![](\"\/blogs\/matematicas\/wp-content\/blogs.dir\/69\/files\/1172\/o_manos.jpg\")
<\/div>\nPoincar\u00e9 fue el iniciador de los S.D. Dado que es \u201cimposible\u201d obtener f\u00f3rmulas expl\u00edcitas para las soluciones de esas ecuaciones, propuso dar la vuelta al problema y considerar no s\u00f3lo algunas soluciones sino la totalidad de las mismas. Pero intentando describir propiedades cualitativas en lugar de cuantitativas. Inicialmente entroncaba con la Mec\u00e1nica Celeste y la Mec\u00e1nica Anal\u00edtica, pero hoy en d\u00eda su metodolog\u00eda influye en muchos m\u00e1s dominios, como veremos. Un objeto fundamental en todo S.D. es el \u201cespacio de estados\u201d o espacio de fases del sistema, E<\/i>. En un instante dado la posici\u00f3n en este espacio caracteriza el estado del sistema. En ejemplos elementales ese espacio puede ser Rn<\/sup><\/i> una variedad finito-dimensional. Pero en el caso de EDP, EDR con componentes estoc\u00e1sticas y otros, E es un espacio funcional, o un espacio de medidas, etc. <\/p>\n En la actualidad, y dada la importancia de las aplicaciones, se intenta de nuevo retomar los aspectos cuantitativos en la teor\u00eda de los S.D. Mi punto de vista es que no se pueden disociar unos de otros y la combinaci\u00f3n de ambos es muy fruct\u00edfera. <\/p>\n Por otra parte un sistema puede depender de par\u00e1metros, pertenecientes a un espacio P<\/i>. Pueden ser constantes f\u00edsicas, de control, etc. C\u00f3mo var\u00edan las propiedades es importante, tanto para entender cambios en la fenomenolog\u00eda como para dise\u00f1ar estrategias de control. En realidad es siempre conveniente considerar el espacio producto E x P<\/i> como el m\u00e1s adecuado para comprender el sistema. Veremos someramente la relaci\u00f3n con otras \u00e1reas de la Matem\u00e1tica, algunos de los problemas y m\u00e9todos para resolverlos. Haremos tambi\u00e9n \u00e9nfasis en aspectos computacionales y en perspectivas de futuro. <\/p>\n En aras de la brevedad s\u00f3lo se da una referencia bibliogr\u00e1fica, que contiene una exposici\u00f3n t\u00e9cnica sobre varios aspectos de los S.D. y algunas referencias. <\/p>\n Relaci\u00f3n con otras \u00e1reas <\/font><\/i><\/b><\/p>\n Pocas \u00e1reas de conocimiento se relacionan con tantas otras como los S.D. Dentro de la Matem\u00e1tica no existe pr\u00e1cticamente ninguna \u00e1rea ajena. No s\u00f3lo eso: ha dado lugar a \u00e1reas que hoy en d\u00eda se desarrollan independientemente. <\/p>\n De manera natural se relaciona con todos los temas de ecuaciones diferenciales y en general del An\u00e1lisis (teor\u00eda de funciones, una o varias variables complejas, an\u00e1lisis arm\u00f3nico, an\u00e1lisis funcional, teor\u00eda de la medida, problemas espectrales, problemas inversos, etc). Pero tambi\u00e9n con las estructuras algebraicas (algebra multilineal, grupos de transformaciones, teor\u00eda de cuerpos,…) y con la teor\u00eda de n\u00fameros. <\/p>\n Por otra parte los objetos de inter\u00e9s en S.D. son objetos geom\u00e9tricos en E x P<\/i>, por lo que existen fuertes conexiones con la geometr\u00eda diferencial, geometr\u00eda algebraica y anal\u00edtica y con m\u00faltiples aspectos de la topolog\u00eda. Es especialmente relevante la relaci\u00f3n con la teor\u00eda de singularidades que se enriquece notablemente con los problemas de S.D. que consideran no s\u00f3lo los aspectos \u201cest\u00e1ticos\u201d de las singularidades sino los \u201cdin\u00e1micos\u201d. <\/p>\n