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Las matemáticas de la pandemia

Nos hacemos eco en Matemáticas y sus fronteras de la más reciente publicación de la colección ¿Qué sabemos de?, una empresa conjunta del Consejo Superior de Investigaciones Científicas y la Editorial Catarata. Se trata de Las matemáticas de la pandemia, obra de Manuel de León y Antonio Gómez Corral.

 

Las matemáticas juegan un papel destacado en la comprensión de las pandemias y en cómo combatirlas; nos ayudan a prevenirlas, a predecirlas y a controlarlas. De hecho, la emergencia de SARS-CoV-2 ha llenado los medios de términos técnicos cuyo origen y correcta interpretación están ligados a conceptos matemáticos.

El libro fue surgiendo desde la necesidad de explicarle al ciudadano de dónde salían esos conceptos que los medios y los políticos repetían una y otra vez: aplanar la curva, factor de reproducción, inmunidad de rebaño. Todos esos conceptos vienen de las matemáticas, pero están, como ocurre muchas veces con nuestra disciplina, ocultos.

Por ejemplo, el modelo SIR (Susceptibles, Infectados, Recuperados), surgido de la lucha contra la malaria, predice la evolución de los contagios mediante ecuaciones diferenciales;  en concreto, las que aparecen en la portada del libro junto a una descripción gráfica de cómo los individuos transitan entre los tres compartimentos o subpoblaciones básicos de susceptibles, infectados o recuperados. Es un modelo conceptualmente sencillo que debemos a los trabajos pioneros de Ronald Ross, Alexander McKendrick y William Kermack. Por supuesto, este modelo ha sido mejorado con nuevos compartimentos para incluir mortalidad, asintomáticos, periodos de cuarentena e incluso la vacunación anhelada en estos momentos frente al coronavirus SARS-CoV-2.

Pero las ecuaciones diferenciales no son los únicos instrumentos: las series temporales de una gran utilidad para conocer la evolución de una epidemia; o los procesos de Markov que, desde la actualidad, anticipan el futuro. Y decir que su inventor, Andrey Markov sólo tenía en mente su aplicación al acalorado debate que mantenía en aquellos momentos con el también matemático Pavel Nekrasov sobre la existencia o no del libre albedrío. Markov hizo su análisis sobre el Eugene Onegin de Alexander Pushkin.

También analizamos las leyes de Mendel a la luz de de las cadenas de Markov, y recordamos una aportación poco conocida para los matemáticos pero de gran relevancia de Godfrey Harold Hardy a la genética (el principio de Hardy–Weinberg). O los procesos de Galton-Watson, surgidos al analizar la potencial desaparición de los apellidos de la aristocracia inglesa, y que constituyen los procesos más famosos y aplicados a la transmisión vertical de una enfermedad o de la herencia genética entre padres e hijos. Y, cómo no, los problemas de la distancia social en el mundo pequeño, con la aportación de la teoría de redes a la transmisión de una epidemia.

Estos instrumentos matemáticos nos hacen saber en la práctica cuándo se producirá el número máximo de contagios para alertar a los hospitales o evitar desplazamientos y reuniones, decidir si una vacuna será útil o no, o conocer las reglas del contagio y la construcción de cortafuegos para proteger a la ciudadanía.

Si hemos conseguido acercar todo esto a los lectores para que comprendan mejor lo que estamos viviendo con esta pandemia (que no es la primera ni, desgraciadamente, será la última que padezca la humanidad), serán ellos los que nos los harán saber.

 

Sobre los autores

Manuel de León

Matemático, profesor de investigación del CSIC y fundador del Instituto de Ciencias Matemáticas. Ha sido miembro del Comité Ejecutivo de la Unión Matemática Internacional (IMU) y del Consejo Internacional de la Ciencia (ICSU). Es académico numerario de la Real Academia de Ciencias y correspondiente de la Real Academia Canaria de Ciencias y la Real Academia Galega de Ciencias.

 

Manuel de León

Antonio Gómez Corral

Matemático y profesor titular de la Universidad Complutense de Madrid. Sus intereses científicos se centran en las aplicaciones de los procesos estocásticos a problemas biológicos.

 

Antonio Gómez Corral

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Manuel de León (Instituto de Ciencias Matemáticas CSIC, Real Academia de Ciencias) y Antonio Gómez Corral (Universidad Complutense de Madrid).

 

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La teoría del mundo pequeño y las distancias sociales del coronavirus

The world keeps on getting smaller and smaller
And everything comes back full circle, full circle
Six degrees of separation
We all know someone else
It all comes full circle
It all comes full circle.

“Full circle”, No Doubt

 

El psicólogo Stanley Milgram desarrolló en sus tiempos en la Universidad de Harvard sus experimentos para analizar el grado de conectividad e introdujo el concepto del mundo pequeño y la teoría de los seis grados de separación.

