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Las matemáticas de la luz

“Las matemáticas de la luz” es mi sexto libro en la colección “¿Qué sabemos de?” y el séptimo en la Catarata. Es una colaboración con Ágata Timón, como algunos de los títulos anteriores.

Como comentamos en la Introducción, pocas cosas hay en nuestro universo más fascinantes que la luz. La naturaleza de la luz ha sido siempre uno de los temas más apasionantes en la historia de la humanidad. E íntimamente ligada a la luz está la visión; la mayoría de nuestras percepciones del mundo llegan a través de nuestros ojos, y para ello la luz es imprescindible. Por ello, hemos añadido la visión como parte del recorrido. La luz es, además, uno de los principales motores del desarrollo tecnológico en el siglo XXI: con solo mirar a nuestro alrededor podemos darnos cuenta de este hecho en campos como la medicina, las comunicaciones o el negocio del entretenimiento y la cultura

Escribir un libro de divulgación precisa sobre todo de un relato, una línea conductora, porque, la mayor parte de la información está disponible en internet, en otros libros, en artículos, etc., así que lo más importante es el guión. Por supuesto, el estilo y la imaginación del autor o autores va a contribuir a darle la personalidad necesaria para que el producto final sea apetecible para los lectores. Acabamos de reseñar “Évariste”, y a pesar de que la historia de Galois está escrita en mil sitios, el talento de François-Henri Déserable ha producido una obra memorable.

Manuel de León

 

Ágata Timón

En este libro tratamos de hacer un recorrido histórico de cómo las matemáticas (y muy especialmente la geometría) han estado siempre detrás de las diferentes teorías que la humanidad ha desarrollado para entender no solo lo que es la luz, sino también cómo se produce la visión. Comenzamos con la Grecia Clásica, seguimos con lo que pensaban los árabes (con especial atención al genio de Alhacén) y los europeos en la Edad Media, pasando luego a las ideas modernas con las leyes de la reflexión y la refracción, la polémica de la naturaleza corpuscular u ondulatoria de la luz con Newton y Huygens, la evolución de Maxwell, y la irrupción de las dos grandes teorías de la física en el siglo XX: la relatividad y la mecánica cuántica.

Acompañamos en el recorrido las diversas teoría sobre la visión: si son los objetos los que emiten “cosas” que el ojo reconoce, o son nuestros ojos los que emiten “cosas” que reconocena a los objetos. La visión es hoy en día un campo de trabajo fascinante para neurocientistas; podemos encontrar en este libro un resumen de cómo se produce la visión.

Es un libro que nos ha costado mucho esfuerzo, para condensar tantas cosas en poco más de un centenar de páginas. Ojalá sirva para que los lectores disfruten y se aficionen más y más a la ciencia.

Finalmente, unas palabras sobre la portada: es ‘La rueda de los colores’ de Johann Wolfgang von Goethe, quién dedicó muchos años a un estudio de los colores en su obra “Teoría de los colores”.

Datos del libro
Las matemáticas de la luz
Manuel de León y Ágata Timón

PVP: 12 euros (IVA incluido)
128 páginas
Formato: 13,5×21 cm
ISBN: 978-84-9097-358-5

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Manuel de León (CSIC, Fundador y Director del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, ICSU).

 

 

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La física de Fermat

Las dos entradas anteriores sobre Pierre de Fermat confirman que su legado es sin duda alguna muy importante. Sin embargo, la falta de interés de la época en problemas tan fundamentales como son los de la teoría de números, condujeron los intereses de Fermat por otros derroteros.

Pierre de Fermat

Aunque su motivación por la física era moderada, una de sus contribuciones se ha convertido en uno de los enunciados más importantes de la óptica geométrica. Fermat denominaba a la física “la filosofía natural”. Según Fermat, la verdad de las ciencias físicas sólo podría ser encontrada a través de la experimentación, en contra de la opinión de Descartes, quien se convirtió en su “enemigo” por las continuas disputas entre los dos científicos. Descartes utilizaba el método racionalista, que es el sistema de pensamiento que acentúa el papel de la razón en la adquisición del conocimiento, en contraste con el empirismo, que resalta el papel de la experiencia, sobre todo el sentido de la percepción. Según Fermat, la verdad en las ciencias físicas sólo podría encontrarse a través de los sentidos y fue un seguidor acérrimo de estas teorías, propuestas por filósofos como Hume o Locke. Es paradójico que Fermat, desinteresado en las ciencias físicas, abogara por el método empirista, más cercano a la física experimental que a su afición a las matemáticas.

