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El hueso de Ishango

Hace más de 20000 años, unos hombres tallaron una serie de muescas en un peroné de un babuino en Ishango, en el lago Eduardo, cerca del nacimiento del Nilo. Esas columnas de muescas representan cantidades que nos han intrigado desde hace mas de 50 años tras su descubrimiento. ¿Cuál es el objetivo del hueso de Ishango? ¿Era una primitiva regla de cálculo con la que nuestros ascentros medían las estaciones y el paso de los astros? ¿Y cuándo surgió la necesidad  no solo de contar sino también la de registrar los resultados de los cómputos? ¿Fue una creación de las mujeres para llevar un calendario lunar relacionado con la menstruación?

El hueso de Ishango

Se supone que la necesidad /habilidad de contar (ovejas, miembros de la tribu, el paso del tiempo) condujo a llevar un registro: si tenemos un rebaño podemos echar una piedra en una vasija de barro por cada oveja; y al final del día podríamos comprobar si tenemos todas las ovejas en el redil contando una oveja por cada piedra que sacáramos de la vasija. Y también podríamos presionar una piedra sobre barro cocido reciente y dejar una huella; algunos dicen que así nació la escritura.

Porque son dos niveles de abstracción los que manejamos: contar y registrar lo contado. Sabemos que hay animales que tienen la capacidad de contar, así que esta habilidad debe ser parte de nuestro cerebro primordial y no solo algo adquirido (matemáticas que se descubren o se crean, el gran dilema de los matemáticos). Pero en la representación llevamos ventaja, y quizás sea una cualidad mas humana que la simplemente animal.

Tablilla cuneiforme

No siempre hemos representado las cantidades de la misma forma. De los signos cuneiformes de los babilonios a los quipus de los incas, pasando por las letras griegas o los números romanos, y llegando a los llamados números arábigos. Estos últimos, nacidos en la India y transportados a Europa por los árabes, llegan acompañados del cero y del sistema posicional decimal, dos logros humanos cuya trascendencia a veces no llegamos a apreciar. Y es en España, en el Codex Vigilanus o Codex Albeldensis, compuesto por el monje Vigila en el siglo X en la Rioja donde aparecen por primera vez los números del 9 al 1 tal y como los representamos hoy en día.

Si echamos la vista atrás recordaremos a los hombres de Ishango desaparecidos en una erupción volcánica. Ahora estamos en el mundo digital, de 0 y 1, cerrado o abierto, y pretendemos adentrarnos en el mundo cuántico. ¿Será esa la última frontera?

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, ICSU).

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El lenguaje de las matemáticas

En una entrada anterior, citábamos el famoso párrafo de Galileo Galilei en Il Saggiatore, en la que se preguntaba en que lenguaje estaba escrito el universo, y decía: “… Egli è scritto in lingua matematica, e i caratteri son triangoli, cerchi, ed altre figure geometriche, …”

Estatua de Galileo Galilei en Florencia

Galileo nos dice cuáles son las “letras” que debemos usar para describir el mundo. Y estos caracteres han ido construyéndose a lo largo de siglos, más bien, milenios. Algunos eruditos sostienen que es la necesidad de contar haciendo marcas en las vasijas de barro lo que condujo al nacimiento de la escritura. En cualquier caso, los símbolos se fueron creando. Pensemos por ejemplo en hueso de Ishango, que pudo ser tallado para establecer un sistema de numeración hace 20.000 años.

El hueso de Ishango

Los símbolos para representar los números fueron diferentes para las muchas culturas: símbolos cuneiformes para los babilonios, jeroglíficos para los egipcios, los números romanos, y la aparición del sistema decimal y los números indo-arábigos que hoy en día usamos universalmente, culminados con el cero, de valor clave para desarrollar un sistema posicional.

El primer escrito occidental donde aparecen los números indo-arábigos, sin incluir el cero, es el Codex Vigilanus o Albeldensis, manuscrito anónimo escrito en latín y finalizado en el 881.