A\u00fan en sistemas deterministas la descripci\u00f3n de la din\u00e1mica debe hacerse en muchos casos mediante existencia de medidas invariantes. Enlaza as\u00ed con las probabilidades. Especialmente interesante es la teor\u00eda erg\u00f3dica, a caballo entre ambas disciplinas. Conviene se\u00f1alar tambi\u00e9n el papel de la estad\u00edstica en fases del proceso de modelizaci\u00f3n que da lugar a parte de las ecuaciones estudiadas en S.D. <\/p>\n Mucha informaci\u00f3n relevante en S.D. no se puede obtener de forma precisa con las actuales herramientas te\u00f3ricas. Ello obliga a usar m\u00e9todos num\u00e9ricos. Los S.D. constituyen un motor para el An\u00e1lisis Num\u00e9rico, no s\u00f3lo en los aspectos que son ahora m\u00e1s cl\u00e1sicos (resoluci\u00f3n de ecuaciones diferenciales) sino tambi\u00e9n en aspectos novedosos como c\u00e1lculo efectivo de bifurcaciones, de toros invariantes y de todo tipo de variedades invariantes. Esas t\u00e9cnicas deben combinarse con m\u00e9todos de c\u00e1lculo simb\u00f3lico, y no hay que olvidar los temas de la teor\u00eda de la complejidad y de la visualizaci\u00f3n gr\u00e1fica, que plantean problemas formidables en dimensi\u00f3n elevada. <\/p>\n En cuanto a las aplicaciones los S.D. surgen de manera natural como un nuevo enfoque de la Mec\u00e1nica cl\u00e1sica. Pero actualmente se aplican a todas las ramas de la F\u00edsica, desde la cosmolog\u00eda a la cu\u00e1ntica o desde los fluidos al mundo nanom\u00e9trico. Y, por supuesto, eso repercute en su aplicaci\u00f3n a la industria y a la descripci\u00f3n del entorno: meteorolog\u00eda, oceanograf\u00eda, climatolog\u00eda, dispersi\u00f3n de contaminantes, etc. M\u00e1s recientemente han entrado en aspectos de la cin\u00e9tica qu\u00edmica y en el dise\u00f1o de mol\u00e9culas. Se empiezan a aplicar en Biolog\u00eda, Medicina, Econom\u00eda, si bien en esas \u00e1reas muchos modelos son a\u00fan poco fiables. Pero en S.D. se dispone de t\u00e9cnicas de an\u00e1lisis de sistemas que no precisan conocer el modelo matem\u00e1tico del fen\u00f3meno estudiado y extraen informaci\u00f3n relevante directamente de las medidas experimentales, si \u00e9stas son suficientemente abundantes. <\/p>\n Problemas y m\u00e9todos<\/b><\/i><\/font> <\/p>\n Un problema b\u00e1sico es calcular lo que puede llamarse \u201cel esqueleto del S.D.\u201d, es decir, los objetos geom\u00e9tricos en E que \u201cgu\u00edan\u201d la din\u00e1mica. Son objetos invariantes (O.I.) bajo la acci\u00f3n del sistema. Puede ser que para verlos como invariantes se tengan que usar sistemas de referencia m\u00f3viles. Los O.I. m\u00e1s simples son los puntos fijos (o, en lenguaje de EDP, estados estacionarios). Ya su c\u00e1lculo puede presentar enormes dificultades, como son el poder demostrar que se han calculado todos, problema que, en su versi\u00f3n m\u00e1s simple, enlaza con la geometr\u00eda computacional. <\/p>\n Los siguientes O.I. son las \u00f3rbitas peri\u00f3dicas y su generalizaci\u00f3n, los toros invariantes, con 2 o m\u00e1s frecuencias independientes sobre Q. Para un sistema dado el paso siguiente es estudiar la estabilidad de los O.I. Muy relevantes son los de tipo \u201chiperb\u00f3lico\u201d (quiz\u00e1s en alg\u00fan sentido d\u00e9bil), esto es, con direcciones en las que hay soluciones que se acercan al O.I. y otras en las que se alejan de \u00e9l. El conjunto de soluciones tendiendo al (alej\u00e1ndose del) O.I. forma la llamada variedad invariante