{"id":117807,"date":"2009-05-07T04:22:00","date_gmt":"2009-05-07T04:22:00","guid":{"rendered":"http:\/\/weblogs.madrimasd.org\/\/matematicas\/archive\/2009\/05\/07\/117807.aspx"},"modified":"2009-05-07T04:22:00","modified_gmt":"2009-05-07T04:22:00","slug":"mikhail-gromov-premio-abel-2009","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.madrimasd.org\/blogs\/matematicas\/2009\/05\/07\/117807","title":{"rendered":"Mikhail Gr\u00f3mov, Premio Abel 2009"},"content":{"rendered":"
El pasado 26 de marzo, la Academia Noruega de las Ciencias y las Letras anunci\u00f3 que se hab\u00eda decidido ortorgar el Premio Abel<\/a> para el a\u00f1o 2009 a Mikha\u00edl Leon\u00eddovich Gr\u00f3mov<\/a>, por \u201csus contribuciones revolucionarias en la geometr\u00eda\u201d. El Premio Abel es considerado como el an\u00e1logo al premio Nobel para las matem\u00e1ticas. Fue establecido en 2002 por el Niels Henrik Abel Memorial Fund, y se otorga anualmente desde 2003. La selecci\u00f3n del premiado se basa en la recomendaci\u00f3n de una Comisi\u00f3n formada por cinco matem\u00e1ticos de reconocido presitigio internacional. El premio lleva asociado un premio en met\u00e1lico de 6 millones de coronas noruegas, equivalentes a 700,000 euros. Mikhail Gr\u00f3mov recibir\u00e1 el Premio Abel de manos de Su Majestad el Rey Harald de Noruega en la ceremonia oficial del 19 de Mayo en Oslo (Noruega).<\/div>\n

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Mikhail Gr\u00f3mov es un matem\u00e1tico ruso-franc\u00e9s, conocido por importantes contribuciones en muy diversas \u00e1reas de las matem\u00e1ticas.  Naci\u00f3 el 23 de diciembre de 1943, en una peque\u00f1a ciudad llamada Boksitogorsk, cercana a Leningrado (ahora San Petersburgo), en Rusia. Curs\u00f3 sus estudios universitarios en la Universidad de Leningrado y realiz\u00f3 sus estudios de doctorado como estudiante del eminente top\u00f3logo Vladimir A. Rokhlin, obteniendo el t\u00edtulo de doctor en 1969 y completando sus tesis post-doctoral en 1973. En 1974, Gr\u00f3mov dej\u00f3 la Uni\u00f3n Sovietica y se convirti\u00f3 en Profesor de la Universidad de Stony Brook (Nueva York, US). Desde 1982, es Profesor permanente en el Institut des Hautes \u00c9tudes Scientifiques (I.H.E.S.), en Bures-sur-Yvette, Par\u00eds (Francia). Gromov adquiri\u00f3 la nacionalidad francesa en 1992.<\/div>\n

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Mikhail Gr\u00f3mov ha recibido numerosos premios internacionales de reconocido prestigio, tales como el Premio Nemmers, el Premio Balzan,  el Premio Oswald Veblen en Geometr\u00eda, o el Premio J\u00e1nos Bolyai, entre muchos otros, aunque no recibi\u00f3 la medalla Fields. Tambi\u00e9n ha sido un conferenciante invitado en varios International Congress of Mathematicians: Niza (1970), Helsinki (1978), Varsovia (1982), y Berkeley (1986). <\/div>\n