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Estos diez símbolos se utilizan el sistema de numeración decimal y son ampliamente reconocidos universalmente. Prácticamente cualquier persona, sin importar su idioma y alfabeto nativo, está en la capacidad de entender y comprender su significado.  Sin embargo, el nombre que los números tienen en un idioma permiten entrever otros sistemas de numeración que estuvieron presentes en la antigüedad.

Por ejemplo, a pesar de que Francia adoptó el sistema decimal en el Siglo XVI, aún se pueden evidenciar trazos del sistema vigesimal. Vemos que el número 80 en francés se dice quatre-vingts (“cuatro veintes”), ya que este idioma utiliza el número 20 como base para contar entre el 70 y el 100. En adición, el hospital Quinze-Vingts de París aún conserva su nombre en honor a las 300 camas que allí habían. Se cree que el sistema vigesimal originó de la suma de los dedos de las manos y de los pies de los humanos.

Otro caso lo vemos en el ruso a la hora de expresar la edad. Este idioma tiene casos gramaticales, es decir, los sustantivos cambian según su papel en la oración. Para no entrar en detalles, veamos cómo se dice “Tengo 31 años”: Мне 31 год (“mnie 31 god”). Fijemonos en la última palabra. Si la edad acaba en 1 (11,21,31,… años) se usa la palabra год (“god”). Pero si la edad acaba en 2, 3, 4, 5  se usa la palabra года (“goda”). Para las edades que acaban en los números restantes, se utiliza la palabra лет (“let”). Detrás de esta regla gramatical que parece un tanto absurda, está el concepto de “uno, pocos y muchos” que se desarrolló en culturas antiguas donde no existía la necesidad de contar grandes cantidades.

Pero no solo los números llevan a crear un simbolismo. Los Elementos de Euclides contienen los primeros modos del razonamiento lógico. Esta es probablemente lo que le da a las matemáticas ese carácter universal; de axiomas incontestables, por deducción lógica, vamos obteniendo proposiciones y teoremas.  El rigor matemático ya no iba a abandonar nunca más a la humanidad.

Signos tan habituales para nosotros como + y – tienen una historia muy reciente: aparecen en la obra Mercantile Arithmetic, del matemático alemán Johannes Widman, publicado en Leipzig en 1489. En este texto, no tienen la connotación algebraica, sino que esta es posterior, y aparece así en otros manuscritos de finales del siglo XV.

Página del “Mercantile Arithmetic” de Johannes Widmann

Otro signo como el de igual, =, aparece en el libro The Whetstone of Witte, y el signo de la multiplicación, ×, se utiliza por primera vez en la obra Clavis Mathematicae (1631), del matemático inglés William Oughtred. El punto en vez de la cruz de San Andrés x, fue popularizado por Leibniz, aunque ya lo usaban algunos autores. La notación de los dos puntos, :, para la división fue también popularizada por Leibniz.

Pero se puede ver como previamente a estos cuatro símbolos, +, -, x y :, se usaron otros muchos menos manejables.

El símbolo de la raíz cuadrada apareció por primera vez en en un libro alemán a mediados del siglo XVI. Para evitar escribir “raíz de…” se empezó a escribir una “r”, donde el trazo horizontal cubría todo el número, dando orígen al símbolo que conocemos actualmente.

Nociones como la derivada y la integral se desarrollaron en la segunda mitad del siglo XVII, por obra de Isaac Newton y Leibniz. A Leibniz se deben los nombres de: cálculo diferencial y cálculo integral, así como los símbolos de derivada d/dx y el símbolo de la integral ∫.

Esto es solo un breve recuento de símbolos, estos han ido configurando un auténtico lenguaje para las matemáticas, lo que ha permitido un desarrollo vertiginoso en los 3 últimos siglos. El desarrollo de la lógica matemática ha finalmente completado un sistema de manera que una proposición puede escribirse como un auténtico jeroglífico.

Así nos comunicamos los matemáticos

Este desarrollo del lenguaje de las matemáticas, del que aquí solo se ha hecho un esbozo, es lo que permite escribir un resultado por medio de una ecuación. Las ecuaciones serían por lo tanto los auténticos caracteres con los que describir el universo.

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, ICSU) y Viviana Márquez (Estudiante de matemáticas, Konrad Lorenz Fundación Universitaria).

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