez. Y aquí es donde pudo explotar su talento. He de decir que pocas veces he escuchado una explicación mejor de la tarea de un matemático que la que él nos cuenta en este fantástico video. Caucher ve la tarea del matemático en dos etapas: una, disfrutar leyendo las maravillosas obras de lo que otros matemáticos han hecho hasta ahora, y una segunda en la que aprendes a volar y a descubrir las conexiones desconocidas entre esos momumentos.

Birkar es un refugiado, que llegó en 2000 al Reino Unido tras su graduación en Irán, en la Universidad de Teherán. Un recordatorio para todos nosotros, europeos, de que nadie es más que nadie, que el talento existe en cualquier parte del mundo, independientemente de culturas y razas. Y que las diferencias son solo debidas a las circunstancias coyunturales: pobreza o fanatismo de algunos.

Mientras que Alessio Figalli y Peter Scholze estaban en todas las quinielas, Caucher Bikar fue una de las sorpresas, aunque cuando uno examina su trabajo se da cuenta que él también tendría que haber estado en esas listas de potenciales ganadores. Su trabajo es realmente fascinante. Se enmarca en lo que se llama geometría birracional, que trata de establecer cuando dos variedades algebraicas (las que están definidas por ecuaciones algebraicas) son isomorfas. Vale recordar aquí para los menos duchos en matemáticas como la geometría se puede transformar en álgebra usando las ecuaciones que definen los espacios en cuestión: una circunferencia se puede ver como una ecuación cuadrática, una recta como una lineal. A veces un problema geométrico se resuelve si lo conseguimos hacer en su contexto algebraico.

 

Una variedad de Fano

La birracionalidad significa que tratamos con aplicaciones racionales y no con ecuaciones polinómicas, y que estas tienen inversas también racionales. Algunas de estas variedades algebraicas son los modelos, los bloques con los que podemos clasificarlas todas. El Programa del Modelo Minimal consiste en probar que bastan unos cuantos parámetros y de ecuaciones para tenerlas todas clasificadas. cualquier variedad algebraica sería birracionalmente isomorfa a una de tres tipos posibles: variedades de Fano, variedades de Calabi-Yau, y variedades de tipo general. Su aportación se ha centrado en las llamadas variedades de Fano, nombre debido al matemático italiano Gino Fano (1871-1952).

Caucher Bikar dice que ojalá este premio consiga una sonrisa entre sus paisanos, los 40 millones de kurdos que esperan poder vivir en su propio país. ¡Qué su deseo se cumpla!

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias).

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Alan Baker, el teórico de la trascendencia matemática

En esta entrada hablaremos de otro medallista Fields que nos ha dejado recientemente, el matemático británico Alan Baker, víctima de un infarto.

Alan Baker nació el 19 de agosto de 1939 en Londres, y falleció el 4 de febrero de 2018 en Cambridge, a la edad de 78 años. Estudió matemáticas en el University College London, y de allí pasó al Trinity College de la Universidad de Cambridge para realizar su tesis doctoral bajo la dirección de Harold Davenport. Baker fue un investigador muy precoz, y publicó ocho artículos de investigación antes de defender su tesis doctoral. Aunque su carrera se desarrolló fundamentalmente en Cambridge, tuvo periodos como visitante en varios centros del mundo, especialmente en el Instituto de Estudios Avanzados de Princeton y en la Universidad de Stanford.

Alan Baker se distinguió en un maravilloso campo de la Teoría de Números, los llamados números trascendentes. Recordemos que un número trascendente es un número irracional que no es solución de una ecuación algebraica con coeficientes enteros. Por ejemplo, √2 es un número irracional, pero no es trascendente (es algebraico), ya que es la solución de la ecuación algebraica x2 = 2.

El uso del término “trascendente” es debido a Gottfried Leibniz, quién en un artículo de 1682 probó que la función seno no era algebraica; la definición moderna de número trascendente se remonta a Leonhard Euler, en 1748, cuando probó que el número logab no es algebraico para números racionales a y b siempre que b no sea de la forma ac para algún racional c. Cien años después de Euler, Joseph Liouville hizo importantes avances en la construcción de números trascendentes. Los resultados se fueron sucediendo, e incluso David Hilbert incorporó el tema en su el séptimo de los famosos 23 enunciados en el Congreso Internacional de Matemáticos de París en 1900. De hecho, este fue el enunciado de Hilbert:

¿Es ab trascendental, siendo a ≠ 0,1 algebraico y b irracional algebraico?