Este experimento de Milgram tuvo mucho eco en su momento, y sugería que la sociedad es una red de mundo pequeño, que solo había seis grados de separación entre dos personas en el mundo.

Milgram no se refirió a estos seis grados, pero este tema venía de más atrás. Parece ser que el escritor húngaro Frigyes Karinthy, inspirado por Guglielmo Marconi, escribió un cuento Cadenas (Láncszemek) sobre el reto de encontrar una persona que no estuviese conectada a él por otras cinco entre medias. Más tarde, el matemático Manfred Koche y el sociólogo Ithiel de Sola Pool iniciaron una colaboración en París en la que también participaba Milgram, y escribieron el artículo “Contacts and Influences”, a comienzos de los años 1950, artículo que se publicó en 1978. En este manuscrito ya se abordaban las ideas matemáticas detrás de estos temas de conectividad.

 

Frigyes Karinthy

Cuando Milgram volvió de París, inició su experimento, que estaba basado en cartas que debían comectar dos personas: si la primera conocía a la segunda, le enviaba la carta para ser devuelta a Milgram; en otro caso, la enviaba a alguien que podía conocer al destinatario, y así sucesivamente. Aunque el exprimento tuvo sus problemas, la media de contactos estaba entre 5 y 6, de ahí que se acuñara lo de los seis grados de separación (que por cierto, era la creencia de los ciudadanos de Budapest que inspiró el cuento de Karinthy).

 

Stanley Milgram

Desde entonces, el interés por el tema se desbordó, tanto en lo que se refiere a nuevos experimentos a semejanza del de Milgram (ahora con las nuevas tecnologías de la comunicación), como a modelos teóricos de redes como el de los matemáticos Duncan J. Watts y Steven Strogatz, de la Universidad de Cornell en 1998. Ese modelo fue generalizado por Jon Kleinberg, quién recibió la medalla Nevanlinna en el Congreso Internacional de Matemáticos (ICM) de Madrid en 2006.

Paul Erdös

 

Una década antes que Milgram, el matemático Paul Erdös había estudiado redes de este tipo, pero desde un punto de vista abstracto. Así, Erdös probó que si el número de enlaces era pequeño, entonces la red estaba fragmentada,  pero si se aumentaba mucho la cantidad de enlaces, entonces la red o el grafo estaba prácticamente conectado globalmente, es decir, la distancia entre nodos es muy pequeña. En 1994, unos estudiantes inventaron el juego “seis grados de Kevin Bacon”: conectar un actor con Kevin Bacon por medio de actores de reparto de sus películas. El resultado fue sorprendente y generalizable a cualquier par de actores. Se trata de un “mundo pequeño”, porque hay un gran agrupamiento de actores. Si lo hacemos a la manera abstracta de Erdös, y los nodos de la red están conectados solo con sus vecinos, tendremos que poner enlaces alaeatorios para conseguir reducir la distancia. Es la idea de que lso enlaces débiles (los aleatorios) son los que aumentan la conctividad. Es lo que el sociólogo estadounidense Mark Granovetter llamó “la fortaleza de los enlaces débiles”.

 

El siguiente video contiene una magnífica descripción de la teoría de los seis grados:

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y este contiene una explicación del propio Steven Strogatz

Los seis grados de separación han sido objeto de canciones y películas, como  “Babel” (2006), ganadora de un Óscar o “Six Degrees of Separation” (1993).

 

Las distancias sociales del coronavirus

Pero si el mundo es pequeño, y cada vez se hace más reducido ya que las redes sociales consiguen que estemos hablando de los cuatro o cinco grados de separación, nos encontramos en una situación en la que se nos pide separarnos más. En efecto, la epidemia del coronavirus COVID-19 exige que nos mantengamos distanciados a fin de reducir la tasa de contagios. Las simulaciones publicadas hace unos días en el Washington Post sobre el coronavirus explicando a qué velocidad se expande el virus de acuerdo con las medidas de los Gobiernos es muy clarificadora. Como se dice en el artículo: “Eso es matemática, no profecía. La propagación puede reducirse, explican los profesionales de la salud pública, si las personas respetan el “distanciamiento social” evitando los espacios públicos y limitando sus movimientos.”

Este video (elaborado por The Washington Post) y embebido en el artículo Una simulación muestra cómo las restricciones del movimiento ayudan a ‘aplanar la curva’ del virus, de Eldiario.es explica de una manera muy simple la importancia del aislamiento.

Hagamos caso, ya tendremos tiempo de volver al mundo pequeño. De momento, para terminar con música, he aquí la canción de No Doubt

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, Real Academia Galega de Ciencias).

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