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Posts etiquetados con ‘Número pi’

Historias de Pi: calculando el área del círculo

En una entrada previa, reflexionamos sobre le relación entre la longitud de una circunferencia y su diámetro, que, como aprendimos en la escuela, es  el número π . Una relación similar ocurre cuando queremos calcular el área de un círculo, que sabemos es el cuadrado del radio multiplicado por π. Pero esta relación de proporcionalidad , intuitiva sin duda, tampoco es tan evidente.

 

Estos teoremas de la geometría (pues eso son) que se enuncian tan fácilmente y que aprendemos de manera universal, tienen demostraciones muy sutiles. Ya vimos en la entrada aludida que la prueba del correspondiente a la longitud de una circunferencia descansa en una noción que los matemáticos tardaron siglos en formalizar adecuadamente, la de límite (o si se quiere, la de su prima hermana, la derivada).

 

Arquímedes según Domenico Fetti (1620)

Una primera prueba de que el área de un círculo de radio r es A = π  r2 se debe a Arquímedes. Si pensamos en una sucesión de polígonos regulares inscritos en el círculo, sabemos que el área de cada uno de ellos es la mitad del perímetro multiplicado por la distancia del centro a sus lados (la apotema). Si imaginamos ahora al límite (por ejemplo, cuando el número de lados tiende a infinito), entonces

A = ½ x 2 π r x r

Previo a Arquímedes, Hipócrates de Quíos (470 a.C.-410 a. C.) probó que el área de un círculo era proporcional al cuadrado del diámetro, cuando trataba de resolver el problema de la cuadratura del círculo (construir un cuadrado con el mismo área de un círculo dado solamente con regla y compás). Hipócrates lo quiso resolver con el llamado problema de la cuadratura de la lúnula (veáse la figura 1).

Figura 1

Arquímedes utilizó el llamado método exhaustivo, introducido por Eudoxo de Cnido (390 a. C.-37 a. C) introdujo el método exhaustivo, un antecedente del cálculo integral, para probar que el área de un círculo era proporcional al cuadrado del radio. En el razonamiento de Arquímedes, en el paso al límite, se usa de una manera no rigurosa pero acertada como las secantes (los lados de los polígonos) se aproximan a la longitudes de arco, y las apotemas al radio.

Es interesante recordar los argumentos de Arquímedes. Primero, compara el área del círculo con la de un triángulo rectángulo cuya base mida lo mismo que la longitud de la circunferencia y cuya altura sea el radio. Entonces razona: supongamos que no coincidan, o sea que será mayor o menor, y en cada caso, llega a una contradicción. ¿Qué tiene esto que ver con los polígonos inscritos? Sea A el área del círculo y a la del triángulo, y sea E el exceso en el caso de que A sea mayor que a = 1⁄2cr, donde c es la longitud de circunferencia y r el radio. Inscribimos un cuadrado en el círculo, y nos quedan cuatro segmentos iguales. Sea S4 el área de esos cuatro segmentos y supongamos que S4  es mayor que E. Si ese es el caso, divido cada segmento en dos y obtenemos un octógono. Hacemos lo mismo, contamos el área de esos ocho segementso, que será S8 . De nuevo, vemos si es mayor que E, y así hasta que lleguemos a un polígono de n lados tal que el correspondiente área Sn sea menor que E. Entonces el área del polígono será Pn = A – Gn, mayor que la del triángulo.

Y ahora llega la contradicción. Trazamos una apotema de longitud h. Si cada lado del polígono mide s, entonces el perímetro, ns, es menor que c. El área del polígono es ½ nsh. Como h es menor que r y ns menor que c, el área del polígono debe ser menor que la del triángulo, lo que es una contradicción.

El argumento en el otro caso funciona de manera parecida, y en consecuencia, debe darse la igualdad.

Hoy en día tenemos instrumentos mucho más precisos. La integración nos permite calcular el área de un círculo de varias formas, muy elegantes y sencillas.

