{"id":117315,"date":"2009-04-29T04:53:00","date_gmt":"2009-04-29T04:53:00","guid":{"rendered":"http:\/\/weblogs.madrimasd.org\/\/matematicas\/archive\/2009\/04\/29\/117315.aspx"},"modified":"2009-04-29T04:53:00","modified_gmt":"2009-04-29T04:53:00","slug":"esperando-al-autobus","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.madrimasd.org\/blogs\/matematicas\/2009\/04\/29\/117315","title":{"rendered":"Esperando al autobus"},"content":{"rendered":"<p>No suelo coger el autobus o el tren para desplazarme, aunque el transporte p\u00fablico en Madrid es razonablemente bueno. Pero en ocasiones mi coche decide que debo de tomar el transporte p\u00fablico. Algo que siempre me ha intrigado es que normalmente tengo que esperar al autobus m\u00e1s tiempo de lo que lo uno estimar\u00eda de acuerdo a la frecuencia marcada por las compa\u00f1\u00edas de transporte en la estaci\u00f3n de autob\u00fas o de tren. <br \/><!--more--><\/p>\n<div align=\"justify\">Por ejemplo, si los autobuses pasan con una frecuencia de 4 a la hora, puedes esperar que pase un bus cada 15 minutos de media, con algunas fluctuaciones alrededor de este valor debidas a las condiciones del tr\u00e1fico. Por tanto, llegando a la parada de bus de modo aleatorio tendriamos que experar una media de 15\/2 =7.5 minutos. Pero yo siempre tengo la impresi\u00f3n de esperar m\u00e1s de 15 minutos. \u00bfC\u00f3mo puede ser? \u00bfTan mala suerte tengo que siempre llego a la parada del autob\u00fas cuando el autobus acaba de partir?<\/p>\n<p>La respuesta a esta pregunta es la famosa <a href=\"http:\/\/mahalanobis.twoday.net\/stories\/3486587\/\"><font color=\"#000000\">paradoja del tiempo de espera<\/font><\/a> en la <a href=\"http:\/\/en.wikipedia.org\/wiki\/Queueing_theory\">teor\u00eda de cola<\/a><a href=\"http:\/\/www.dft.gov.uk\/pgr\/statistics\/datatablespublications\/public\/buspunctuality\/buspunctuality07\">s<\/a>: para simplificar, supongamos que el tiempo entre dos autobuses viene dado por la variable&nbsp; <i>T<\/i>. En un mundo ideal <i>T<\/i> ser\u00eda una variable determinista. En el ejemplo que comentamos antes,&nbsp; <i>T<\/i>=15 minutos. Sin embargo, debido a las condiciones de tr\u00e1fico y otros imprevistos,&nbsp; <i>T<\/i> se distribuye alrededor de los 15 minutos. El siguiente gr\u00e1fico muestra la \u201ctardanza\u201d en las frecuencias de los autobuses en Gran Breta\u00f1a, extraido del informe de <a href=\"http:\/\/markov.uc3m.es\/\">la Estad\u00edstica de la Puntualidad del Autob\u00fas en Gran Breta\u00f1a, 2007<\/a>.<\/p>\n<div align=\"center\"><img decoding=\"async\" src=\"\/blogs\/matematicas\/wp-content\/blogs.dir\/69\/files\/1572\/o_Imagen1.jpg\" width=\"467\" height=\"267\"><\/p>\n<div align=\"justify\">Como podemos ver, aunque la mayor parte de los autobuses s\u00f3lo se retrasa menos de un par de minutos, hay una fracci\u00f3n significativa de ellos que llegan tarde m\u00e1s de 5 minutos. \u00a1E incluso algunos de ellos que vienen antes de tiempo! Asumiendo que nuestro autob\u00fas llega a la parada en intervalos de tiempo <i>T<\/i> obtenidos de una distribuci\u00f3n <i>P(T)<\/i>, veamos lo que tendr\u00edamos que esperar en la parada del autob\u00fas. El siguiente gr\u00e1fico muestra la l\u00ednea temporal de llegadas de autobuses a una misma parada:<\/p>\n<div align=\"center\"><img decoding=\"async\" src=\"\/blogs\/matematicas\/wp-content\/blogs.dir\/69\/files\/1572\/o_Imagen2.jpg\" width=\"409\" height=\"55\"><\/div>\n<p>Los autobuses llegan a la parada del autob\u00fas (l\u00edneas verticales) con una frecuencia de tiempo entre ellos dada por&nbsp;<i> T<sub>i<\/sub><\/i>. Despu\u00e9s