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El trabajo de Gr\u00f3mov ha tenido gran impacto en numerosas \u00e1reas de las matem\u00e1ticas, dentro del \u00e1lgebra, el an\u00e1lisis, y la geometr\u00eda. Gr\u00f3mov se considera a s\u00ed mismo un ge\u00f3metra. Las t\u00e9cnicas que emplea (e inventa) para atacar los problemas est\u00e1n formuladas en general en un lenguaje geom\u00e9trico. Ha introducido ideas realmente originales que han dado lugar a nuevos puntos de vista. Sus ideas suelen ser intuitivamente sencillas, pero hacerlas funcionar ha requerido en muchos casos un verdadero tour de force<\/i> que le ha obligado a desarrollar t\u00e9cnicas completamente novedosas, algo al alcance de pocos matem\u00e1ticos. El Comit\u00e9 del Premio Abel ha expresado que \u201cMikhail Gr\u00f3mov siempre est\u00e1 a la b\u00fasqueda de nuevas preguntas y constantemente pensando en nuevas ideas para resolver viejos problemas. Ha producido trabajo profundo y original a lo largo de su carrera y se mantiene remarcablemente creativo. El trabajo de Gr\u00f3mov sigue siendo una fuente de inspiraci\u00f3n para muchos descubrimientos matem\u00e1ticos futuros.\u201d<\/div>\n

Revisemos brevemente algunas de las \u00e1reas en las que Gr\u00f3mov ha dejado su impronta.<\/p>\n

An\u00e1lisis
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Gr\u00f3mov ha introducido el sorprendente concepto del h-principio. En su libro Partial Differential Relations, Gr\u00f3mov estudia las relaciones en derivadas parciales, que son ecuaciones en derivadas parciales sobre una variedad diferenciable, de tipo generalizado (se permiten condiciones del tipo de inecuaciones en vez de igualdades). La idea principal de Gr\u00f3mov consiste en dividir el problema en dos: uno de tipo topol\u00f3gico, en el que se encuentran soluciones no \u2018geom\u00e9tricas\u2019 a las relaciones en derivadas parciales (esto es, jets que satisfacen la propiedad pero que no vienen de funciones sobre la variedad), y otro de tipo anal\u00edtico, que consiste en deformar una de estas soluciones formales a una soluci\u00f3n efectiva (denominada hol\u00f3noma). Cuando este segundo paso se puede hacer, decimos que el h-principio se verifica. <\/div>\n

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Gr\u00f3mov utiliz\u00f3 la geometr\u00eda asociada a numerosos problemas que se pueden expresar en t\u00e9rminos de relaciones en derivadas parciales (tales como la construcci\u00f3n de inmersiones de una variedad en otra, de inmersiones isom\u00e9tricas de una variedad riemanniana en el espacio eucl\u00eddeo, o de inmersiones simpl\u00e9cticas de una variedad simpl\u00e9ctica) para demostrar el h-principio, inventando t\u00e9cnicas de gran originalidad. Por ejemplo, esto sirvi\u00f3 para entender y generalizar el fen\u00f3meno descubierto por Smale de la eversi\u00f3n de la esfera, el resultado de Oka de la existencia de secciones holomorfas de un fibrado sobre una variedad Stein, o el resultado de Nash de la inmersi\u00f3n isom\u00e9trica de una variedad riemanniana en un espacio eucl\u00eddeo.<\/div>\n
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\u00c1lgebra<\/b><\/font><\/p>\n

El trabajo de Gr\u00f3mov en \u00c1lgebra se centra en el estudio de grupos discretos finitamente generados. Estos grupos aparecen como grupos de transformaciones en varias situaciones: en teor\u00eda de n\u00fameros aparece el grupo modular SL(2,Z) actuando sobre el semiplano superior, tambi\u00e9n son relevantes los grupos discretos actuando en espacios homog\u00e9neos, que producen los llamados espacios geom\u00e9tricos.  En general, los grupos discretos finitamente generados aparecen como grupos fundamentales de variedades diferenciables compactas. Gr\u00f3mov estudi\u00f3 los grupos de crecimiento polinomial, resolviendo una conjectura de Milnor de 1968. Demostr\u00f3 que cada grupo de tipo finito y crecimiento polinomial contiene un subgrupo de indice finito que es \u00e9l mismo un subgrupo de un grupo de Lie nilpotente. El crecimiento de un grupo se expresa a trav\u00e9s de su grafo de Cayley, que se construye fijando unos generadores del grupo, colocando los elementos del grupo como v\u00e9rtices, y uniendo dos v\u00e9rtices cuando uno se obtiene del otro multiplicando por un generador. La cuesti\u00f3n b\u00e1sica es que, mirando este grafo desde el infinito, el resultado no depende de los generadores elegidos, y parece un espacio continuo. <\/div>\n

