Taxonomía de Suelos y los Espectros Multifractales

En un post anterior, vimos algunos aspectos de las estructuras multifractales de las taxonomías biológicas y edafológicas. Un colega me ha comentado por mail que mostrara tales espectros, ya que hablaba de ellos pero no había incluido ninguna imagen. Tiene razón. Aprovecho la ocasión para añadir alguna información más sobre este tema.

 

No resulta nada trivial, al contrario que en el caso de los fractales, explicar en términos divulgativos el concepto de multifractalidad. Estuve dos años, por decirlo así “sabáticos”, en el Dpto. de Matemáticas de la E.T.S.I. Agrónomos de la Universidad Politécnica de Madrid. Allí aprendí tal dificultad con expertos en la materia. Resulta pues difícil conceptualizar la multifractalidad sin apelar al uso de formalismos matemáticos. En principio, podemos decir que se han extendido entre la comunidad científica dos tipos de análisis multifractal (i) los espectros de singularidades y (ii) los espectros y dimensiones generalizadas de Rényi. Cada una de estas aproximaciones aporta información complementaria a la otra.  De los últimos habláramos en otro post por cuanto poseen una estrecha vinculación con las herramientas utilizadas con vistas a calcular la diversidad intrínseca a un sistema, como lo es la biodiversidad de una biocenosis.

 

Hemos buscado en Wikipedia en castellano, pero todavía no existe una entrada con vistas a explicar el espectro de singularidades aunque, como veremos en su momento, sí hay una para las dimensiones de Rényi. Buscando en la Web un texto sencillo, he encontrado párrafos aislados. Veamos si puedo explicaros lo que es un multifractal primero, para entra luego en el tema de los susodichos espectros.

 

El análisis multifractal es una poderosa herramienta matemática que permite caracterizar objetos complejos. Descompone estructuras y descubre las relaciones que mantienen entre sí sus diferentes componentes, al mismo tiempo que permite trazar posibles evoluciones o comportamientos de estas estructuras. En nuestro trabajo sobre taxonomías, tan solo hicimos uso de los espectros de singularidades, no de las dimensiones de Rényi, que analizáramos en otro momento al hablar de sus relaciones con los índices de diversidad.

 

Lo que realmente hace el análisis multifractal es representar la complejidad de una forma exacta y de manera reproducible. Gracias a esta sofisticada herramienta, la estructura y/o dinámica de los objetos naturales (o artificiales en nuestro caso) pueden ser descritos en lenguaje matemático, lo que evidencia que la analogía entre los productos geométricos creados en ordenador y las pautas y patrones del mundo que nos rodea no es superficial. A diferencia de lo que ocurre en las estructuras fractales en las que una sola dimensión “fractal”, describe todo el sistema, en los multifractales se requieren varias de éstas con vistas a dar cuenta de cambios ya sea en el tiempo o y/o en diferentes regiones de la forma estudiada. Por tanto, tales estructuras son mucho más complejas. Saltándonos los argumentos matemáticos, un conjunto de datos, muestra multifractalidad si su expectoro de singularidades da lugar a una curva de campana. En caso contrario no lo es.

 

Como exponemos en el gráfico siguiente, la taxonomía americana de suelos no daba lugar a un multifractal utilizando todos los datos. Tras analizar las razones, observamos que un escasísimo número de taxa tenían un “tamaño” (número de subtaxa por taxon) excesivamente grande respecto a los demás. Quitando los cuatro mayores sí obteníamos un espectro de singularidades con estructura multifractal. Debido a que estos cuatro correspondían al criterio haplo de taxa de gran valor agronómico., así como que esta desigualdad es consecuencia de de la acción conjugada del sesgo cognitivo de Rosch y de otro utilitarista, puede deducirse que la taxonomía americana de suelos tiene una estructura multifractal, por cuanto los taxa a eliminar, respecto al total, son insignificantes (4 entre más de 2000). La taxonomía biológica daba lugar a tal espectro sin quitar tener necesidad de sustraer taxa, pero su estructura mejoraba hostensiblemente también al eliminar de mayor tamaño (también muy pocos). Jugando empíricamente a eliminar taxones, se puede ir mejorando la estructura del espectro, a la par de detectar las causas que lo desvían de alcanzar una forma óptima. Por ejemplo, la última también mejoraba en la clasificación de suelos ligeramente al eliminar alguno de los taxones de menor tamaño.