 

Alan Baker

A los resultados de matemáticos tan notables como Ferdinand von Lindemann, Charles Hermite, Serge Lang, Alexander Gelfond, Theodor Schneider, se suceden los de Alan Baker. Su primer gran resultado, y el motivo por el que se le concedió la medalla Fields en el Congreso Internacional de Matemáticos de 1970 en Niza, fue la generalización del teorema de Gelfand-Schneider (que daba la solución al Séptimo Problema de Hilbert). Su resultado permitió generar numerosos nuevos números trascendentes.

Estos logros fueron conseguidos con 25 años, lanzándolo a la fama matemática internacional; Baker ha sido uno de los medallistas Fields más jóvenes en conseguir este preciado galardón, a los 31 años.

Baker siguió toda su vida trabajando en estos temas, y es autor de numerosos artículos así como de libros convertidos ya en auténticos clásicos modernos. En esta entrada del blog de Terence Tao se pueden encontrar detalles sobre el Séptimo Problema de Hilbert y los logros de Baker.

Baker no era un personaje especialmente sociable, no era fácil hacerse amigo suyo, pero fue siempre muy respetado, desprendía esa aureola de los realmente sabios. Pero no solo las matemáticas llenaban su vida;  Baker era un gran aficionado a los viajes, a la fotografía y al teatro. Descanse en paz.

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, ICSU).

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Y Maryam rompió las reglas

El pasado 15 de julio, Maryam Mirzakhani perdía su larga batalla contra el cáncer y nos dejaba conmovidos. He intentado a través de las redes sociales compartir las noticias que han ido apareciendo en los medios de comunicación de todo el mundo, con el objetivo de que todos fuésemos conscientes de cómo una menuda mujer de 40 años, llena del genio de las matemáticas, nos había impactado de una manera tan intensa.

La muerte de Maryam Mirzakhani tiene muchas componentes de tragedia. Porque como su amigo Firouz M. Naderi apuntó en Twitter: “A genius?  Yes. But also a daughter, a mother and a wife.” Y yo añadiría, un símbolo.

Maryam ha conseguido romper las reglas. El mismo Presidente Hassan Rouhani subió una foto Mirzakhani en Instagram sin el pañuelo, el hijab, lamentando la enorme pérdida. En The Guardian hemos visto esta foto que reproducimos encima de estas líneas, con las portadas de periódicos iraníes con fotos similares. Así que Maryam ha roto dos reglas: las de género consiguiendo una medalla Fields por primera vez para una mujer desde su creación en 1936; y las de la religión.

Ella era consciente de estas implicaciones, pero lamentablemente, ese enemigo secular de la humanidad llamado cáncer la ha privado a ella de disfrutar su merecido premio y a nosotros de disfrutar de sus matemáticas y su carácter tan especial.

Equipo olímpico de Arabia Saudí

Hoy hemos visto en las redes un video con dos participantes del equipo olímpico de Arabia Saudí en las Olimpiadas Matemáticas Internacionales que se celebran en Río de Janeiro del 12 al 23 de este mes. Shaden y Joud cuentan su experiencia en pasadas olimpiadas, cubiertas de cabeza a pies con el niqab. Quedan muchas reglas por romper para que las mujeres de los países musulmanes disfruten de un trato igualitario. Ojalá esta fuera la última vez que asistiéramos a un video como este. Todos confiamos en que el ejemplo de Maryam pueda también conmover a algunos de estos hombres que marcan reglas impropias para conseguir una sociedad justa.

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, ICSU)

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La muchacha persa

Comparto este texto que guardaba para otros propósitos, todavía impactado por el fallecimiento de Maryam Mirzakhani. Descanse en paz la muchacha persa.

 

Agosto de 2014, una joven mujer pasea por el centro de convenciones COEX en Seúl; enormes ojos azules y grises, y a su lado, su hija, una niña de tres años, Anahita. Es Maryam Mirzakhani, la muchacha persa que viajó con 23 años a Harvard para hacer su tesis doctoral y es ahora profesora en Stanford. Maryam ha ganado la medalla Fields, y se ha convertido ya en leyenda viva al ser la primera mujer en conseguirlo.

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Cuando iba al colegio pasaba por una calle llena de librerías en las que no podía hojear los libros maravillosos que llenaban los escaparates. Pero la niña que soñaba con ser escritora se convirtió en matemática. Aunque sus ambiciones no cambiaron, solo los protagonistas, las superficies en su nueva vida. Maryam dice que la investigación matemática es como una novela, con personajes diferentes que vas conociendo cada día mejor, pero a veces vuelves a leerla y es completamente diferente a la primera impresión.