Me gustaría terminar con una reflexión sobre el ingenio de los matemáticos de otras épocas, que sin contar con las técnicas del cálculo diferencial e integral fueron capaces de obtener logros que ahora nos parecen evidentes.

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, Real Academia Galega de Ciencias).

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Historias de Pi: de la geometría al número

Como todos sabemos, π es la relación entre la longitud de una circunferencia y su diámetro. Una definición puramente geométrica. Vamos a hablar de esta curiosa relación que impregna las matemáticas.

 

 

La definición de círculo aparece en el Libro I de Los Elementos; dice Euclides:

Definición 15. Un círculo es una figura plana comprendida por una sola línea (llamada circunferencia) de tal modo que todas las rectas dibujadas que caen sobre ella desde un punto de los que están dentro de la figura son iguales entre sí.

Definición 16. Y el punto se llama centro del círculo.

Definición 17. Un diámetro de un círculo es una recta cualquiera que pasa por el centro y que acaba en ambas direcciones en la circunferencia del círculo; esta línea recta también divide el círculo en dos partes iguales.

Y añade este postulado:

Postulado 3. Hay una sola circunferencia con un centro y un radio dados.

Desde el punto de vista puramente geométrico, la pregunta que uno se debería hacer es esta: ¿Por qué el cociente entre la longitud de una circunferencia dada y su diámetro es una constante?

A simple vista, parece bastante intuitivo. Si aplicamos un zoom a una circunferencia, vemos como la forma no cambia y a medida que va aumentando, el diámtro también lo hace, y lo mismo si disminuyéramos el tamaño. Pero claro, esto no es una demostración.

Vamos a mostrar algunas demostraciones que circulan por la red (se anima a cualquiera que conozca demostraciones de este tipo a enviar un mensaje al blog con la referencia).

Dados dos círculos concéntricos como en la figura 1, tales que el radio del más pequeño es r, mientras que el del más grande es R. Sus circunferencias tienen longitudes c y C, respectivamente. Dibujamos dos segmentos desde el centro hasta formar los dos triángulos de la figura, que serán semejantes, ya que la proporción de los lados es la misma y tienen el ángulo común α.

 

Figura 1

Por lo tanto,  las cuerdas guardarán la misma proporción. Si β es el ángulo de  que corresponde al círculo completo ( 360o ), entonces β/α . k = β/α . K , donde k y K son las longitudes de las espectivas cuerdas. Entonces, c/C se aproximaría a r/R, y si ahora ahora α  se fuera haciendo cada vez más pequeño, serían iguales. En conclusión, c/r = C/R.

Esta demostración padece de cierta rigurosidad, pero da una idea. Se puede proponer otra parecida basada en considerar polígonos inscritos en cada una de las circunferencias y también usar un argumento de paso al límite. Este razonamiento es similar al que usó Arquímedes para demostrar la afirmación similar relativa a la relación de las áreas de dos círculos en relación con los cuadrados de los radios respectivos.

Por supuesto, lo más riguroso sería considerar la fórmula para la longitud de un arco. En nuestro caso, el teorema de Pitágoras (Figura 2) nos dice que la función que define la circunferencia es

f(x) = √r2 –x2

y de ahí integramos la función longitud de arco

entre –r y r.

Figura 2

El resultado (tras un cambio de variable) nos dirá que esa longitud es s = r c0 , donde c0  es una cosntante que no depende de r. En consecuencia, la longitud de esta circunferencia arbitraria será

C = 2 s = 2 c0 r

y por lo tanto  la relación entre la longitud de una circunferencia y su diámetro es constante, precisamente c0 (que no es más que el número π.

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, Real Academia Galega de Ciencias).

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¿Por qué el número π resulta tan fascinante?