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Grupo Z. El primer grafo se corresponde a los generadores {2,3}.
El segundo se corresponde a {1}. Vistos desde el infinito, ambos se convierten en una l\u00ednea. <\/sub><\/div>\n

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Para definir el l\u00edmite al que se aproximaban los espacios al mirarlos desde cada vez m\u00e1s lejos, Gr\u00f3mov introdujo una distancia en el conjunto de todos los espacios m\u00e9tricos completos separables, ahora denominada distancia de Gr\u00f3mov-Hausdorff. Esta noci\u00f3n ha sido usada en numerosas situaciones. Ha tenido especial relevancia en sus aplicaciones a geometr\u00eda riemanniana, pues formaliza muchas situaciones  en las que hay colapsos de espacios.<\/p>\n<\/div>\n
Otro concepto algebraico de gran impacto introducido por Gr\u00f3mov es el de grupo hiperb\u00f3lico, en relaci\u00f3n con los espacios hiperb\u00f3licos, que tienen una gran importancia en geometr\u00eda.<\/div>\n

Geometr\u00eda Riemanniana <\/font><\/b><\/p>\n

Probablemente el \u00e1rea en el que m\u00e1s repercusi\u00f3n han tenido los trabajos de Gr\u00f3mov es la Geometr\u00eda Riemanniana. La geometr\u00eda riemanniana es el estudio de las variedades diferenciales (M,g<\/i>) dotadas con una m\u00e9trica g<\/i>(.,.), es decir, un producto escalar para los vectores del espacio tangente Tm<\/sub>M<\/i> en cada punto. La m\u00e9trica permite medir longitudes, \u00e1ngulos y vol\u00famenes, por tanto es uno de los conceptos geom\u00e9tricos que ha tenido m\u00e1s relevancia desde los comienzos de la geometr\u00eda diferencial. Con la m\u00e9trica podemos construir los an\u00e1logos de las l\u00edneas rectas en cualquier variedad, que son las curvas que localmente minimizan distancias, y que se denominan geod\u00e9sicas.<\/div>\n

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La m\u00e9trica da una geometr\u00eda local a la variedad. Esto es, que entornos de puntos distintos en variedades distintas no pueden identificarse con una isometr\u00eda (una aplicaci\u00f3n que preserva las distancias). El invariante local b\u00e1sico de una variedad Riemanniana es el de curvatura. Gr\u00f3mov estudi\u00f3 ampliamente las consecuencias topol\u00f3gicas que se pod\u00edan extraer de conocer la existencia de una m\u00e9trica con curvatura prescrita en una variedad compacta. Por ejemplo, demostr\u00f3 que para variedades con curvatura positiva, el n\u00famero de agujeros de la variedad (la suma de los n\u00fameros de Betti) estaba acotada independientemente de la variedad y la dimensi\u00f3n. Gr\u00f3mov tambi\u00e9n estudio variedades con curvatura negativa, en relaci\u00f3n con los grupos hiperb\u00f3licos, as\u00ed como muchos otros problemas tales como el espectro del laplaciano de una variedad riemanniana, o la distribuci\u00f3n de las longitudes de las geod\u00e9sicas peri\u00f3dicas en una variedad.<\/div>\n

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Topolog\u00eda Simpl\u00e9ctica<\/font><\/b><\/p>\n