Para Descartes, la luz se transmitía por colisión entre partículas, hablando del símil del bastón de un ciego que al chocar con algo, su mano transmitía el impulso. La luz opera de forma similar, transmitiendo impulso entre partículas.  Además, el impulso es una fuerza que podía interpretarse vectorialmente, y cuyas leyes de reflexión y refracción se podrían deducir. La ley de la refracción de Descartes es la que hoy en día se conoce como ley de Snell, o ley de propagación de la luz entre dos medios de diferentes índices de refracción (por ejemplo, aire y agua). Desde la experiencia de las bolas de billar, tras el choque, se espera que la bola salga disparada y se aleje de la dirección normal. Sin embargo, al cambiar la resistencia del medio, el ángulo de rebote decrece y se acerca a la normal. La interpretación de Descartes es que el medio ejerce una fuerza.

Refracción de un lápiz

Fermat leyó la obra de Descartes, probablemente porque se la había enviado Jean de Beaugrand, que mantenía disputas serias con Descartes. Fermat detectó dos importantes errores en la obra de Descartes. El abate Mersenne está también, como siempre, en medio de estos debates. Descartes escribe a Mersenne.

« le défaut qu’il trouve en ma démonstration n’est qu’imaginaire et montre assez qu’il n’a regardé mon traité que de travers. et si vous aviez envie par charité de le délivrer de la peine qu’il prend de rêver encore sur cette matière»

Fermat replica

«  Ce n’est pas point par envie ni par émulation que je continue cette petite dispute, écrit-il à Mersenne, mais seulement pour découvrir la vérité; de quoi j’estime que M. Descartes ne me saura pas mauvais gré, d’autant plus que je connais son mérite très éminent, et que je vous en fais ici une déclaration très expresse. »

La querella está servida. No es hasta quince años mas tarde que Fermat elabora su teoría. Aunque el planteamiento de Fermat se basaba en el camino más óptimo para el recorrido de la luz, un estudio detallado desvela que en realidad lo que estaba optimizando era el tiempo. El principio debería ser reescrito de la siguiente manera: “los procesos físicos toman el camino que tardan menos tiempo en recorrer”.  Aunque el problema se corresponde con el de un proceso físico, sin embargo, el planteamiento de Fermat no dejó de ser de carácter matemático, un postulado axiomático lejos del empirismo.

 

Ley de la refracción

“La refracción se produce cuando la luz atraviesa un medio transparente de cierta densidad a uno de densidad distinta. La ley dice que el seno del ángulo formado entre el rayo incidente y la normal es al seno del ángulo entre la normal y el refractado como las respectivas velocidades son una a otra y como el inverso de los respectivos índices de refracción uno a otro”.

Para su demostración, Fermat planteó el principio extremal, que requiere el cálculo de máximos o mínimos. En este caso particular, el tiempo mínimo que tardaría la luz en recorrer un camino. Lo que Fermat no esperaba es que su planteamiento de optimización en términos de minimización de una función, sería el preludio de casi todas las teorías físicas. Por ejemplo, en la mecánica clásica, las ecuaciones de Euler Lagrange se derivan de la minimización de un funcional cuyos extremos se mantienen fijos. Igualmente se derivan las leyes de la relatividad o de la mecánica cuántica.

Para sorpresa de Fermat, la ley derivada del principio de mínima acción para la refracción de la luz era idéntica a la planteada por Descartes.  Más sorpresa sería aún  hoy en día si Fermat levantara la cabeza y viera que su ley de minimización es el principio de la física y también de las matemáticas aplicadas. El análisis numérico se encarga del desarrollo de algoritmos deterministas capaces de garantizar convergencia en tiempo finito a una solución óptima real, obtenida de un principio de minimización. Si Fermat o Lagrange fueron los padres de los principios de minimización, Richard Bell podría ser el padre de los principios de minimización computacionales.

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Manuel de León (CSIC, Fundador del ICMAT, Real Academia de Ciencias, Real Academia Canaria de Ciencias, ICSU) y Cristina Sardón (ICMAT-CSIC).

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