Maryam ha descubierto fascinantes estructuras de las superficies hiperbólicas, que una por una son elusivas, pero todas a la vez (el moduli) proporcionan las respuestas deseadas. Las superficies hiperbólicas son las generalizaciones de la geometría no euclidiana descubierta por Bolyai, Gauss, y Lobatchevski. Así, rellena inacabables papeles con dibujos de toros, y de esferas en las que borra o añade asas. Maryam también ha desentrañado algunas de sus conexiones con la física teórica y otras ramas de las matemáticas. Ha viajado muchas veces por caminos sin señalizar y sin metas a la vista, y a pesar de ello ha alcanzado las cimas de algunas colinas a lomos de su extraordinaria intuición geométrica.

Maryam es suave, rezuma empatía y humildad; cuando recibió un correo electrónico comunicándole que había ganado la medalla Fields creyó que era un hacker.

Maryam cuando era una niña

Aquella muchacha cuya única ambición era leer cada libro que cayera en sus manos ha derribado una muralla y se ha convertido en un símbolo, un símbolo para la liberación de la mujer en un mundo que la margina. Maryam, que ha tenido que combatir el cáncer, tan frágil pero tan fuerte.

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, ICSU)

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¿Excelencia individual o colectiva?

Esta entrada está motivada por una conversación de hace unos días con uno de mis colegas. Tanto él como alguno más, sostienen que basta la excelencia individual para triunfar, así que uno debe contratar investigadores postdoctorales de calidad y esperar que alguno de ellos pueda probar teoremas importantes que le deparen, por ejemplo, la consecución de una de las codiciadas becas del European Research Council (ERC) (alguno se atreve a sugerir la obtención de una medalla Fields con este procedimiento).

Es verdad que la calidad individual es importantísima y que puede ayudar a probar resultados relevantes, pero en un instituto del CSIC tenemos dos graves handicaps. El primero es que los mecanismos de contratación del CSIC son tan perversos y obsoletos que al final el proceso se eterniza; a la vez, los salarios no son competitivos. La conclusión es que el número de candidatos es moderado, y se trata sobre todo de postdocs jóvenes. Estamos compitiendo con los grandes centros internacionales, que ofrecen mejores salarios y un contrato directo (no hay bolsa de trabajo ni inventos similares pensados para que, en aras de la transparencia y la igualdad de oportunidades, se dificulte todo lo posible el proceso de selección).

El segundo handicap es el número de contratos que se pueden ofertar. Si cada cuatro años ofertamos diez, no creo que el resultado tenga altas probabilidades de éxito realmente, porque el teorema de los monos tecleando las obras de Shakespeare requiere millones de monos (el Teorema del Mono Infinito fue planteado por un matemático eminente, Émile Borel, en 1913, en su libro Mécanique Statistique et Irréversibilité).

Por lo tanto, a la excelencia individual hay que añadir la excelencia institucional, la colectiva. Estos jóvenes postdocs deben encontrar en el instituto en cuestión un ambiente acogedor, una infraestructura de excelencia, que les ayude a explotar su potencial, proporcionándoles recursos para que su investigación vaya mas lejos. Son jóvenes investigadores que precisan todavía de formación y asesoramiento: un ambiente con seminarios, trimestres temáticos, congresos, los ayudará y estimulará.

A la vez, se precisa de gestores que coordinados con la dirección y la gerencia, y asesorados por ellos, los ayuden en la elaboración de proyectos, y que contemplen en un modo global la parte científica acompañada en algunos casos de las propuestas de transferencia, y siempre de las de comunicación. Por ejemplo, en el ICMAT creamos las oficinas ICMAT EUROPA e ICMAT TRANSFER y un Gabinete de Comunicación (este último dentro de una Unidad de Cultura Científica).

En consecuencia, se necesita excelencia individual acompañada de excelencia colectiva o institucional (la institución de acogida es siempre un plus en cualquier proceso selectivo). El apoyo mutuo genera el círculo virtuoso.

Todo ello exige dedicación por parte de la dirección del instituto en cuestión y de los directores científicos de los proyectos institucionales, y así, el sacrificar una parte de la investigación propia en aras de los intereses colectivos. La pregunta es si, en nuestro caso, mis colegas están dispuestos a ese acto de generosidad.

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, ICSU).

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