Mikhail Gr\u00f3mov revolucion\u00f3 el mundo de la geometr\u00eda simpl\u00e9ctica con la introducci\u00f3n de las curvas pseudo-holomorfas. La geometr\u00eda simpl\u00e9ctica es el estudio de variedades diferenciables M<\/i> de dimensi\u00f3n 2n,<\/i> dotadas de una forma simpl\u00e9ctica, es decir, una forma diferencial ? de grado 2 que es cerrada, d?=0, y no degenerada. Las estructuras simpl\u00e9cticas aparecen en matem\u00e1ticas en muy diversas situaciones, dos de ellas especialmente importantes. La primera es la geometr\u00eda K\u00e4hler. Una variedad K\u00e4hler es una variedad compleja dotada de una m\u00e9trica herm\u00edtica h que oscula con la m\u00e9trica plana a orden 2. La estructura compleja y la m\u00e9trica herm\u00edtica dan lugar a una 2-forma ? definida como ?(u,v<\/i>)= Im h(u,v<\/i>). Los coeficientes de ? en una carta compleja son (salvo un factor) los coeficientes de la m\u00e9trica h. La no-degeneraci\u00f3n de h es equivalente a la no-degeneraci\u00f3n de ?. La condici\u00f3n de osculaci\u00f3n se traduce por que ? sea cerrada. Por lo tanto, toda variedad K\u00e4hler es simpl\u00e9ctica. La segunda situaci\u00f3n donde aparece la geometr\u00eda simpl\u00e9ctica de modo fundamental es la mec\u00e1nica hamiltoniana, donde la 1-forma can\u00f3nica del espacio de fases (espacio de posiciones-momentos donde la mec\u00e1nica se estudia) es la forma de Liouville, y su diferencial exterior es una 2-forma simpl\u00e9ctica. <\/div>\n

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El teorema de Darboux establece que localmente toda forma simpl\u00e9ctica se puede escribir en alg\u00fan conjunto de coordenadas (x1<\/sub><\/i>, x2<\/sub><\/i>, \u2026, x2n<\/sub><\/i>) como S dxi<\/sub> ^ dxi+n<\/sub> . Por tanto, no existen invariantes locales en geometr\u00eda simpl\u00e9ctica, en contraste con la geometr\u00eda riemanniana, donde la noci\u00f3n de curvatura es el invariante local por excelencia. La topolog\u00eda simpl\u00e9ctica se centra en el estudio de las propiedades globales, o topol\u00f3gicas, de las variedades simpl\u00e9cticas. Sin embargo, Gr\u00f3mov descubri\u00f3 obstrucciones m\u00e1s all\u00e1 de la medida en el caso de dimensi\u00f3n 2n<\/i> = 4. Un resultado paradigm\u00e1tico es la inexistencia de embebimientos simpl\u00e9cticos de una bola B2n<\/sub>(0,R<\/i>) de radio R<\/i> (del espacio 2n<\/i>-dimensional) en un producto B2<\/sub>(0,r<\/i>) x R2n<\/i> -2<\/sup> , con r<R<\/i>, a pesar que la medida del segundo espacio sea infinita. <\/div>\n

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La pieza clave para estos resultados de rigidez simpl\u00e9ctica viene de la extensi\u00f3n de la teor\u00eda enumerativa de curvas complejas en variedades K\u00e4hler a la situaci\u00f3n simpl\u00e9ctica. Una estructura casi-compleja en una variedad de dimensi\u00f3n par es un endomorfismo J<\/i> del espacio tangente cuyo cuadrado es \u2013id, por lo tanto el espacio tangente se convierte en un espacio complejo en el que la multiplicaci\u00f3n por i est\u00e1 definida como la acci\u00f3n de J en los vectores. Cada forma simpl\u00e9ctica admite una (de hecho muchas, pero todas ellas deformables entre s\u00ed) estructura casi-compleja J<\/i> compatible.Una curva pseudoholomorfa es una subvariedad real de dimensi\u00f3n 2 cuyos espacios tangentes son subespacios complejos del tangente a la variedad. La clave del trabajo de Gr\u00f3mov estriba en lograr un resultado de estabilidad para la existencia de curvas pseudo-holomorfas cuando variamos J.<\/i> Uno de los conceptos m\u00e1s conocido es en este campo es el de la compactificaci\u00f3n de Gr\u00f3mov del espacio de curvas pseudo-holomorfas, para lo cual se estudian las deformaciones de estas curvas, y como se produce el fen\u00f3meno de aparici\u00f3n de burbujas<\/i>. As\u00edmismo, la teor\u00eda de curvas pseudo-holomorfas ha dado lugar a los invariantes de Gr\u00f3mov-Witten y a la cohomolog\u00eda cu\u00e1ntica.<\/div>\n

Enlaces<\/font><\/b><\/p>\n