{"id":112910,"date":"2009-02-16T05:41:00","date_gmt":"2009-02-16T05:41:00","guid":{"rendered":"http:\/\/weblogs.madrimasd.org\/\/matematicas\/archive\/2009\/02\/16\/112910.aspx"},"modified":"2009-02-16T05:41:00","modified_gmt":"2009-02-16T05:41:00","slug":"los-niveles-de-landau-y-los-ceros-de-riemann","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.madrimasd.org\/blogs\/matematicas\/2009\/02\/16\/112910","title":{"rendered":"Los niveles de Landau y los ceros de Riemann"},"content":{"rendered":"<p>Hace 150 a\u00f1os <a href=\"http:\/\/www.britannica.com\/EBchecked\/topic\/503201\/Bernhard-Riemann\">Bernhard Riemann<\/a> public\u00f3 una famosa memoria de 8 p\u00e1ginas titulada \u201cSobre el n\u00famero de primos menores que una magnitud dada\u201d, donde suger\u00eda que era \u201cmuy probable\u201d que los ceros complejos de la funci\u00f3n zeta tuvieran todos parte real igual a \u00bd. Dicha sugerencia pas\u00f3 a llamarse con el tiempo la <a href=\"http:\/\/es.wikipedia.org\/wiki\/Conjetura_de_Riemann\">hip\u00f3tesis de Riemann<\/a> (HR), convirti\u00e9ndose en uno de los problemas centrales de la <a href=\"http:\/\/es.wikipedia.org\/wiki\/Teor%C3%ADa_de_n%C3%BAmeros\">Teor\u00eda de N\u00fameros<\/a> y por extensi\u00f3n de las Matem\u00e1ticas Puras. La importancia de la HR estriba en que la verdad de la misma implica la mejor cota posible a las fluctuaciones de los n\u00fameros primos respecto a su ley de distribuci\u00f3n promedio dada por el <a href=\"http:\/\/es.wikipedia.org\/wiki\/Teorema_de_los_n%C3%BAmeros_primos\">Teorema de los N\u00fameros Primos<\/a>. Otra raz\u00f3n de la importancia de la HR es que esa conjetura se extiende a un amplio zoo de <a href=\"http:\/\/es.wikipedia.org\/wiki\/Funci%C3%B3n_zeta\">funciones zeta<\/a> asociadas a <a href=\"http:\/\/es.wikipedia.org\/wiki\/Teorema_de_Dirichlet\">caracteres de Dirichlet<\/a>, <a href=\"http:\/\/es.wikipedia.org\/wiki\/Curva_el%C3%ADptica\">curvas el\u00edpticas<\/a>, etc. <\/p>\n<div align=\"center\"><img decoding=\"async\" src=\"\/blogs\/matematicas\/wp-content\/blogs.dir\/69\/files\/1454\/o_ZETA.jpg\" height=\"247\" width=\"443\"><br \/><sup>Imagen de la funci\u00f3n zeta de Riemann de <a href=\"http:\/\/www.mat.csic.es\/fichapersonal.php?id=3\">David Mart\u00edn de Diego<\/a><\/sup><\/div>\n<p><!--more-->A lo largo del siglo XX ha habido varios intentos de demostraci\u00f3n de la HR a cargo de matem\u00e1ticos de primera l\u00ednea como <a href=\"http:\/\/www.britannica.com\/EBchecked\/topic\/255155\/Godfrey-Harold-Hardy\">Hardy<\/a>, <a href=\"http:\/\/es.wikipedia.org\/wiki\/John_Edensor_Littlewood\">Littlewood<\/a>, <a href=\"http:\/\/www.britannica.com\/EBchecked\/topic\/566183\/Thomas-Jan-Stieltjes\">Stieltjes<\/a>, <a href=\"http:\/\/www.britannica.com\/EBchecked\/topic\/609739\/Alan-M-Turing\">Turing<\/a>, <a href=\"http:\/\/www.britannica.com\/EBchecked\/topic\/638991\/Andre-Weil\">Weil<\/a>, <a href=\"http:\/\/www.britannica.com\/EBchecked\/topic\/133037\/Alain-Connes\">Connes<\/a>, etc, que han permitido profundizar en el conocimiento de la Teor\u00eda de N\u00fameros pero que no han logrado el objetivo final. Una de las v\u00edas de demostraci\u00f3n m\u00e1s sugerentes fue propuesta por <a href=\"http:\/\/es.wikipedia.org\/wiki\/George_P%C3%B3lya\">Polya<\/a> y <a href=\"http:\/\/es.wikipedia.org\/wiki\/David_Hilbert\">Hilbert<\/a> en torno a 1910, seg\u00fan la cual la parte imaginaria de los ceros de Riemann ser\u00edan frecuencias de oscilaci\u00f3n de un sistema f\u00edsico. Empleando el lenguaje de la <a href=\"http:\/\/es.wikipedia.org\/wiki\/Cu%C3%A1ntica\">Mec\u00e1nica Cu\u00e1ntica<\/a>,&nbsp; dicha sugerencia se replantea en t\u00e9rminos de la existencia de un operador autoadjunto, cuyo espectro discreto contuviera la parte imaginaria de todos los ceros de Riemann. Dicho operador, ser\u00eda un Hamiltoniano actuando sobre un espacio de Hilbert de estados f\u00edsicos, siendo los ceros de Riemann sus niveles de energ\u00eda y por tanto observables. La interpretaci\u00f3n espectral de la HR se apoya en diversos resultados \u201cfenomenol\u00f3gicos\u201d,&nbsp; entre los que destaca el hecho de que los ceros de Riemann satisfacen de manera local la distribuci\u00f3n aleatoria correspondiente a los autovalores de matrices aleatorias gaussianas del conjunto unitario (estad\u00edstica GUE). Este resultado fue descubierto por Montgomery en los a\u00f1os 70 y comprobado num\u00e9ricamente por Odlyzco en los 80.