de dejar el coche en el taller, llego a la parada del bus a la hora marcada por la flecha vertical, as\u00ed que tengo que esperar un tiempo t. La cuesti\u00f3n es \u00bfc\u00faal es el valor promedio del tiempo de espera t? Si suponemos que mi coche se rompe aleatoriamente, podemos asumir que mi hora de llegada es aleatoria tambi\u00e9n, independiente del horario del autob\u00fas. Sin embargo, si la hora a la que llego a la parada del autob\u00fas es aleatorio, tengo m\u00e1s probabilidades de llegar a la parada del bus a un intervalo en el que el tiempo entre autobuses <i>T<\/i> sea mayor. Espec\u00edficamente la probabilidad de que llegue a la parada en un intervalo en el que el tiempo entre autobuses es <i>T<\/i> viene dada por <\/p>\n<div align=\"center\"><img decoding=\"async\" style=\"border: 0px none ; vertical-align: middle;\" src=\"http:\/\/l.wordpress.com\/latex.php?latex=%5Cdisplaystyle%7B%5Cfrac%7BT+P%28T%29%7D%7B%5Coverline%7BT%7D%7D%7D&amp;bg=FFFFFF&amp;fg=000000\" alt=\"\\displaystyle{\\frac{T P(T)}{\\overline{T}}}\"><\/div>\n<p>donde&nbsp;<img decoding=\"async\" style=\"border: 0px none ; vertical-align: middle;\" src=\"http:\/\/l.wordpress.com\/latex.php?latex=%5Coverline%7BT%7D&amp;bg=FFFFFF&amp;fg=000000\" alt=\"\\overline{T}\">&nbsp; es el valor medio del tiempo entre autobuses. Dado el intervalo <i>T<\/i>, el tiempo de espera t est\u00e1 equitativamente distruibuido (desde mi llegada aleatoria) as\u00ed tendremos que multiplicar la probabilidad anterior por 1\/<i>T<\/i>&nbsp; . Finalmente calculamos todas las posibilidades <img decoding=\"async\" style=\"border: 0px none ; vertical-align: middle;\" src=\"http:\/\/l.wordpress.com\/latex.php?latex=%5Ctau+%5Cleq+T&amp;bg=FFFFFF&amp;fg=000000\" alt=\"\\tau \\leq T\">&nbsp; obteniendo <\/p>\n<div align=\"center\"><img decoding=\"async\" style=\"border: 0px none ; vertical-align: middle;\" src=\"http:\/\/l.wordpress.com\/latex.php?latex=%5Cdisplaystyle%7BQ%28%5Ctau%29+%3D+%5Cint_%5Ctau%5E%5Cinfty+%5Cfrac%7BTP%28T%29%7D%7B%5Coverline+T%7D+%5Cfrac%7B1%7D%7BT%7DdT+%3D+%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Coverline+T%7D%5Cint_%5Ctau%5E%5Cinfty+P%28T%29+dT%7D&amp;bg=FFFFFF&amp;fg=000000\" alt=\"\\displaystyle{Q(\\tau) = \\int_\\tau^\\infty \\frac{TP(T)}{\\overline T} \\frac{1}{T}dT = \\frac{1}{\\overline T}\\int_\\tau^\\infty P(T) dT}\"><\/p>\n<div align=\"justify\">que nos da la distribuci\u00f3n de los tiempos de espera. La media de valor de t es dada por <\/p>\n<div align=\"center\"><img decoding=\"async\" style=\"border: 0px none ; vertical-align: middle;\" src=\"http:\/\/l.wordpress.com\/latex.php?latex=%5Cdisplaystyle%7B%5Coverline+%5Ctau+%3D+%5Cint_0%5E%5Cinfty+%5Ctau+Q%28%5Ctau%29+d%5Ctau+%3D+%5Cfrac%7B%5Coverline%7BT%5E2%7D%7D%7B2%5Coverline+T%5E2%7D+%3D+%5Cfrac%7B%5Coverline+T%7D%7B2%7D%5Cleft%281+%2B+%5Cfrac%7B%5Csigma_T%5E2%7D%7B%5Coverline%7BT%7D%5E2%7D%5Cright%29+%7D&amp;bg=FFFFFF&amp;fg=000000\" alt=\"\\displaystyle{\\overline \\tau = \\int_0^\\infty \\tau Q(\\tau) d\\tau = \\frac{\\overline{T^2}}{2\\overline T^2} = \\frac{\\overline T}{2}\\left(1 + \\frac{\\sigma_T^2}{\\overline{T}^2}\\right) }\"><\/div>\n<p>donde&nbsp;<img decoding=\"async\" style=\"border: 0px none ; vertical-align: middle;\" src=\"http:\/\/l.wordpress.com\/latex.php?latex=%5Csigma_T%5E2&amp;bg=FFFFFF&amp;fg=000000\" alt=\"\\sigma_T^2\">&nbsp; es la varianza de los tiempos entre autobuses. Esta ecuaci\u00f3n es el resultado principal de la teor\u00eda de colas para este proceso. Nos dice:<\/p>\n<p>\u2022&nbsp;&nbsp;&nbsp; Si el autobus llega puntual y a los intervalos regulares