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Posts etiquetados con ‘Pierre de Fermat’

La historia de tu vida

Hablaremos hoy en Matemáticas y sus fronteras de un libro extraordinadio, La historia de tu vida, del genio estadounidense de origen chino Ted Chiang.

 

La pregunta sobre que tiene que ver este libro con las matemáticas la vamos a responder rápidamente. Diré en primer lugar que había leído Exhalación, su segundo libro de relatos publicado en Sexto Piso y había visto la película La llegada, inspirada en el relato que da título a su primer libro, La historia de tú vida. Recientemente pude comprar y leer inmediatamente esa primera obra, publicada en Alamut y que yo calificaría de excepcional.

La historia de tu vida consta de 8 relatos, y ya el primero, La torre de Babilonia, concluye con un uso de la topología. Yahvé no destruye esta gigantesca torre porque al llegar a la bóveda celeste, el protagonista descubre como al identificar los lados de un rectángulo, el cielo se junta otra vez con el suelo de donde procede: “no había castigado a los hombres por desear llegar más allá de los límites que tenían impuestos: pues el viaje más largo sólo les volvería a llevar al lugar del que habían partido.”

El tercer relato, Dividido entre cero, es pura matemática inspirado en Gödel. Renee Norwood, una brillante catedrática de matemáticas, descubre una nueva inconsistencia en sus fundamentos. Desarrolla un nuevo formalismo que prueba que un número es igual a cualquier otro. Como esas demostraciones fraudulentas para probar que 1 = 2 dividiendo por 0. Pero ahora si es posible. La consecuencia es que las matemáticas abstractas no tendrían sentido por sí mismas y solo como descripción de los fenómenos naturales, y así ya dejarían de ser interesantes.

Pero la verdadera joya matemática es precisamente el relato La historia de tu vida. La respetada experta en lingüística Louise Banks es solicitada por el gobierno nortemaericano, junto con otros muchos expertos, para tratar de establecer una comunicación con los extraterrestes que han aterrizado en diversos lugares de nuestro planeta. Los llamado “heptápodos”, por su anatomía, no manejan un lenguaje como los terrestes. Es un lenguaje en el que todo está presente a la vez. Louise comienza aentenderlo cuando su colega, el físico Gary Donelly, le explica el principio de Fermat.

Este principio nos dice como se propaga un rayo de luz al cambiar de medio, y es una consecuencia del cálculo de variaciones en el que la cantidad a minimizar es el tiempo, no la distancia. Comienzana  entender que mientras las matemáticas en nuetsro planeta se han desarrollado basads en el álgebra y la geometría, en el planeta de origen de los heptápodos, es el cálculo de variaciones lo que primero han desarrollado. Consecuencia: son capaces de ver el tiempo en todos sus instantes, no hay pasado ni futuro, todo lo ven de una vez. Describimos ambos el mismo universo pero de una manera muy diferente. En el caso del principio de Fermat, el rayo de luz “sabe” donde debe legar y que por el camino se encontrará dos medios diferentes. Louise es capaz de aprender este lenguaje y ello le permite ver pasado y futuro de una sola vez, como los heptápodos. Y este es otro mensaje que Ted Chiang repite en otro de sus relatos, Setenta y dos letras, como el lenguaje configura la realidad.

Este es el trailer de la película

 

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Sobre el autor

Ted Chiang nació en 1967 en Port Jefferson en ek estado de Nueva York. Sus padres eran emigrantes procedentes de China, primero a Taiwan, durante la Revilución comunista, y posteriormente marcharon a Estados Unidos. De hecho, su nombre chino es Chiang Feng-nan. Chiang estudió en la universidad Brown, donde se graduó en ciencias de la computación. Actualmente reside en Bellevue, cerca de Seattle, Washington, donde compagina su faceta de escritor de ficción con la de autor de manuales técnicos de software.

Chiang confiesa que empezó a escribir a los 11 años, después de leer a Isaac Asimov. Escribe poco, solo son dos los libros de realtos que ha publicado, La historia de tu vida y Exhalación, pero le han valido cuatro premios Hugo, cuatro Nebula, seis Locus y el British Science Fiction Association Award. Algo insólito en el mundo de la ciencia-ficción.

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, Real Academia Galega de Ciencias).

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La física de Fermat

Las dos entradas anteriores sobre Pierre de Fermat confirman que su legado es sin duda alguna muy importante. Sin embargo, la falta de interés de la época en problemas tan fundamentales como son los de la teoría de números, condujeron los intereses de Fermat por otros derroteros.