&nbsp; Utilizando estos trabajos, Berry y colaboradores sugirieron que la Teor\u00eda del Caos Cu\u00e1ntico podr\u00eda ser la clave de la soluci\u00f3n. Partiendo de analog\u00edas entre f\u00f3rmulas de la Teor\u00eda de N\u00fameros y del Caos Cu\u00e1ntico, conjeturaron la existencia de un Hamiltoniano cl\u00e1sico ca\u00f3tico cuyas \u00f3rbitas peri\u00f3dicas estuvieran en correspondencia con los n\u00fameros primos y cuya cuantizaci\u00f3n generar\u00eda los ceros de Riemann en el espectro. Dicho Hamiltoniano romper\u00eda la invariancia bajo inversion temporal para estar de acuerdo con la estad\u00edstica GUE. <\/p>\n<div align=\"center\"><img decoding=\"async\" src=\"\/blogs\/matematicas\/wp-content\/blogs.dir\/69\/files\/1454\/o_Riemann_4.jpeg\"><\/p>\n<\/div>\n<div align=\"center\"><sup>Bernhard Riemann <\/sup><\/div>\n<p>En 1999, <a href=\"http:\/\/www.britannica.com\/EBchecked\/topic\/725560\/Clifford-E-Berry\">Berry <\/a>y Keating por un lado y Connes por otro, propusieron un modelo heur\u00edstico semicl\u00e1sico&nbsp; que contiene la aproximaci\u00f3n media a los ceros de Riemann. Dicho modelo describe&nbsp; una part\u00edcula movi\u00e9ndose en una dimensi\u00f3n, cuyo Hamiltoniano cl\u00e1sico es H = xp, donde x es la posici\u00f3n y p es el momento. El trabajo de estos autores&nbsp; difiere sin embargo en la manera en que aparecen los ceros de Riemann. En el modelo de Berry y Keating los ceros aparecen en el espectro discreto, mientras que en el de Connes el espectro es un continuo, siendo los ceros de Riemann l\u00edneas espectrales de absorci\u00f3n. La diferencia entre estos dos resultados opuestos se halla en la diferente elecci\u00f3n del espacio de fases semicl\u00e1sico. <\/p>\n<p>En un reciente trabajo publicado en la <a href=\"http:\/\/prl.aps.org\/\">Revista Physical Review Letters,<\/a> y titulado <a href=\"http:\/\/digital.csic.es\/bitstream\/10261\/5531\/3\/Sierra_Townsend_PRL_101_2008.pdf\">\u201cLandau levels and Riemann zeros\u201d<\/a> se propone una realizaci\u00f3n f\u00edsica del modelo de Berry-Keating y Connes empleando una part\u00edcula cargada, por ejemplo un electr\u00f3n, movi\u00e9ndose en un plano bajo la acci\u00f3n de un campo magn\u00e9tico perpendicular al mismo y un campo el\u00e9ctrico en forma de silla. El campo magn\u00e9tico hace que los electrones giren en \u00f3rbitas ciclotr\u00f3nicas, cuyo centro describe trayectorias hiperb\u00f3licas por el efecto del campo el\u00e9ctrico. Cuando el electr\u00f3n se coloca en una caja finita y en el nivel de Landau de m\u00e1s baja energ\u00eda, se obtiene un espectro continuo corregido por la parte promedio de los ceros de Riemann, lo cual est\u00e1 de acuerdo con el resultado semicl\u00e1sico de Connes. Existen razones para pensar que la inclusi\u00f3n de niveles de Landau de m\u00e1s alta energ\u00eda podr\u00e1 dar una realizaci\u00f3n espectral de los ceros de Riemann, y no s\u00f3lo de su aproximaci\u00f3n promedio. Por otra parte, no hay que descartar que la versi\u00f3n de Berry y Keating sea realizable en el contexto del modelo de Landau. El sistema f\u00edsico propuesto es de uso corriente en el estudio te\u00f3rico y experimental del Efecto Hall Cu\u00e1ntico,&nbsp; por lo que de ser cierta la conjetura de este trabajo se abrir\u00eda la posibilidad de una observaci\u00f3n experimental de los ceros de Riemann. Por otra parte la consistencia matem\u00e1tica del modelo posiblemente llevar\u00eda a la demostraci\u00f3n de la HR, aunque a\u00fan es pronto para saber si esto es as\u00ed. <\/p>\n<p>En todo caso,&nbsp; este trabajo puede servir de est\u00edmulo en la investigaci\u00f3n sobre los aspectos matem\u00e1ticos y f\u00edsicos de la HR, que es sin duda uno de los retos cient\u00edficos del siglo XXI. <\/p>\n<div align=\"right\">Germ\u00e1n Sierra <br \/><a href=\"http:\/\/www.ift.uam.es\/\">I<\/a><a href=\"http:\/\/www.ift.uam.es\/\">nstituto de F\u00edsica Te\u00f3rica CSIC-UAM<\/a><a href=\"http:\/\/tempuri.org\/tempuri.html\">&nbsp;<\/a><br \/>Madrid<\/div>\n<p><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Hace 150 a\u00f1os Bernhard Riemann public\u00f3 una famosa memoria de 8 p\u00e1ginas titulada \u201cSobre el n\u00famero de primos menores que una magnitud dada\u201d, donde suger\u00eda que era \u201cmuy probable\u201d que los ceros complejos de la funci\u00f3n zeta tuvieran todos parte real igual a \u00bd. 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