entonces&nbsp;<img decoding=\"async\" style=\"border: 0px none ; vertical-align: middle;\" src=\"http:\/\/l.wordpress.com\/latex.php?latex=%5Csigma_T+%3D+0&amp;bg=FFFFFF&amp;fg=000000\" alt=\"\\sigma_T = 0\"> y el tiempo de espera es el tiempo previsto&nbsp;<img decoding=\"async\" style=\"border: 0px none ; vertical-align: middle;\" src=\"http:\/\/l.wordpress.com\/latex.php?latex=%5Coverline%7B%5Ctau%7D+%3D+%5Coverline%7BT%7D%2F2&amp;bg=FFFFFF&amp;fg=000000\" alt=\"\\overline{\\tau} = \\overline{T}\/2\"> . Esto significa que si la frecuencia del autobus es de 15 minutos, entonces tendr\u00e9 que esperar (de media) 7.5 minutos. <\/p>\n<p>\u2022&nbsp;&nbsp;&nbsp; Pero en el mundo real los buses no llegan puntuales, entonces&nbsp;<img decoding=\"async\" style=\"border: 0px none ; vertical-align: middle;\" src=\"http:\/\/l.wordpress.com\/latex.php?latex=%5Csigma_T&amp;bg=FFFFFF&amp;fg=000000\" alt=\"\\sigma_T\"> &gt; 0 . Por lo tanto, el tiempo de espera es siempre mayor que&nbsp;<img decoding=\"async\" style=\"border: 0px none ; vertical-align: middle;\" src=\"http:\/\/l.wordpress.com\/latex.php?latex=%5Coverline%7BT%7D%2F2&amp;bg=FFFFFF&amp;fg=000000\" alt=\"\\overline{T}\/2\"> . De hecho, la distribuci\u00f3n de la tardanza mostrada arriba nos dice que hay una amplia fraci\u00f3n de autobuses con largos retrasos por lo que&nbsp;<img decoding=\"async\" style=\"border: 0px none ; vertical-align: middle;\" src=\"http:\/\/l.wordpress.com\/latex.php?latex=%5Csigma_T&amp;bg=FFFFFF&amp;fg=000000\" alt=\"\\sigma_T\">&nbsp; ser\u00e1 muy grande, con lo que&nbsp;<img decoding=\"async\" style=\"border: 0px none ; vertical-align: middle;\" src=\"http:\/\/l.wordpress.com\/latex.php?latex=%5Csigma_T&amp;bg=FFFFFF&amp;fg=000000\" alt=\"\\sigma_T\">&nbsp; controla el tiempo de espera. <\/p>\n<p>De hecho el Informe sobre la Puntalidad de los Autobuses en GB muestra que de media el tiempo de espera excede en un 40% el tiempo medio de espera de un autobus regular&nbsp; <img decoding=\"async\" style=\"border: 0px none ; vertical-align: middle;\" src=\"http:\/\/l.wordpress.com\/latex.php?latex=%5Coverline%7BT%7D%2F2&amp;bg=FFFFFF&amp;fg=000000\" alt=\"\\overline{T}\/2\">. Por tanto: debido a la varianza en el tiempo entre los autobuses, todos terminamos esperando un tiempo mayor que lo que uno esperar\u00eda de acuerdo a la frecuencia de los autobuses. Y esa es mi percepci\u00f3n: si el tren\/bus llega cada 15 minuto, yo termino esperando 15 minutos, no 7.5. <\/p>\n<p>En un mundo ideal, los horarios de autobuses deber\u00edan indicar tanto el tiempo medio entre autobuses de los autobuses <img decoding=\"async\" style=\"border: 0px none ; vertical-align: middle;\" src=\"http:\/\/l.wordpress.com\/latex.php?latex=%5Coverline%7BT%7D&amp;bg=FFFFFF&amp;fg=000000\" alt=\"\\overline{T}\">&nbsp; como su varianza <img decoding=\"async\" style=\"border: 0px none ; vertical-align: middle;\" src=\"http:\/\/l.wordpress.com\/latex.php?latex=%5Csigma_T&amp;bg=FFFFFF&amp;fg=000000\" alt=\"\\sigma_T\"> y as\u00ed podr\u00edamos estimar el tiempo de espera. Desafortunadamente, s\u00f3lo nos cuentan parte de la historia.<\/p>\n<p><br class=\"Clear\"> \t\t<\/p>\n<div align=\"right\">Por <a href=\"http:\/\/markov.uc3m.es\">Esteban Moro<\/a> <br \/>Investigador de <a href=\"http:\/\/www.simumat.es\">SIMUMAT<\/a><\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>No suelo coger el autobus o el tren para desplazarme, aunque el transporte p\u00fablico en Madrid es razonablemente bueno. Pero en ocasiones mi coche decide que debo de tomar el transporte p\u00fablico. 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