Pierre de Fermat

Aunque su motivación por la física era moderada, una de sus contribuciones se ha convertido en uno de los enunciados más importantes de la óptica geométrica. Fermat denominaba a la física “la filosofía natural”. Según Fermat, la verdad de las ciencias físicas sólo podría ser encontrada a través de la experimentación, en contra de la opinión de Descartes, quien se convirtió en su “enemigo” por las continuas disputas entre los dos científicos. Descartes utilizaba el método racionalista, que es el sistema de pensamiento que acentúa el papel de la razón en la adquisición del conocimiento, en contraste con el empirismo, que resalta el papel de la experiencia, sobre todo el sentido de la percepción. Según Fermat, la verdad en las ciencias físicas sólo podría encontrarse a través de los sentidos y fue un seguidor acérrimo de estas teorías, propuestas por filósofos como Hume o Locke. Es paradójico que Fermat, desinteresado en las ciencias físicas, abogara por el método empirista, más cercano a la física experimental que a su afición a las matemáticas.

Para Descartes, la luz se transmitía por colisión entre partículas, hablando del símil del bastón de un ciego que al chocar con algo, su mano transmitía el impulso. La luz opera de forma similar, transmitiendo impulso entre partículas.  Además, el impulso es una fuerza que podía interpretarse vectorialmente, y cuyas leyes de reflexión y refracción se podrían deducir. La ley de la refracción de Descartes es la que hoy en día se conoce como ley de Snell, o ley de propagación de la luz entre dos medios de diferentes índices de refracción (por ejemplo, aire y agua). Desde la experiencia de las bolas de billar, tras el choque, se espera que la bola salga disparada y se aleje de la dirección normal. Sin embargo, al cambiar la resistencia del medio, el ángulo de rebote decrece y se acerca a la normal. La interpretación de Descartes es que el medio ejerce una fuerza.

Refracción de un lápiz

Fermat leyó la obra de Descartes, probablemente porque se la había enviado Jean de Beaugrand, que mantenía disputas serias con Descartes. Fermat detectó dos importantes errores en la obra de Descartes. El abate Mersenne está también, como siempre, en medio de estos debates. Descartes escribe a Mersenne.

« le défaut qu’il trouve en ma démonstration n’est qu’imaginaire et montre assez qu’il n’a regardé mon traité que de travers. et si vous aviez envie par charité de le délivrer de la peine qu’il prend de rêver encore sur cette matière»

Fermat replica

«  Ce n’est pas point par envie ni par émulation que je continue cette petite dispute, écrit-il à Mersenne, mais seulement pour découvrir la vérité; de quoi j’estime que M. Descartes ne me saura pas mauvais gré, d’autant plus que je connais son mérite très éminent, et que je vous en fais ici une déclaration très expresse. »

La querella está servida. No es hasta quince años mas tarde que Fermat elabora su teoría. Aunque el planteamiento de Fermat se basaba en el camino más óptimo para el recorrido de la luz, un estudio detallado desvela que en realidad lo que estaba optimizando era el tiempo. El principio debería ser reescrito de la siguiente manera: “los procesos físicos toman el camino que tardan menos tiempo en recorrer”.  Aunque el problema se corresponde con el de un proceso físico, sin embargo, el planteamiento de Fermat no dejó de ser de carácter matemático, un postulado axiomático lejos del empirismo.

 

Ley de la refracción

“La refracción se produce cuando la luz atraviesa un medio transparente de cierta densidad a uno de densidad distinta. La ley dice que el seno del ángulo formado entre el rayo incidente y la normal es al seno del ángulo entre la normal y el refractado como las respectivas velocidades son una a otra y como el inverso de los respectivos índices de refracción uno a otro”.

Para su demostración, Fermat planteó el principio extremal, que requiere el cálculo de máximos o mínimos. En este caso particular, el tiempo mínimo que tardaría la luz en recorrer un camino. Lo que Fermat no esperaba es que su planteamiento de optimización en términos de minimización de una función, sería el preludio de casi todas las teorías físicas. Por ejemplo, en la mecánica clásica, las ecuaciones de Euler Lagrange se derivan de la minimización de un funcional cuyos extremos se mantienen fijos. Igualmente se derivan las leyes de la relatividad o de la mecánica cuántica.

Para sorpresa de Fermat, la ley derivada del principio de mínima acción para la refracción de la luz era idéntica a la planteada por Descartes.  Más sorpresa sería aún  hoy en día si Fermat levantara la cabeza y viera que su ley de minimización es el principio de la física y también de las matemáticas aplicadas. El análisis numérico se encarga del desarrollo de algoritmos deterministas capaces de garantizar convergencia en tiempo finito a una solución óptima real, obtenida de un principio de minimización. Si Fermat o Lagrange fueron los padres de los principios de minimización, Richard Bell podría ser el padre de los principios de minimización computacionales.

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, ICSU) y Cristina Sardón (ICMAT-CSIC).

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