ππHoy es 14 de marzo de 2020, 3,14 si usamos la manera anglosajona de contar los días del año, la aproximación decimal más popular del número π, y por eso los matemáticos de todo el mundo nos pusimos de acuerdo para solicitar que en ese día se conmemorara el Día Internacional de las Matemáticas, día proclamado por la UNESCO. Digamos que es un día merecido y no solo por el interés de π.

En esta página web  se pueden econtrar los más de 1000 eventos que se han organizado en unos 100 países del mundo, atendiendo a la llamada de la Unión Matemática Internacional (IMU en sus siglas inglesas). Algunos de estos eventos tendrán las dificultades derivadas de la pandemia ocasionada por el coronavirus, pero ni eso será capaz de enfriar el entusiasmo de los matemáticos. Cada año se elegirá un tema que para 2020 es “Matemáticas en todos los sitios”.

William Oughtred

La pregunta que nos podemos hacer es: ¿por qué π? ¿Qué tiene de especial este número que tanto fascina a matemáticos y no matemáticos? La primera vez que nos encontramos a π en nuestras vidas es en la escuela cuando aprendemos a calcular la longitud de una circunferencia, 2πr, donde r es el radio. Con más formalidad matemática diríamos que π es la relación entre la longitud de la circunferencia y el diámetro (como sentenció Euclides). Es una de las maravillas de las matemáticas, nos sirven para probar esta afirmación, que es la que ha dado el símbolo a π, por la palabra griega perímetro. El primero en usar esta notación fue el inglés William Oughtred, aunque fue el matemático galés William Jones el que la propuso en 1706. Como casi siempre, Leonhard Euler la popularizó en su obra Introducción al cálculo infinitesimal, de 1748.

Johann Heinrich Lambert

 

, Carl Louis Ferdinand von Lindemann

Y una vez constatado esta verdad geométrica, debemos conocer su valor numérico. Esto ha sido un empeño desde la más remora antigüedad. Ya en la Biblia se la da el valor aproximado de 3. En el Libro de los Reyes, se describe como Salomón hizo construir su palacio, y se puede leer:

“Hizo fundir asimismo un mar de bronce de diez codos de un lado al otro, perfectamente redondo; su altura era de cinco codos, y lo ceñía alrededor un cordón de treinta codos”.

Digamos que un mar (de bronce) era una pila de agua para las abluciones.

El Mar de Bronce de Salomón

Los antiguos egipcios le dieron el valor aproximado de 3,16 (en el papiro de Rhind), y en la antigua Mesopotamia se le daba el valor de 3 o 3,125 en otros casos. Pero fue el genio de Arquímedes (siglo II a.C.) el que comenzó a aproximar de una manera sistemática el valor de π, construyendo polígonos inscritos y circunscritos a un círculo dado. 500 años más tarde, Ptolomeo ya lo calculaba con más precisión: 3,1416. Los chinos y los indios también hicieron aproximaciones parecidas.

Aproximaciones del matemático chino Liu Hui

De estas aproximaciones, puramente geométricas como la de Arquímedes, se pasó a las analíticas, en cuanto el cálculo diferencial se fue desarrollando (existen formas maravillosas de escribir el número π como suma de series). Y ahí comenzó una carrera que dura hasta nuestros días para calcular más y más números de la expresión decimal de π, especialmente cuando los ordenadores aumentaron de manera extraordinaria nuestra potencia de cálculo.

Todo este esfuerzo sabiendo que es inútil, nunca conoceremos la expresión decimal completa de este maravilloso número. Sabemos, como demostró Johann Heinrich Lambert en 1761, que es un número irracional, es decir, no se puede expresar como una fracción, y por lo tanto su expresión decimal no termina nunca. También sabemos que es un número trascendente, es decir, que no es la raíz de ningún polinomio de coeficientes enteros, tal y como demostró en 1882, Carl Louis Ferdinand von Lindemann. Sin embargo, seguiremos calculando más y más números decimales de π, buscando el milagro irracional en uno de los números más irracionales.

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, Real Academia Galega de Ciencias).

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