 

 

Los datos corresponden a la en negro. En la imagen superior de la izquierda no aparece una campana (no existe una estructura multifractal), al contrario que en la de en medio (al quitar los taxa de mayor tamaño) y la de abajo (quitando los cinco de menor tamaño)

 

En cualquier caso, cabe mentar que el ajuste a las leyes potenciales era bastante satisfactorio, y como estas abarcaban más de tres órdenes de magnitud, bien podíamos haber parado ahí el análisis y señalar que ambas taxonomías (la biológica y la edafológica) era objetos fractales. Empero intentamos llegar hasta el final.

 

Uno de los principales problemas con vistas a utilizar numerosas herramientas estadísticas procede del hecho de trabajar generalmente con muestras o conjuntos de datos reducidos. Aunque pudiera no parecerlo, un árbol de más de 2000 taxones en ambas clasificaciones debe considerarse como una muestra excesivamente pequeña para llegar a conclusiones irrefutables. La razón estriba en que en los mayores niveles de la jerarquía del árbol clasificatorio, un sistema jerárquico suele tener por necesidad pocos taxa, al contrario que en los niveles inferiores. Y tal hecho genera problemas a la hora de utilizar muchos análisis estadísticos. Empero lo mismo ocurre en los análisis de diversidad. Del mismo modo, seis o siete niveles son escasos. Sin embargo la mente humana tiene razones para trabajar así, como ya veremos cuando analicemos en otro post la Regla de Miller.   

 

Los cuatro taxa de mayor tamaño corresponden a taxa “haplo” de suelos con gran interés agronómico (en la galería de fotos sobre taxonomías y clasificaciones aparece la imagen más nítida)

 

Cuando abordamos este trabajo hicimos un paralelo con vistas a analizar la diversidad de suelos (o edafodiversidad) a nivel global por países. La cuestión que nos intrigó, al cotejar los resultados de ambos estudios derivó de obtener el mismo resultado: debían eliminarse los escasísimos taxa que ocupaban mayor extensión (a nivel global) con vistas a obtener un espectro multifractal. Existen razones para ello. Sin embargo, al discutir estos temas con los coautores matemáticos, me comentaron que lo mismo ocurría con el tamaño de los poros del suelo y los agregados. Y tanto coincidencia ya resulta más intrigante. Lo comenté en Filadelfia con Yakov Pachepski, uno de los mejores matemáticos de la USDA, llegando al acuerdo de analizar el problema en profundidad (se quedó muy intrigado). Pudiera ser que el problema se encuentre en la herramienta matemática más que no en los datos o el tamaño de la población. Yo lo analizaremos en otra ocasión.

 

Bueno, pues aquí tenéis los espectros de singularidades de la taxonomía americana de suelos. La forma que no es de campana, sino una curva que tiende a cerrarse sobre si misma, muestra la estructura no multifractal de los datos brutos. Un dato más, si solo hubiéramos obtenido un punto en la zona superior de la campana, nos habríamos topado con un fractal puro y duro.

 

Como siempre los gráficos son más claros en la gelería de fotos

 

Juan José Ibáñez

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Comentarios

estamos investigando el analisis de las filtraciones en canales abiertos,haciendo un modelo matematico, sirvase inviarme informacion, estare muy agradecido

christian alumno de la escuele profecional de fisica de la universidad nacional san agustin

[...] Taxonomía de Suelos y los Espectros Multifractales [...]

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