Los problemas del milenio: ¿quiere usted ser millonario?

¿Quién dice que los matemáticos son gente aburrida, rara, inabordable? Lo que no se puede negar es que son perseguidores de verdades, y que, en esa búsqueda, como si se tratara de niños resolviendo crucigramas, a veces les gusta retarse. No estoy seguro de que eso sea bueno o malo, pero lo que sí es cierto es que la competencia (y algún incentivo económico…hay que reconocerlo: nadie es de piedra) ayuda en ocasiones a que las cosas avancen. Sobran anécdotas en la historia de la ciencia a este respecto: Johann Bernoulli propuso el problema de la braquistócrona (es decir, obtener las ecuaciones de la curva entre dos puntos recorrida en el menor lapso de tiempo por un cuerpo con velocidad inicial nula, sin rozamiento y sólo afectado por la fuerza de la gravedad) a los lectores de Acta Eruditorum en Junio de 1696. Él mismo publicó una solución que al final del día resultó ser errónea. Como respuesta, Isaac Newton, Jakob Bernoulli (su hermano), Gottfried Leibniz, Ehrenfried Walter von Tschirnhaus y Guillaume de L´ Hôpital aportaron la solución correcta. ¿Quieren saber cuán deformada llegó a mis oídos una anécdota apócrifa sobre este reto?: el pobre Johann Bernoulli llevaba meses desesperado por encontrar las ecuaciones de la braquistócrona cuando en un arrebato de rabia decidió enviarle una carta a Newton retándole a resolver el problema. Newton recibió la carta, la leyó, se encerró en su oficina de la Casa de la Moneda y, después de cuatro horas, salió con unos papeles en la mano que contenían la solución correcta (¡por supuesto!).

El atrabiliario Sir Isaac ordenó a su secretaria que se la enviara a Bernoulli y que le dijera, además, que “¡no lo molestara con esas tonterías!” La leyenda es una pura lucha de egos. Como moraleja positiva se podría sacar que sin el reto no habría aparecido la solución. Si atendemos a la historia real la moraleja no es muy distinta: reto, talento, esfuerzo y, como consecuencia, la “verdad”.

El Instituto Clay es una fundación sin ánimo de lucro que se dedica a incrementar y difundir el conocimiento de las Matemáticas. Sito en el Cambridge estadounidense, una ciudad muy cercana a Boston, fue fundado en 1998 por London T. Clay, adinerado hombre de negocios, y su esposa Lavinia D. Clay. El matemático Arthur Jaffe, de la Universidad de Harvard, fue su primer presidente.

La fundación aporta distintas becas y premios para matemáticos prometedores, pero si por algo es conocida es por la proposición en el año 2000 de los Problemas del Milenio. De forma análoga a los problemas de Hilbert, que fueron enunciados en 1900 por el propio Hilbert y cuyo tratamiento y resolución (de la mayoría de ellos) dieron un gran impulso a las matemáticas del siglo XX, el Instituto Clay reunió a los físicos y matemáticos más brillantes del mundo para que elaboraran una lista de siete problemas que hicieran lo mismo con las del siglo XXI. ¿La diferencia con los “altruistas” problemas de Hilbert?: la resolución de cada uno de ellos le supondrá al “ganador” ¡¡un millón de dólares!!

La lista es la siguiente:

1) P contra NP: la pregunta fundamental es si cualquier problema que puede ser verificado eficientemente por un ordenador, puede ser también resuelto eficientemente por un ordenador. La noción de eficiencia está relacionada con el número de pasos que necesita un algoritmo para verificar y solucionar el problema. Este es uno de los grandes problemas abiertos en Ciencia Computacional.

2) La conjetura de Hodge: la definición de esta conjetura es completamente técnica, así que espero que me disculpen: “Si X es una variedad proyectiva compleja, entonces todas las clases de Hodge de X son una combinación lineal con coeficientes racionales de las clases de cohomología de las subvariedades complejas de X”. ¿Entienden ahora por qué la resolución de estos problemas vale un millón de dólares? Esta es una de las grandes conjeturas abiertas de la Geometría algebraica.

