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Esperando al autobus

No suelo coger el autobus o el tren para desplazarme, aunque el transporte público en Madrid es razonablemente bueno. Pero en ocasiones mi coche decide que debo de tomar el transporte público. Algo que siempre me ha intrigado es que normalmente tengo que esperar al autobus más tiempo de lo que lo uno estimaría de acuerdo a la frecuencia marcada por las compañías de transporte en la estación de autobús o de tren.

Por ejemplo, si los autobuses pasan con una frecuencia de 4 a la hora, puedes esperar que pase un bus cada 15 minutos de media, con algunas fluctuaciones alrededor de este valor debidas a las condiciones del tráfico. Por tanto, llegando a la parada de bus de modo aleatorio tendriamos que experar una media de 15/2 =7.5 minutos. Pero yo siempre tengo la impresión de esperar más de 15 minutos. ¿Cómo puede ser? ¿Tan mala suerte tengo que siempre llego a la parada del autobús cuando el autobus acaba de partir?

La respuesta a esta pregunta es la famosa paradoja del tiempo de espera en la teoría de colas: para simplificar, supongamos que el tiempo entre dos autobuses viene dado por la variable  T. En un mundo ideal T sería una variable determinista. En el ejemplo que comentamos antes,  T=15 minutos. Sin embargo, debido a las condiciones de tráfico y otros imprevistos,  T se distribuye alrededor de los 15 minutos. El siguiente gráfico muestra la “tardanza” en las frecuencias de los autobuses en Gran Bretaña, extraido del informe de la Estadística de la Puntualidad del Autobús en Gran Bretaña, 2007.

Como podemos ver, aunque la mayor parte de los autobuses sólo se retrasa menos de un par de minutos, hay una fracción significativa de ellos que llegan tarde más de 5 minutos. ¡E incluso algunos de ellos que vienen antes de tiempo! Asumiendo que nuestro autobús llega a la parada en intervalos de tiempo T obtenidos de una distribución P(T), veamos lo que tendríamos que esperar en la parada del autobús. El siguiente gráfico muestra la línea temporal de llegadas de autobuses a una misma parada:

Los autobuses llegan a la parada del autobús (líneas verticales) con una frecuencia de tiempo entre ellos dada por  Ti. Después de dejar el coche en el taller, llego a la parada del bus a la hora marcada por la flecha vertical, así que tengo que esperar un tiempo t. La cuestión es ¿cúal es el valor promedio del tiempo de espera t? Si suponemos que mi coche se rompe aleatoriamente, podemos asumir que mi hora de llegada es aleatoria también, independiente del horario del autobús. Sin embargo, si la hora a la que llego a la parada del autobús es aleatorio, tengo más probabilidades de llegar a la parada del bus a un intervalo en el que el tiempo entre autobuses T sea mayor. Específicamente la probabilidad de que llegue a la parada en un intervalo en el que el tiempo entre autobuses es T viene dada por

\displaystyle{\frac{T P(T)}{\overline{T}}}

donde \overline{T}  es el valor medio del tiempo entre autobuses. Dado el intervalo T, el tiempo de espera t está equitativamente distruibuido (desde mi llegada aleatoria) así tendremos que multiplicar la probabilidad anterior por 1/T  . Finalmente calculamos todas las posibilidades \tau \leq T  obteniendo

\displaystyle{Q(\tau) = \int_\tau^\infty \frac{TP(T)}{\overline T} \frac{1}{T}dT = \frac{1}{\overline T}\int_\tau^\infty P(T) dT}

que nos da la distribución de los tiempos de espera. La media de valor de t es dada por

\displaystyle{\overline \tau = \int_0^\infty \tau Q(\tau) d\tau = \frac{\overline{T^2}}{2\overline T^2} = \frac{\overline T}{2}\left(1 + \frac{\sigma_T^2}{\overline{T}^2}\right) }

donde \sigma_T^2  es la varianza de los tiempos entre autobuses. Esta ecuación es el resultado principal de la teoría de colas para este proceso. Nos dice:

•    Si el autobus llega puntual y a los intervalos regulares entonces \sigma_T = 0 y el tiempo de espera es el tiempo previsto \overline{\tau} = \overline{T}/2 . Esto significa que si la frecuencia del autobus es de 15 minutos, entonces tendré que esperar (de media) 7.5 minutos.

•    Pero en el mundo real los buses no llegan puntuales, entonces \sigma_T > 0 . Por lo tanto, el tiempo de espera es siempre mayor que \overline{T}/2 . De hecho, la distribución de la tardanza mostrada arriba nos dice que hay una amplia fración de autobuses con largos retrasos por lo que \sigma_T  será muy grande, con lo que \sigma_T  controla el tiempo de espera.

De hecho el Informe sobre la Puntalidad de los Autobuses en GB muestra que de media el tiempo de espera excede en un 40% el tiempo medio de espera de un autobus regular  \overline{T}/2. Por tanto: debido a la varianza en el tiempo entre los autobuses, todos terminamos esperando un tiempo mayor que lo que uno esperaría de acuerdo a la frecuencia de los autobuses. Y esa es mi percepción: si el tren/bus llega cada 15 minuto, yo termino esperando 15 minutos, no 7.5.

En un mundo ideal, los horarios de autobuses deberían indicar tanto el tiempo medio entre autobuses de los autobuses \overline{T}  como su varianza \sigma_T y así podríamos estimar el tiempo de espera. Desafortunadamente, sólo nos cuentan parte de la historia.


Por Esteban Moro
Investigador de SIMUMAT
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Comentarios

Bueno esta entrada es de hace más de 10 años así que no tengo mucha esperanza de obtener respuesta, pero lo intentaré:

Un par de consultas… primero, me podría decir cómo es el desarrollo para el cálculo del valor esperado de tau (la última ecuación)? No entiendo cómo partiendo de esa integral se termina expresando todo en términos del valor medio de T y el valor medio de T^2.

Y segundo, si aplicamos esa última fórmula para la distribución de los tiempos de espera de un proceso de Poisson (o sea exponencial) nos da que el valor medio de tau es directamente el valor medio de T, que es 1/lambda, que sería el tiempo de espera medio entre dos eventos de Poisson sucesivos. Esto ocurre porque en la distribución exponencial se da la particularidad de que la varianza es exactamente igual a la media al cuadrado, entonces en el paréntesis ese queda (1+1).
Ahora bien… tiene sentido que el valor medio de los tiempos de espera entre dos eventos (T medio=1/lambda) sea igual que el tiempo de espera tau medio desde un tiempo aleatorio (llego a la parada) hasta el siguiente evento?
Porque la lógica diría que tengo que esperar en promedio menos tiempo si llego en un momento aleatorio, que si justo cuento desde el evento anterior. O sea el valor 1/lambda es el esperado si yo justo perdiera el autobus por un instante cada vez que llego a la parada. No me explico cómo llegar en un momento aleatorio puede tener el mismo tiempo de espera medio. No tiene sentido. Eso me hace desconfiar de esa fórmula usada. O hay algo que me estoy pasando por alto?

Desde ya gracias.
Saludos.
L. Leiva

Perdone, creo que ya lo entendí… tiene que ver con la famosa propiedad de la falta de memoria de la distribución exponencial, la cual siempre me maravilló. Pero sigue resultándome difícil de creer que tenga que esperar el mismo tiempo si justo pierdo todos los buses por poco que si llego en un instante random…

Una cosa que me faltó comentar más temprano es que en esa última ecuación hay un error intermedio que es el T medio al cuadrado en el denominador. Ese cuadrado no va. Igual el resultado final sí está bien.

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