estable, Ws<\/sup><\/i> (inestable, Wu<\/sup><\/i>). <\/p>\n Las variedades invariantes de los distintos O.I. pueden cortarse. Por supuesto, el corte s\u00f3lo puede ocurrir entre una Ws<\/sup><\/i> y una Wu<\/sup><\/i>. Las soluciones en las que se cortan forman las llamadas conexiones homocl\u00ednicas (si se cortan las Ws<\/sup><\/i> y Wu<\/sup><\/i> de un mismo O.I.) o heterocl\u00ednicas (si son de O.I. distintos). Esos fen\u00f3menos \u201ccl\u00ednicos\u201d son los responsables, si los cortes son transversales, de la existencia de din\u00e1mica impredictible, popularmente conocida como \u201ccaos\u201d. El entramado de conexiones act\u00faa como gu\u00eda de lo que pueden hacer las soluciones del problema. Si dicho entramado es complicado pueden aparecer objetos invariantes que no son variedades, como los llamados atractores extra\u00f1os en sistemas disipativos. <\/p>\n Adem\u00e1s de la estabilidad de un sistema concreto, interesa tambi\u00e9n estudiar la \u201crobustez\u201d del sistema frente a cambios de los par\u00e1metros o, en general, frente a peque\u00f1os cambios del S.D. Ello da lugar a la estabilidad estructural y la teor\u00eda de bifurcaciones. La teor\u00eda de los S.D. permite, en ciertos casos de naturaleza local, alrededor de un O.I. simple, describir cu\u00e1les son todos los posibles cambios en la din\u00e1mica que pueden aparecer al perturbar un sistema dado. Aparecen as\u00ed los llamados \u201cdesplegamientos universales\u201d. <\/p>\n Mientras que problemas de existencia de ciertas soluciones pueden abordarse por m\u00e9todos topol\u00f3gicos o geom\u00e9tricos que, sin embargo, dan poca informaci\u00f3n sobre las caracter\u00edsticas de las mismas, los m\u00e9todos anal\u00edticos son muy \u00fatiles en problemas perturbativos, cuando el sistema es cercano a otro que sea m\u00e1s simple y cuyas soluciones sean bien conocidas. Entre ambos enfoques hay una ampl\u00edsima \u201ctierra de nadie\u201d en la que es indispensable contar, tambi\u00e9n, con m\u00e9todos num\u00e9ricos rigurosos. <\/p>\n El c\u00e1lculo de O.I. presenta importantes retos incluso para los m\u00e9todos num\u00e9ricos m\u00e1s refinados. <\/p>\n Bibliograf\u00eda <\/font><\/i><\/b><\/p>\n [1] Sim\u00f3, C.; Dynamical systems, numerical experiments and super-computing. Mem\u00f2ries de la Reial Acad\u00e8mia de Ci\u00e8ncies i Arts de Barcelona,N\u00fam. 987, Vol. LXI, (2003), (1\u201336). <\/p>\n Por Carles Sim\u00f3 Torres En un sentido amplio el objetivo de los Sistemas Din\u00e1micos (S.D.) es estudiar \u201ctodo lo que se mueve\u201d, es decir, todos los fen\u00f3menos en los que hay alguna magnitud que evoluciona con el tiempo. Contienen sistemas cuya evoluci\u00f3n viene regida por ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO), ecuaciones en derivadas parciales (EDP), ecuaciones con retardo o memoria (EDR), sistemas discretos, etc. Asimismo puede considerarse el efecto de t\u00e9rminos estoc\u00e1sticos. Sin embargo la teor\u00eda de los S.D. contiene importantes diferencias de enfoque respecto a lo que cl\u00e1sicamente se engloba en la teor\u00eda de ecuaciones diferenciales.<\/p>\n","protected":false},"author":49,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"ngg_post_thumbnail":0},"categories":[1],"tags":[],"blocksy_meta":{"styles_descriptor":{"styles":{"desktop":"","tablet":"","mobile":""},"google_fonts":[],"version":4}},"aioseo_notices":[],"yoast_head":"\n
Universitat de Barcelona<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"