3)  La conjetura de Poincaré: “la única variedad cerrada y simplemente conexa (es decir, sin agujeros) de dimensión tres, es la esfera tridimensional.” Esta conjetura fue demostrada por Grigori Perelman en 2002, lo que lo hizo acreedor a la medalla Fields (el premio más prestigioso en Matemáticas), que debió recibir en el Congreso Internacional de Matemáticas celebrado en Madrid en 2006, y, por supuesto, al millón de dólares ofrecido por la fundación Clay. ¿Saben lo que hizo?: renunció a ambos. Debido a la demostración, la conjetura perdió su estatus y se convirtió en un teorema. Este era uno de los grandes problemas abiertos en las áreas de la Geometría y la Topología.

4) La hipótesis de Riemann: esta conjetura está relacionada con la función zeta de Riemann, definida en 1859. La hipótesis dice lo siguiente: “la parte real de todo cero no trivial (es decir, los puntos donde la función se anula) de la función zeta de Riemann es ½”. Por su relación con la distribución de los números primos, este es uno de los grandes problemas abiertos de la Teoría de Números.

5) Existencia Yang-Mills y gap de masa: “se debe demostrar que la Teoría Cuántica de Campos Yang-Mills, teoría que subyace al celebérrimo Modelo Estándar de Física de Partículas, es compatible con la Teoría Especial de la Relatividad. Al mismo tiempo, se debe demostrar que la partícula más ligera que predice la teoría tiene masa estrictamente positiva, es decir, que la teoría tiene un gap de masa.” Este es uno de los grandes problemas abiertos de la Física Teórica.

6) Existencia y suavidad de las soluciones a las ecuaciones de Navier-Stokes: las ecuaciones de Navier-Stokes son las que describen el movimiento de un fluido en el espacio. Las soluciones numéricas a estas ecuaciones tienen grandes aplicaciones en física e ingeniería. Sin embargo, a nivel teórico su entendimiento es incompleto. En concreto, las soluciones incluyen el fenómeno de la turbulencia, que sigue siendo uno de los grandes problemas no resueltos de la física. Técnicamente el problema del milenio se enuncia como sigue: Probar o dar un contraejemplo de la siguiente afirmación: “En un espacio tridimensional y en el tiempo, dado un campo inicial de velocidades, existe un vector velocidad y un escalar presión que son al mismo tiempo suaves y globalmente definidos, esto es, que resuelven las ecuaciones de Navier-Stokes.” Este es uno de los grandes problemas abiertos del Análisis matemático.

7) Conjetura de Birch y Swinerton-Dyer: la conjetura está relacionada con cierto tipo de ecuaciones, aquellas que definen curvas elípticas sobre los números racionales. Dice lo siguiente: “existe una manera de decidir si tales ecuaciones tienen un número finito o infinito de soluciones racionales”. Este es uno de los grandes problemas abiertos del Álgebra.

Decíamos antes que cierto incentivo económico favorece que las cosas vayan mejor. Grigori Perelman es un claro ejemplo de que el dinero no es tan importante. Renunció radicalmente a los premios y al millón de dólares poco después de que le fueran concedidos. Respecto al dinero declaró:

“No quiero estar en exposición como un animal en el zoológico. No soy un héroe de las matemáticas. Ni siquiera soy tan exitoso. Por eso no quiero que todo el mundo me esté mirando”.

Su actitud habla claramente de instinto que usualmente mueve a los científicos: aprender, saber y llegar un poco más lejos. Si me permiten que sea sincero, su actitud también nos indica cierta pérdida de contacto con la realidad: Perelman podrá no ser muchas cosas, pero después de resolver uno de los problemas más difíciles jamás planteados SÍ es un héroe de las matemáticas. En cualquier caso, para aquellos que vivimos más cerca de la Tierra espero haber mostrado un nuevo camino hacia el “éxito económico”. Tradicionalmente se dice que es imposible hacerse rico trabajando. ¿Y pensando? El guante está tendido.

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Fernando Jiménez Alburqueque (CSIC) es investigador del Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT).